Изворни код странице Полуга

[[Датотека:LeverPrincleple.svg|мини|десно|300п|Полуга првог реда. При равнотежи, <math>{F_1D_1} = {F_2D_2}</math>.]]
[[Датотека:Seesaw in Hurghada.jpg|мини|д|200п|[[Клацкалица]] функционише на принципу полуге.]]

'''Полуга''' је чврсти објекат који се користи за појачање [[сила|силе]] примењене на други објект, уз употребу ослонца. Полуга је једна од 6 једноставних [[машина]], којом се мала сила која делује на дужем [[пут]]у, претвара у велику силу на краћем путу.<ref>J. J. Uicker, G. R. Pennock, and J. E. Shigley, 2003, ''Theory of Machines and Mechanisms,'' Oxford University Press, New York.</ref>

Полуге се користе кад је потребно имати велику силу на једном краћем крају полуге (на пример - за подизање тешког објекта), а једино мала сила је на располагању на другом дужем крају полуге.{{sfn|Davidovits|2008|pp=10-}}

Треба напоменути да се с тим не постиже „чаробно“ повећање расположиве енергије, јер производ (сила*пут) остаје исти.

Прво испитивање својстава полуге се приписује [[Архимед]]у, који је по сазнању свога открића, по легенди рекао: „Дајте ми тачку ослонца, и померићу Земљу“.

Полуга се налази у равнотежи када је разлика у моменту сила које дјелују на њу једнака нули. 
То значи да је <math>{F_1D_1} = {F_2D_2}</math>.

== Историја ==

Најранији докази о механизму полуге датирају из [[ancient Near East|древног Блиског истока]] од око 5000 година пре нове ере, када је први пут коришћен у једноставној [[balance scale|балансној ваги]].<ref name="Paipetis">{{cite book |last1=Paipetis |first1=S. A. |last2=Ceccarelli |first2=Marco |title=The Genius of Archimedes -- 23 Centuries of Influence on Mathematics, Science and Engineering: Proceedings of an International Conference held at Syracuse, Italy, June 8-10, 2010 |date=2010 |publisher=[[Springer Science & Business Media]] |isbn=9789048190911 |page=416}}</ref> У [[ancient Egypt|старом Египту]], око 4400. године пре нове ере, ножна педала је коришћена за најранији [[loom|разбој]] са хоризонталним оквиром.<ref>{{cite book |last1=Bruno |first1=Leonard C. |last2=Olendorf |first2=Donna |title=Science and technology firsts |date=1997 |publisher=[[Gale Research]] |isbn=9780787602567 |page=[https://archive.org/details/sciencetechnolog0000brun/page/2 2] |url=https://archive.org/details/sciencetechnolog0000brun |url-access=registration |quote=4400 B.C. Earliest evidence of the use of a horizontal loom is its depiction on a pottery dish found in Egypt and dated to this time. These first true frame looms are equipped with foot pedals to lift the warp threads, leaving the weaver's hands free to pass and beat the weft thread.}}</ref> У [[Mesopotamia|Месопотамији]] (модерни Ирак) око 3000. године пре нове ере, изумљен је [[shadouf|шадуф]], уређај налик крану који користи механизам полуге.<ref name="Paipetis"/> У [[ancient Egypt technology|технологији старог Египта]], радници су користили полугу за померање и подизање обелиска тежине више од 100 тона. То је видљиво из удубљења у великим блоковима и отвора за руковање који се нису могли користити ни у једну другу сврху осим за полуге.<ref>{{cite book |last1=Clarke |first1=Somers |last2=Engelbach |first2=Reginald |title=Ancient Egyptian Construction and Architecture |url=https://archive.org/details/ancientegyptianc0000clar |date=1990 |publisher=[[Courier Corporation]] |isbn=9780486264851 |pages=[https://archive.org/details/ancientegyptianc0000clar/page/86 86]–90}}</ref>

Најранији преостали списи о полугама датирају из 3. века пре нове ере и дао их је грчки математичар [[Archimedes|Архимед]], који је чувено рекао „Дај ми полугу довољно дугу и тачку ослонца на коју да је поставим, и померићу свет“.

== Сила и полуге ==
[[Датотека:Lever Principle 3D.png|thumb|right|Полуга у равнотежи]]

Полуга је греда повезана са земљом шарком, или стожером, која се назива упориште. Идеална полуга не расипа и не складишти енергију, што значи да нема трења у упоришту или савијања у греди. У овом случају, снага у полузи је једнака излазној снази, а однос излазне и улазне силе је дат односом растојања од тачке ослонца до тачака примене ових сила. Ово је познато као ''[[law of the lever|закон полуге]]''.

Механичка предност полуге може се одредити узимањем у обзир равнотеже [[Moment (physics)|момената]] или [[torque|обртног момента]], ''T'', око тачке ослонца. Ако је пређено растојање веће, онда се излазна сила смањује.

<math display="block">\begin{align}
T_{1} &= F_{1}a,\quad \\
T_{2} &= F_{2}b\!
\end{align}</math>

где је F<sub>1</sub> улазна сила на полугу, а F<sub>2</sub> излазна сила. Растојања ''a'' и ''b'' су окомите удаљености између сила и тачке ослонца.

Пошто импулси обртног момента морају бити избалансирани, <math>T_{1} = T_{2} \!</math>. So, <math>F_{1}a = F_{2}b \!</math>.

Механичка предност полуге је однос излазне и улазне силе.

<math display="block">MA = \frac{F_{2}}{F_{1}}  = \frac{a}{b}.\!</math>

Овај однос показује да се механичка предност може израчунати из односа растојања од тачке ослонца до места где се улазне и излазне силе примењују на полугу, уз претпоставку да нема губитака услед трења, флексибилности или хабања. Ово остаје тачно иако се „хоризонтално” растојање (управно на привлачење гравитације) и ''a'' и ''b'' се мењају (смањују) како се полуга мења у било који положај даље од хоризонтале.

== Класификација полуга ==
[[Датотека:Lever (PSF).png|thumb|right|Три класе полуга]]
[[Датотека:Levers of the Human Body.svg|thumb|Три класификације полуга са примерима људског тела]]

Полуге се класификују према релативним позицијама упоришта, напора и отпора (или оптерећења). Уобичајено је да се улазна сила зове ''напор'', а излазна сила ''оптерећење'' или ''отпор''. Ово омогућава идентификацију три класе полуга према релативним локацијама упоришта, отпора и напора:<ref>{{cite book
  |title=Physics in Biology and Medicine |edition=3rd
  |first1=Paul
  |last1=Davidovits
  |publisher=Academic Press
  |year=2008
  |isbn=978-0-12-369411-9
  |page=10
  |chapter-url=https://books.google.com/books?id=e9hbt3xisb0C&pg=PA10
  |chapter=Chapter 1
  |access-date=2016-02-23
  |archive-date=2014-01-03
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20140103072006/http://books.google.com/books?id=e9hbt3xisb0C&pg=PA10
  |url-status=live
  }}</ref>
*{{anchor|Class 1 lever}} '''Класа I''' – Упориште између напора и отпора: Напор се примењује на једној страни упоришта, а отпор (или оптерећење) на другој страни, на пример, [[seesaw|клацкалица]], [[crowbar (tool)|пајсер]] или [[scissors|маказе]], [[balance scale|балансна вага]], [[claw hammer|кесер]]. Механичка предност може бити већа од, мања или једнака 1.
*{{anchor|Class 2 lever}} '''Класа II''' – Отпор (или оптерећење) између напора и тачке ослонца: Напор се примењује на једној страни отпора, а тачка ослонца се налази на другој страни, нпр. у [[wheelbarrow|колицима]], [[Крцкалица за орашасте плодове|крцкалици за орашасте плодове]], [[bottle opener|отварачу за флаше]] или [[Automobile pedal|папучици]] [[brake|кочнице]] аутомобила. Рука оптерећења је мања од руке напора, а механичка предност је увек већа од 1. Такође се назива полуга за множење силе.
*{{anchor|Class 3 lever}} '''Класа III''' – Напор између упоришта и отпора: Отпор (или оптерећење) је на једној страни напора, а упориште се налази на другој страни, на пример, [[tweezers|пинцета]], [[hammer|чекић]], [[tongs|клешта]], [[fishing rod|штап за пецање]], или [[mandible|мандибула]] људске лобање. Секција напора је мања од секције оптерећење. Механичка предност је увек мања од 1. Назива се и полугом за уммножење брзине.

Ови случајеви су описани мнемоничким ''fre 123'' где је ''f'' упориште између ''r'' и ''e'' за полугу 1. класе, ''r'' отпор је између ''f'' и ''e'' за полугу 2. класе, а напор ''e'' између ''f'' и ''r'' за полугу 3. класе класа полуга.

== Закон полуге  ==

Полуга је покретна шипка која се окреће на ослонцу причвршћеном за фиксну тачку. Полуга делује применом сила на различитим растојањима од тачке ослонца, односно осовине.

Како се полуга ротира око тачке ослонца, тачке које су даље од ове тачке померају се брже од тачака ближе осовини. Према томе, сила примењена на тачку која је удаљенија од осовине мора бити мања од силе која се налази у тачки која је ближа, јер је снага производ силе и брзине.<ref>{{cite book
  | last1 = Uicker
  | first1 = John
  | last2 = Pennock
  | first2 = Gordon
  | last3 = Shigley
  | first3 = Joseph
  | title = Theory of Machines and Mechanisms
  | publisher = Oxford University Press USA
  | edition = 4th
  | year = 2010
  | isbn =978-0-19-537123-9 
}}</ref>

Ако су ''a'' и ''b'' растојања од упоришта до тачака ''A'' и ''B'' и сила ''F<sub>A</sub>'' примењена на ''A'' је улаз, а сила ''F<sub>B</sub>'' примењена на ''B'' је излаз, однос брзина тачака ''A'' и ''B'' је дат са ''a/b'', тако да имамо однос излазне силе према улазној сили, или механичку предност, дату је са:

<math display="block">MA = \frac{F_B}{F_A} = \frac{a}{b}.</math>

Ово је ''закон полуге'', који је [[Archimedes|Архимед]] доказао користећи геометријско расуђивање.<ref name="Usher1954">{{cite book|author=Usher, A. P.|author-link=Abbott Payson Usher|title=A History of Mechanical Inventions|url=https://books.google.com/books?id=Zt4Aw9wKjm8C&pg=PA94|page=94|access-date=7 April 2013|year=1929|publisher=Harvard University Press (reprinted by Dover Publications 1988)|isbn=978-0-486-14359-0|oclc=514178|archive-date=26 July 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200726002155/https://books.google.com/books?id=Zt4Aw9wKjm8C&pg=PA94|url-status=live}}</ref> Показује да ако је растојање ''a'' од тачке ослонца до места где се примењује улазна сила (тачка ''A'') веће од растојања ''b'' од тачке ослонца до места где се примењује излазна сила (тачка ''B''), онда полуга појачава улазну силу. С друге стране, ако је растојање ''a'' од тачке ослонца до улазне силе мање од растојања ''b'' од тачке ослонца до излазне силе, тада полуга смањује улазну силу.

Употреба брзине у статичкој анализи полуге је примена принципа [[virtual work#Law of the Lever|виртуелног рада]].

== Виртуелни рад и закон полуге ==

Полуга је моделована као крута шипка повезана са уземљеним оквиром помоћу зглобног зглоба који се назива упориште. Полуга се покреће применом улазне силе '''F'''<sub>''A''</sub>у тачки ''A'' која се налази поред координатног вектора '''r'''<sub>''A''</sub> на шипки. Полуга тада врши излазну силу '''F'''<sub>''B''</sub> у тачки ''B'' која се налази на '''r'''<sub>''B''</sub>. Ротација полуге око упоришта ''P'' је дефинисана углом ротације ''θ'' у радијанима.

[[File:Archimedes lever (Small).jpg|thumb|right|250п|Архимедова полуга, гравура из ''Mechanics Magazine'' објављена у Лондону 1824]]

Нека је координатни вектор тачке ''P'' која дефинише упориште '''r'''<sub>''P''</sub> и уведите дужине

<math display="block"> a = |\mathbf{r}_A -  \mathbf{r}_P|, \quad  b = |\mathbf{r}_B -  \mathbf{r}_P|, </math>

које су растојања од тачке ослонца до улазне тачке ''A'' и до излазне тачке ''B''.

Сада уведите јединичне векторе '''e'''<sub>''A''</sub> и '''e'''<sub>''B''</sub> од тачке ослонца до тачке ''A'' и ''B'', дакле

<math display="block"> \mathbf{r}_A  -  \mathbf{r}_P = a\mathbf{e}_A, \quad \mathbf{r}_B -  \mathbf{r}_P = b\mathbf{e}_B.</math>

Брзина тачака ''A'' и ''B'' добија се као

<math display="block"> \mathbf{v}_A = \dot{\theta} a \mathbf{e}_A^\perp, \quad  \mathbf{v}_B = \dot{\theta} b \mathbf{e}_B^\perp,</math>

где су '''e'''<sub>''A''</sub><sup>⊥</sup> и '''e'''<sub>''B''</sub><sup>⊥</sup> јединични вектори окомити на '''e'''<sub>''A''</sub> и '''e'''<sub>''B''</sub>.

Угао ''θ'' је [[generalized coordinate|генерализована координата]] која дефинише конфигурацију полуге, а [[generalized force|генерализована сила]] повезана са овом координатом је дата са

<math display="block"> F_\theta =  \mathbf{F}_A \cdot \frac{\partial\mathbf{v}_A}{\partial\dot{\theta}} - \mathbf{F}_B \cdot \frac{\partial\mathbf{v}_B}{\partial\dot{\theta}}= a(\mathbf{F}_A \cdot \mathbf{e}_A^\perp) - b(\mathbf{F}_B \cdot \mathbf{e}_B^\perp) = a F_A - b F_B ,</math>

где су ''F''<sub>''A''</sub> и ''F''<sub>''B''</sub> компоненте сила које су управне на радијалне сегменте ''PA'' и ''PB''. Принцип [[virtual work|виртуелног рада]] каже да је у равнотежи генерализована сила нула, тј

<math display="block"> F_\theta = a F_A - b F_B = 0. \,\!</math>

[[Датотека:Seesaw1902.jpg|thumb|250п|Једноставна полуга, ослонац и вертикални стубови]]

Тако се добија однос излазне силе ''F''<sub>''B''</sub> и улазне силе ''F''<sub>''A''</sub> као

<math display="block"> MA = \frac{F_B}{F_A} = \frac{a}{b},</math>

што је [[mechanical advantage|механичка предност]] полуге.

Ова једначина показује да ако је растојање ''a'' од тачке ослонца до тачке ''A'' где се примењује улазна сила веће од растојања ''b'' од тачке упоришта до тачке ''B'' где се примењује излазна сила, тада полуга појачава улазну силу. Ако је тачно супротно да је растојање од тачке ослонца до улазне тачке ''A'' мање него од тачке ослонца до излазне тачке ''B'', тада полуга смањује величину улазне силе.

== Примери полуге ==
* [[клацкалица]]
* [[катапулт]]
* [[Пајсер|полуга за одваљивање („пајсер“)]]
* [[весло]]
* [[Makaze|маказе]]
* крцкалица за орахе

== Види још ==
* [[Нагнута раван]]
* [[Чекрк]]
* [[Вијак|Завртањ]] (шраф)
* [[Клин]]
* [[Точак]] и [[осовина]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* [[Jacob Pieter Den Hartog|J.P. Den Hartog]], ''Strength of Materials'', Dover, New York, 1949.
* [[Ferdinand Beer|F.P. Beer]], E.R. Johnston, J.T. DeWolf, ''Mechanics of Materials'', McGraw-Hill, New York, 1981.
* S.P. Timoshenko, ''History of Strength of Materials'', Dover, New York, 1953. 
* [[J.E. Gordon]], ''The New Science of Strong Materials'', Princeton, 1984.
* H. Petroski, ''To Engineer Is Human'', St. Martins, 1985.
* T.A. McMahon and J.T. Bonner, ''On Size and Life'', Scientific American Library, W.H. Freeman, 1983.
* [[M. F. Ashby]], ''Materials Selection in Design'', Pergamon, 1992.
* A.H. Cottrell, ''Mechanical Properties of Matter'', Wiley, New York, 1964.
* S.A. Wainwright, W.D. Biggs, J.D. Organisms'', Edward Arnold, 1976.
* S. Vogel, ''Comparative Biomechanics'', Princeton, 2003.
* J. Howard, ''Mechanics of Motor Proteins and the Cytoskeleton'', Sinauer Associates, 2001.
* J.L. Meriam, L.G. Kraige. ''Engineering Mechanics Volume 2: Dynamics'', John Wiley & Sons., New York, 1986.
* J.L. Meriam, L.G. Kraige. ''Engineering Mechanics Volume 1: Statics'', John Wiley & Sons., New York, 1986.
* {{Cite journal|last=Pao|first=Yih-Hsing|date=1998-02-01|title=Applied Mechanics in Science and Engineering|url=https://doi.org/10.1115/1.3098993|journal=Applied Mechanics Reviews|volume=51|issue=2|pages=141–153|doi=10.1115/1.3098993|bibcode=1998ApMRv..51..141P |issn=0003-6900}}
* {{Citation|last=Drabble|first=George E.|title=CHAPTER ONE - INTRODUCTION|date=1971-01-01|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780491002080500067|work=Applied Mechanics|pages=1–8|editor-last=Drabble|editor-first=George E.|publisher=Academic Press|language=en|isbn=978-0-491-00208-0|access-date=2021-11-06}}
* {{Cite book|date=2016|editor-last=Eberhard|editor-first=Peter|editor2-last=Juhasz|editor2-first=Stephen|title=IUTAM|url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-31063-3|language=en-gb|doi=10.1007/978-3-319-31063-3|isbn=978-3-319-31061-9}}
* {{Cite journal|last=Abdel Wahab|first=Magd|date=March 2020|title=Editorial|journal=Applied Mechanics|language=en|volume=1|issue=1|pages=1–2|doi=10.3390/applmech1010001|doi-access=free}}
* {{Cite book|last=Kurrer|first=Karl‐Eugen|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9783433600160|title=The History of the Theory of Structures: From Arch Analysis to Computational Mechanics|date=2008-04-23|publisher=Wiley|isbn=978-3-433-01838-5|edition=1|language=en|doi=10.1002/9783433600160}}
* {{Cite web|title=Mechanics & Materials – Mechanical Engineering|url=https://me.engin.umich.edu/research/areas/mechanics-materials/|access-date=2021-11-06|website=me.engin.umich.edu}}
* {{Cite web|title=Applied Mechanics and Biomedical Engineering|url=https://www.brunel.ac.uk/mechanical-engineering/research-and-phd-programmes/applied-mechanics-and-biomedical-engineering|access-date=2021-11-06|website=www.brunel.ac.uk|language=en-GB}}
* {{Cite book|last=Kurrer|first=Karl‐Eugen|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9783433600160|title=The History of the Theory of Structures|date=2008-04-23|publisher=Wiley|isbn=978-3-433-01838-5|language=en|doi=10.1002/9783433600160}}
* {{Cite book|last=Rankine|first=William John Macquorn|url=http://archive.org/details/manualappmecha00rankrich|title=A manual of applied mechanics|date=1858|publisher=London : R. Griffin|others=University of California Libraries}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Levers}}
* [https://web.archive.org/web/20070114204336/http://www.diracdelta.co.uk/science/source/l/e/lever/source.html Полуга на Диракделта енциклопедији]
* [http://demonstrations.wolfram.com/ASimpleLever/ Једноставна полуга на Волфрам сајту]
* [http://www.enchantedlearning.com/physics/machines/Levers.shtml Полуге - једноставне машине]

{{Једноставне машине}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Машинство]]
[[Категорија:Једноставне машине]]
[[Категорија:Механика]]
[[Категорија:Механизми]]