Изворни код странице Површина

[[Датотека:Area.svg| alt = Three shapes on a square grid|десно|мини|Укупна површина ова три облика је приближно 15,57 [[квадрат]]а.]]

'''Површина''' је [[геометрија|геометријски]] појам који означава меру величине геометријске слике у еуклидском дводимензионалном простору. Тачка и линија немају површину, односно њихова површина је нула. Са друге стране [[раван]] има бесконачну површину. Површина је такође и део тела у простору који је изложен спољашњости. Мерењем површина су се бавили још стари Египћани, али су га до нивоа науке подигли тек [[античка Грчка|стари Хелени]]. Код њих се површина неке геометријске слике израчунавала тако што се низом трансформација претвара у [[квадрат]] исте површине. Потом се измере странице квадрата и лако израчуна површина.<ref name="AF">{{cite web|url=http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm| title = Area Formulas| publisher = Math.com| accessdate=2. 7. 2012}}</ref> Од тих дана је израчунавање површине добило други назив: ''квадратура''.

Површина је количина која описује у којој је мери дводимензионална фигура или облик, или планарне ламине, у [[раван|равни]]. Површина је њен аналогни појам на дводимензионалној [[површ]]и тродимензионалног облика. Површина може бити схваћена као количина материјала са датом дебљином која би била потребна да обуче модел облика, или количина боје потребне да прекрије површ са униформним наносом.<ref name="MathWorld">{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Area.html| title = Area| publisher = [[Wolfram MathWorld]]| last=Weisstein| first = Eric W.|authorlink = Eric W. Weisstein| accessdate=3. 7. 2012}}</ref> То је дводимензионални аналог [[Дужина|дужине]] криве (једнодимензионални концепт) или [[Запремина|запремине]] чврстог тела (тродимензионални концепт).

У [[Међународни систем јединица|СИ систему]], стандардна јединица површине је [[квадратни метар]] (пише се као m²), што је површина квадрата чије су странице дуге по један [[метар]].<ref name="B">[[Међународни биро за тегове и мере|Bureau International des Poids et Mesures]] [http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)], retrieved 15 July 2012</ref> Облик са површином од три квадратна метра би имао исту површину као и три таква квадрата. У [[Математика|математици]], јединица квадрата је дефинисана да има површину од један, и површину од било којег облика или површи је [[Бездимензионална величина|бездимензиони реални број]].

Постоји неколико добро познатих формула за површине мањих облика као што су [[Троугао|троуглови]], [[Правоугаоник|правоугаоници]] и [[Кружница|кругови]]. Користећи ове формуле, површина сваког [[многоугао|полигона]] може се наћи дељењем полигона у троуглове.<ref name="bkos">{{Cite book|author=Mark de Berg|author2 = Marc van Kreveld| last3=Overmars| first3 = Mark|author3-link = Mark Overmars| last4=Schwarzkopf| first4 = Otfried|year=2000| title = Computational Geometry|url=https://archive.org/details/computationalgeo00berg_365| publisher = [[Springer-Verlag]]| edition = 2nd revised|isbn=978-3-540-65620-3| chapter = Chapter 3: Polygon Triangulation|pages=[https://archive.org/details/computationalgeo00berg_365/page/n51 45]–61}}</ref> За облике са закривљеним границама, [[математичка анализа|калкулус]] се често користи да се израчуна површина. Доиста, проблем одређивања површине равних фигура био је већа мотивација за историјски развој калкулуса (математичка анализа).<ref>{{Cite book|first=Carl B.| last=Boyer|authorlink = Carl Benjamin Boyer| title = A History of the Calculus and Its Conceptual Development|url=https://archive.org/details/historyofcalculu0000boye| publisher = Dover|year=1959|isbn=978-0-486-60509-8|pages=}}</ref>

За чврсти облик као што је [[сфера]], [[Купа (геометрија)|конус]] или цилиндар, површина њихових површи назива се површина површи.<ref name="MathWorld" /><ref name="MathWorldSurfaceArea">{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html| title = Surface Area| publisher = [[Wolfram MathWorld]]| last=Weisstein| first = Eric W.|authorlink = Eric W. Weisstein| accessdate=3. 7. 2012}}</ref> формуле за површине једноставних облика биле су рачунате у доба древних Грка, али рачунање површине компликованијих облика обично захтева мултиваријабилни калкулус.

Површина игра важну улогу у модерној математици. У додатку са очигледном важношћу у [[Геометрија|геометрији]] и калкулусу, површина је везана за дефиницију детерминанти у [[Линеарна алгебра|линеарној алгебри]], те је основна особина површи у диференцијалној геометрији.<ref name="doCarmo">[[Manfredo do Carmo|do Carmo, Manfredo]].</ref> У [[Анализа|анализи]], површина подскупа равни је дефинисана кориштењем мере Лебега,<ref name="Rudin">{{harvnb|Rudin|1966|p=20}}</ref> Генерално, површина у вишој математици види се као специјалан случај [[Запремина|запремине]] за дводимензионалне регије.<ref name="MathWorld" />

Површина може бити дефинисана кроз употребу аксиома, дефинишући је као функцију колекције одређених равних фигура у скуп реалних бројева. Може бити доказано да таква функција постоји.

== Формална дефиниција ==

Појам „површине” су дефинише [[аксиома|аксиомима]]. Површина може бити дефинисана као функција из колекције -{M}- specijalne vrste равних фигура (названи мерљиви скупови) ка скупу реалних бројева који задовољавају следеће особине:
* За све -{''S''}- у -{''M''}-, -{''a''(''S'') ≥ 0}-.
* Ако су -{''S''}- и -{''T''}- у -{''M''}- тада су и -{''S'' ∪ ''T''}- и -{''S'' ∩ ''T''}-, и такође -{''a''(''S''∪''T'') = ''a''(''S'') + ''a''(''T'') − ''a''(''S''∩''T'')}-.
* Ако су -{''S''}- и -{''T''}- у -{''M''}- са -{''S'' ⊆ ''T''}- тада је -{''T'' − ''S''}- у -{''M''}- и -{''a''(''T''−''S'') = ''a''(''T'') − ''a''(''S'')}-.
* Ако је скуп -{''S''}- у -{''M''}- и -{''S''}- је конгруентно са -{''T''}- тада -{''T''}- је такође у -{''M''}- и -{''a''(''S'') = ''a''(''T'')}-.
* Сваки правоугаоник -{''R''}- је у -{''M''}-. Ако правоугаоник има дужину -{''h''}- и ширину -{''k''}- тада је -{''a''(''R'') = ''hk''}-.
* Нека ''Q'' буде скуп затворен између две степ регије -{''S''}- и -{''T''}-. Степ регија је формирана од ограничене уније сусједних правоугаоника који се налазе на истој бази, нпр. -{''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T''}-. Ако постоји уникатан број -{''c''}- такав да је -{''a''(''S'') ≤ c ≤ ''a''(''T'')}- за све такве степ регије -{''S''}- и -{''T''}-, тада је -{''a''(''Q'') = ''c''}-.

Може бити доказано да таква површинска функција заиста постоји.<ref name="Moise">{{Cite book|last=Moise| first = Edwin| title = Elementary Geometry from an Advanced Standpoint| url = http://books.google.com/?id=7nUNAQAAIAAJ| accessdate=15. 7. 2012|year=1963| publisher = Addison-Wesley Pub. Co.|id=|pages=}}</ref>

== Историја ==

=== Површина круга ===

У 5. веку п. н. е., [[Хипократ са Хиоса]] је био први да покаже да је површина диска (региона обухваћеног кругом) пропорционална квадрату његовог пречника, као део његове [[Квадратура (математика)|квадратуре]] [[Хипокритов месец|Хипокритовог месеца]],<ref name="heath">{{Cite book|first=Thomas L.| last=Heath|authorlink = Thomas Little Heath| title = A Manual of Greek Mathematics| publisher = Courier Dover Publications |year=2003|isbn=978-0-486-43231-1| url = https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|pages=121–132}}</ref> али није идентификовао [[Пропорционалност (математика)|константу пропорционалности]]. [[Еудокс]] је исто тако у 5. веку п. н. е., утврдио да је површина диска пропорционална квадрату његовог пречника.<ref>{{Cite book|url=http://www.stewartcalculus.com/media/8_home.php| title = Single variable calculus early transcendentals.| last=Stewart| first = James| publisher = Brook/Cole|year=2003|isbn=978-0-534-39330-4| edition = 5th.| location = Toronto ON| quote = However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>|pages=3}}</ref>

Књига -{I}- [[Еуклидови Елементи|Еуклидових ''Елемената'']] се бави једнакошћу области између дводимензионалних фигура. Математичар [[Архимед]] је користио оруђа [[Еуклидова геометрија|Еуклидове геометрије]] да покаже да је област унутар круга једнака површини [[Правоугаони троугао|правоугаоног троугла]] чија база има дужину обима круга и чија висина је једнака полупречнику круга, у својој књизи ''[[Мерење круга]]''. (Обим је -{2{{pi}}''r''}-, и површина троугла је половина базе пута висина, из чега следи да је површина диска {{pi}}-{''r''}-<sup>2</sup>.) Архимед је апроксимирао вредност параметра π (и стога је површина круга јединичног полупречника) путем [[Површина круга|његовог метода удвостручавања]], у коме је уписивао регуларни троугао у круг, бележио његову површину, и затим удвостручавао број страна да би добио регуларни [[Шестоугао|хексагон]], након тога је понављао удвостручавање броја страна чиме је површина полигона постајала све ближа површини круга (и исто је радио са [[Тангентални полигон|описаним полигонима]]).

Швајцарски научник [[Јохан Хајнрих Ламберт]] је 1761. године доказао да је [[пи|π]], однос површине круга и квадрата његовог полупречника, и да је једнака [[ирационалан број|ирационалном]] броју, што значи да није једнака количнику било која два цела броја.<ref name="Arndt">{{Cite book|last=Arndt| first = Jörg | last2=Haene l| first2 = Christoph | title = Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-66572-4 | url = https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false | ref = harv | accessdate=5. 6. 2013}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> Године 1794. је француским математичар [[Адријен-Мари Лежандр]] доказао да је π<sup>2</sup> ирационална вредност; тиме је такође доказано да је π ирационално.<ref>{{Cite book|last=Eves| first = Howard| title = An Introduction to the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/introductiontohi0000eves| edition = 6th|year=1990| publisher = Saunders|isbn=978-0-03-029558-4|pages=[https://archive.org/details/introductiontohi0000eves/page/121 121]}}</ref> Године 1882, немачки математичар [[Фердинанд фон Линдеман]] доказао да је π [[трансцендентан број|трансцендентна]] вредност (да није решење било које [[алгебарска једначина|полиномне једначине]] са рационалним коефицијентима), чиме је потврдио претпоставку [[Адријен-Мари Лежандр|Лежандра]] и Ојлера.<ref name="Arndt"/>{{rp|p. 196}}

=== Површина троугла ===

[[Херон|Херон (или Херо) од Александрије]] утврдио је [[Херонова формула|Херонову формулу]] за површину троугла изражену односом његових страна, и доказ се може наћи у његовој књизи, ''Метрика'', коју је написао око 60. године. По неким изворима [[Архимед]] је знао ту формулу пар векова раније,<ref>{{cite book|last=Heath| first = Thomas L.| title = A History of Greek Mathematics (Vol II)| publisher=Oxford University Press
|year=1921
|pages=321–323}}</ref> и пошто је ''Метрика'' колекција математичког знања доступног у античком свету, могуће је да та формула предатира референце дате у том раду.<ref>{{MathWorld | urlname = HeronsFormula | title = Heron's Formula}}</ref>

Године 499. [[Aryabhata|Аријабхата]], велики [[математичар]]-[[астроном]] из класичног доба [[Индијска математика|индијске математике]] и [[Индијска астрономија|индијске астрономије]], изразио је површину троугла као једну половину базе помножену висином у свом раду -{''[[Aryabhatiya]]''}- (секција 2.6).

Кинези су независно од Грка открили Формулу еквивалентну Хероновој. То је било објављено 1247. године у раду ''Шушу Ђиузханг'' („[[Математичка расправа у девет секција]]”), аутора [[Ћин Ђушао]].

=== Квадрилатерална површина ===

У 7. веку, [[Брамагупта]] је развио формулу, која је у данашње време позната као [[Формула Брамагупте]], за површину [[Тетивни четвороугао|тетивног четвороугла]] ([[Четвороугао|четвороугла]] [[уписана фигура|уписаног]] у круг) у смислу његових страна. Године 1842. немачки математичари [[Carl Anton Bretschneider|Карл Антон Бретшнајдер]] и [[Karl Georg Christian von Staudt|Карл Георг Христијан Штаудт]] независно су извели формулу, познату као [[Бретшнајдерова формула]], за површину било ког четвороугаоника.

=== Општа површина полигона ===

[[Рене Декарт]]ов развој [[Декартов координатни систем|Картезијански координата]] у 17. веку омогућио је [[Карл Фридрих Гаус|Гаусу]] да развије [[Формула пертле|геодетске формуле]] за површину било ког полигона са познатим локацијама [[теме (геометрија)|теменом]] у 19. веку.

=== Површине утврђене коришћењем рачуна ===

Развој [[Интеграл|интегралног рачуна]] у касном 17. веку пружио је оруђа која се могу користити за израчунавање компликованијих површина, као што је површина [[елипса|елипсе]] и површинске области разних закривљених тродимензионих објеката.

== Формуле за површину ==

=== Формуле полигона ===
{{Main article|Многоугао#Површина и центроид}}

За ([[једноставни полигон|једноставни]]) полигон који не пресеца самог себе, [[Декартов координатни систем|картезијанске координате]] <math>(x_i,  y_i)</math> (-{''i''=0, 1, ..., ''n''-1}-) чијих -{''n''}- темена је познато, површина је дата [[Формула пертле|геодетском формулом]]:<ref>{{cite web
 |url          = http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf
 |title        = Calculating The Area And Centroid Of A Polygon
 |last         = Bourke
 |first        = Paul
 |year         = 1988
 |work         = 
 |publisher    = 
 |accessdate   = 6. 2. 2013
 |archive-date = 16. 09. 2012
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20120916104133/http://www.seas.upenn.edu/~sys502/extra_materials/Polygon%20Area%20and%20Centroid.pdf
 |url-status   = dead
}}</ref>

:<math>A = \frac{1}{2} | \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) |,</math>

где кад је -{''i''=''n''-1}-, онда је -{''i''+1}- изражено као [[Модуларна аритметика|модуло]] -{''n''}- и стога се односи на 0.

==== Правоугаоници ====
[[Датотека:RectangleLengthWidth.svg|мини|десно|180п| alt = A rectangle with length and width labelled|Површина овог правоугаоника је {{mvar|lw}}.]]
Најосновнија формула површине је формула за површину [[правоугаоник]]а. Ако је дат правоугаоник са дужином {{mvar|l}} и ширином {{mvar|w}}, формула за површину је:</big><ref name="AF" /><ref name="automatski_generisano1">{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Parallelogram/Rectangle| title = Area of Parallelogram/Rectangle| publisher = ProofWiki.org| accessdate=29. 5. 2016}}</ref>

:{{bigmath|''A'' {{=}} ''lw''}} (правоугаоник).

Површина правоугаоника је дужина помножена ширином. Као специјални случај, кад је {{math|''l'' {{=}} ''w''}} у случају квадрата, површина квадрата са дужином стране {{mvar|s}} је дата формулом:<ref name="MathWorld"/><ref name="AF"/><ref>{{cite web|url=http://proofwiki.org/wiki/Area_of_Square| title = Area of Square| publisher = ProofWiki.org| accessdate=29. 5. 2016}}</ref>
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''s''<sup>2</sup>}} (квадрат).

Формула за површину правоугаоника следи директно из основних својстава површине, и понекад се узима као [[дефиниција]] или [[аксиома|аксиом]]. С друге стране, да је [[геометрија]] развијена пре [[аритметика|аритметике]], ова формула би се могла користити за дефинисање [[множење|множења]] [[реалан број|реалних бројева]].

[[Датотека:ParallelogramArea.svg|мини|лево|180п| alt = A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle|Фигуре једнаке површине.]]

==== Дисекција, паралелограми и троуглови ====
{{Main article|Троугао#Рачунање површине троугла|Паралелограм#Формула површине}}

Већина других једноставних формула за површину следи из метода [[Проблем дисекције|дисекције]]. Тиме је обухваћено дељење облика у комаде, при чему је сума површина комада једнака површини оригиналног облика.

На пример, било који [[паралелограм]] се може поделити у [[четвороугао|трапезоид]] и [[правоугаони троугао]], као што је приказано на слици лево. Ако се троугао помери на другу страну трапезоида, онда је резултирајућа фигура правоугаоник. Из овога следи да је површина паралелограма једнака површини правоугаоника:<ref name="AF"/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} ''bh''}} <big> (паралелограм).</big>
[[Датотека:TriangleArea.svg|мини|десно|180п| alt = A parallelogram split into two equal triangles|Два једнака троугла.]]
Међутим, исти паралелограм се исто тако може пресећи дуж [[дијагонала|дијагонале]] у два [[Подударност (геометрија)|подударна]] троугла, као што је приказано на слици с десне стране. Површина сваког [[троугао|троугла]] је половина површине паралелограма:<ref name="AF"/>
:<math>A = \frac{1}{2}bh</math> <big> (троугао).</big>
Слични аргументи могу се користити за проналажење формуле за површину [[четвороугао|трапезоида]]<ref>{{cite book|title=Problem Solving Through Recreational Mathematics| last=Averbach| first = Bonnie| first2 = Orin| last2=Chein| publisher = Dover|year=2012|isbn=978-0-486-13174-0| url = https://books.google.com/books?id=Dz_CAgAAQBAJ&pg=PA306|pages=306}}</ref> као и компликованијих [[многоугао|полигона]].<ref>{{cite book|title=Calculus for Scientists and Engineers: An Analytical Approach| first = K. D.| last=Joshi| publisher = CRC Press|year=2002|isbn=978-0-8493-1319-6| url = https://books.google.com/books?id=5SDcLHkelq4C&pg=PA43|pages=43}}</ref>

=== Површина закривљених облика ===

==== Кругови ====
[[Датотека:CircleArea.svg|мини|десно| alt = A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram|Круг се може поделити у [[Кружни сектор|секторе]] кои се могу реаранжирати да формирају приближни [[паралелограм]].]]
{{main article|Површина круга}}

Формула за површину [[круг]]а (прецизније површина обухваћена кругом или површина [[круг|диска]]) базирана је на сличном методу. Полазећи од полупречника круга {{math|''r''}}, могуће је поделити круг у [[Кружни сектор|секторе]], као што је приказано на слици десно. Сваки сектор је приближно троугаон по облику, и сектори се могу аранжирати тако да формирају приближни паралелограм. Висина паралелограма је {{math|''r''}}, а ширина је половина [[обим]]а круга, или {{math|π''r''}}. Стога је тотална површина круга {{math|π''r''<sup>2</sup>}}:<ref name="AF"/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} π''r''<sup>2</sup>}} <big> (круг).</big>
Мада је дисекција која се користи у овој формули само приближна, грешка постаје све мања и мања како се круг дели у све мање и мање секторе. [[Гранична вредност|Лимит]] површине апроксимираног паралелограма је прецизно {{math|π''r''<sup>2</sup>}}, што је површина круга.<ref name="Surveyor">{{cite journal| last = Braden| first = Bart| date = септембар 1986| title = The Surveyor's Area Formula| journal = The College Mathematics Journal| volume = 17| issue = 4| publisher = | doi = 10.2307/2686282| url = http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf| accessdate = 15. 7. 2012| pages = 326–337| archive-date = 05. 11. 2003| archive-url = https://web.archive.org/web/20031105063724/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf| url-status = dead}}</ref>

Овај аргумент је заправо једноставна примена идеје [[Инфинитезимални рачун|инфинитезималног рачуна]]. У античка времена, [[метод исцрпљивања]] је кориштен на сличан начин за налажење површине круга, и тај метод се сад сматра прекурзором [[Интеграл|интегралног рачуна]]. Користећи модерне методе, површина круга се може израчунати користећи [[одређени интеграл]]:
:<math>A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\, dx \;=\; \pi r^2.</math>

==== Елипсе ====
{{main article|Елипса#Површина}}
Формула за површину обухваћену [[елипса|елипсом]] је сродна формули за круг; за елипсу са [[Велика полуоса|великом]] и [[Велика полуоса|малом]] полуосом {{math|''x''}} и {{math|''y''}} формула је:<ref name="AF" /><ref name="automatski_generisano1" />

:<math>A = \pi xy .</math>

==== Површина тела ====
{{main article|Површина тела}}
[[Датотека:Archimedes sphere and cylinder.svg|десно|мини|180п| alt = A blue sphere inside a cylinder of the same height and radius|[[Архимед]] је показао да је површина [[сфера|сфере]] једнака са тачно четири површине [[круг]]а истог полупречника, и да је запремина сфере тачно 2/3 запремине [[Ваљак (геометрија)|цилиндра]] исте висине и полупречника.]]
Већина основних формула за површину тела се може добити пресецањем и поравнавањем површина. На пример, ако се бочна површина [[Ваљак (геометрија)|цилиндра]] (или било које [[Призма (геометријска фигура)|призме]]) уздужно пресече, површина се може поравнати у правоугаоник. Слично томе, ако се пресече једна страна [[Купа (геометрија)|купе]], бочна површина се може поравнати у сектор круга, и резултирајућа површина се може израчунати.

Формулу за површину [[сфера|сфере]] је теже извести: пошто сфера има ненулту [[Гаусова закривљеност]], она се не може поравнати. Формулу за површину сфере је први извео [[Архимед]] у свом раду ''[[О сфери и цилиндру]]''. Формула је:<ref name="MathWorldSurfaceArea"/>
:{{bigmath|''A'' {{=}} 4''πr''<sup>2</sup>}} <big> (сфера),</big>
где је {{math|''r''}} радијус сфере. Као са формулом површине круга, свако извођење ове формуле наследно користи методе сличне методима [[математичка анализа|калкулуса]].

=== Опште формуле ===

==== Површине дводимензионалних фигура ====
* [[Троугао]]: <math>\tfrac12Bh</math> (где је -{''B''}- било која страна, и -{''h''}- је растојање од линије на којој -{''B''}- лежи до другог темена троугла). Ова формула се може користити ако је висина -{''h''}- позната. Ако су познате дужине три стране онда се може користити ''[[Херонова формула]]'': <math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> где су -{''a''}-, -{''b''}-, -{''c''}- стране троугла, и <math>s = \tfrac12(a + b + c)</math> је половина његовог обима.<ref name="AF"/> Ако су један угао и две стране дате, површина је <math>\tfrac12 a b \sin(C)</math> где је {{math|''C''}} дати угао и {{math|''a''}} и {{math|''b''}} су стране.<ref name="AF"/> Ако је троугао приказан на координатној равни, може се користити матрица која се поједностављује апсолутном вредношћу израза <math>\tfrac12(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - x_1 y_3)</math>. Ова формула је позната као [[формула пертле]] и то је један једноставан начин израчунавања површине троугла заменом координата три тачке ''(x<sub>1</sub>, y<sub>1</sub>)'', ''(x<sub>2</sub>, y<sub>2</sub>)'', и ''(x<sub>3</sub>, y<sub>3</sub>)''. Формула пертле се исто тако може користити за налажење површине других полигона кад су њихова темена позната. Још један приступ налажењу површине координатног троугла је путем [[математичка анализа|калкулуса]].
* [[једноставни полигон]] конструисан на мрежи равномерно размакнутих тачака (тј., тачака са [[Цео број|целобројним]] координатама) таквој да су сва темена полигона тачке на мрежи: <math>i + \frac{b}{2} - 1</math>, где је -{''i''}- број тачака мреже унутар полигона и -{''b''}- је број граничних тачака.<ref name="Pick">{{cite journal|last=Trainin| first = J. | title = An elementary proof of Pick's theorem |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/536| journal = [[Mathematical Gazette]] | volume = 91 | issue = 522 |date=новембар 2007 |pages=536–540}}</ref> Овај резултат је познат као [[Пикова теорема]].<ref name="Pick"/>

==== Површина у рачуну ====
[[Датотека:Integral as region under curve.svg|лево|мини|280п| alt = A diagram showing the area between a given curve and the x-axis|Интеграција се може поистоветити са мерењем површине испод криве, дефинисане са -{''f''(''x'')}-, између две тачке (овде -{''a''}- и -{''b''}-).]]
[[Датотека:Areabetweentwographs.svg|мини|287п| alt = A diagram showing the area between two functions|Површина између два графа се може израчунати као разлика интеграла две функције]]
* Површина између криве с позитивним вредностима и хоризонталне осе, мерене између две вредности -{''a''}- и -{''b''}- (-{b}- је дефинисана као већа од ове две вредности) на хоризонталној оси, је дато интегралом од -{''a''}- до -{''b''}- функције која представља криву:<ref name="MathWorld"/>
:<math> A = \int_a^{b} f(x) \, dx.</math>
* Површина између [[граф функције|графова]] две функције је [[једнакост (математика)|једнака]] [[интеграл]]у једне [[функција (математика)|функције]], -{''f''(''x'')}-, [[одузимање|минус]] интеграл друге функције, -{''g''(''x'')}-:
:<math> A = \int_a^{b}  ( f(x) - g(x) ) \, dx, </math> где је <math> f(x) </math> крива са већим y-вредностима.
* Површина ограничена функцијом -{''r'' = ''r''(θ)}- израженом у [[Поларни координатни систем|поларним координатама]] је:<ref name="MathWorld"/>
:<math>A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta. </math>
* Област обухваћена [[Параметарска једначина|параметарском кривом]] <math>\vec u(t) = (x(t), y(t)) </math> са крајњим тачкама <math> \vec u(t_0) = \vec u(t_1) </math> је дата [[Криволинијски интеграл|линијским интегралом]]:
::<math> \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt  = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt  = {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt </math>
(погледајте [[Гринова теорема|Гринову теорему]]) или -{''z''}--компоненту од
:<math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.</math>

==== Ограничена површина између две квадратне функције ====
Да би се нашла ограничена површина између две [[квадратна функција|квадратне функције]], потребно је одузети једну од друге
:<math>f(x)-g(x)=ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)</math>
где је -{''f''(''x'')}- квадратна горња граница и -{''g''(''x'')}- је квадратна доња граница. [[Дискриминанта]] -{''f''(''x'')-''g''(''x'')}- се дефинише као
:<math>\Delta=b^2-4ac.</math>
Поједностављујући интегралну формулу између графова две функције (као што је дато у горњој секцији) и користећи [[Вијетове формуле]], добија се<ref>{{cite book|title=Matematika| url = https://books.google.com/books?id=NFkVfrZBqpUC&pg=PA51| publisher = PT Grafindo Media Pratama|isbn=978-979-758-477-1|pages=51}}</ref><ref>{{cite book|title=Get Success UN +SPMB Matematika| url = https://books.google.com/books?id=uwqvITs8OaUC&pg=PA157| publisher = PT Grafindo Media Pratama|isbn=978-602-00-0090-9|pages=157}}</ref>
:<math>A=\frac{\Delta\sqrt{\Delta}}{6a^2}=\frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3,\qquad a\neq0.</math>
Ово остаје валидно ако је једна од функција линеарна.

==== Површина тродимензионалних фигура ====
* [[Купа (геометрија)|Купа]]:<ref name="MathWorldCone">{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Cone.html| title = Cone| publisher = [[Wolfram MathWorld]]|authorlink = Eric W. Weisstein| last=Weisstein| first = Eric W.| accessdate=6. 7. 2012}}</ref> <math>\pi r\left(r + \sqrt{r^2 + h^2}\right)</math>, где је -{''r''}- полупречник кружне основе, и -{''h''}- је висина. Ово се исто тако може написати као <math>\pi r^2 + \pi r l </math><ref name="MathWorldCone"/> или <math>\pi r (r + l) \,\!</math> где је -{''r''}- полупречник и -{''l''}- је висина нагиба купе. <math>\pi r^2 </math> је база површине, док је <math>\pi r l </math> латерална површина купе.<ref name="MathWorldCone"/>
* [[коцка]]: <math>6s^2</math>, где је -{''s''}- дужина ивице.<ref name="MathWorldSurfaceArea"/>
* [[Ваљак (геометрија)|цилиндар]]: <math>2\pi r(r + h)</math>, где је -{''r''}- полупречник основе и -{''h''}- је висина. ''2<math>\pi</math>r'' се такође може написати као ''<math>\pi</math> -{d}-'', где је -{''d''}- дикаметар.
* [[Призма (геометријска фигура)|призма]]: -{2B + Ph}-, где је -{''B''}- површина основе, -{''P''}- је обим базе, и -{''h''}- је висина призме.
* [[пирамиде|пирамида]]: <math>B + \frac{PL}{2}</math>, где је -{''B''}- површина основе, -{''P''}- је обим основе, и -{''L''}- је дужина нагиба.
* [[Квадар|правоугаона призма]]: <math>2 (\ell w + \ell  h + w h)</math>, где је <math>\ell</math> дужина, ''w'' је ширина, и -{''h''}- је висина.

==== Општа формула за површину ====
Општа формула за површину графа непрекидно диференцијабилне функције <math>z=f(x, y),</math> где је <math>(x, y)\in D\subset\mathbb{R}^2</math> и <math>D</math> је регион у xy-равни са глатким границама:
: <math> A=\iint_D\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\, dx\, dy. </math>
Још општија формула за површину графа [[параметарска површина|параметарске површине]] у векторском облику <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u, v),</math> где је <math>\mathbf{r}</math> непрекидно диференцијабилна векторска функција <math>(u, v)\in D\subset\mathbb{R}^2</math> је:<ref name="doCarmo"/>
: <math> A=\iint_D \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\, du\, dv. </math>

=== Основне формуле ===

{| class="wikitable"
|-
! colspan="3" | Формуле за рачун површина:
|-
! Слика
! Формула
! Објашњење
|-
|[[Правоугаоник]]
|<math>l \cdot w \,</math>
|<math>l</math> и <math>w</math> су дужина и ширина правоугаоника.
|-
|[[Троугао]]
|<math>\frac{1}{2}b \cdot h \,</math>
|<math>b</math> и <math>h</math> су [[основица (троугао)|основица]] и [[висина (троугао)|висина]].
|-
|[[Круг]]
|<math>\pi \cdot r^2 \,</math>
|<math>r</math> је [[полупречник]].
|-
|[[Елипса]]
|<math>\pi \cdot a \cdot b \,</math>
|<math>a</math> и <math>b</math> су велика и мала полуоса.
|-
|[[Сфера]]
|<math>4 \pi r^2 \,</math>, или <math>\pi d^2 \,</math>
|<math>r</math> је полупречник, а <math>d</math> је [[пречник]].
|-
|[[Трапез (геометрија)|Трапез]]
|<math>\frac{1}{2}(a+b)h \,</math>
|<math>a</math> и <math>b</math> су паралелне стране, а <math>h</math> је растојање међу паралелама.
|-
|[[Ваљак (геометрија)|Ваљак]]
|<math>2 \pi r (h + r) \,</math>
|<math>r</math> и <math>h</math> су полупречник и висина.
|-
|Омотач ваљка
|<math>2 \pi r h \,</math>
|<math>r</math> и <math>h</math> су полупречник и висина.
|-
|[[Купа (геометрија)|Купа]]
|<math>\pi r (l + r) \,</math> 
|<math>r</math> и <math>l</math> су полупречник и дужина странице купе.
|-
|Омотач купе
|<math>\pi r l \,</math>
|<math>r</math> and <math>l</math> су полупречник и дужина странице купе.
|-
|[[Кружни исечак]]
|<math>\frac{1}{2} r^2 \theta \,</math>
|<math>r</math> и <math>\theta</math> су полупречник и угао (у [[радијан]]има).
|}

== Мерне јединице ==
Према [[Међународни систем јединица|СИ]] систему јединица мера, који је и код нас на снази, основна мерна јединица површине је [[Квадратни метар|''квадратни метар'']] (-{m²}-), а могу се користити и из ње изведене величине:
* -{1 dm²}- = 0.01 m² = 10<sup>-2</sup>m² (ретко се користи)
* -{1 cm²}- = 0.0001 m² = 10<sup>-4</sup>m² (ретко се користи)
* -{1 mm²}- = 0.000001 m² = 10<sup>-6</sup>m² (користи се за мерење површине пресека жице у [[Електротехника|електротехници]])

За мерење површине терена користе се веће мере:
* 1 -{ar}- = 100 -{m²}- = 10<sup>2</sup>m²
* 1 -{ha}- = 10 000 -{m²}- = 10<sup>4</sup>m² (један [[хектар]])
* 1 -{km²}- = 1 000 000 -{m²}- = 10<sup>6</sup>m² (један [[квадратни километар]])

== Види још ==
* [[Површ]]

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
* {{Cite book| ref=harv|last=Eves| first = Howard| title = An Introduction to the History of Mathematics| url=https://archive.org/details/introductiontohi0000eves| edition = 6th|year=1990| publisher = Saunders|isbn=978-0-03-029558-4|pages=[https://archive.org/details/introductiontohi0000eves/page/121 121]}}
* {{Cite book| ref=harv | last=Arndt| first = Jörg | last2=Haene l| first2 = Christoph | title = Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag|year=2006|isbn=978-3-540-66572-4 | url = https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false | accessdate=5. 6. 2013}} English translation by Catriona and David Lischka.</ref> Године 1794. је француским математичар [[Адријен-Мари Лежандр]] доказао да је π<sup>2</sup> ирационална вредност; тиме је такође доказано да је π ирационално.<ref>{{cite book|last=Eves| first = Howard| title = An Introduction to the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/introductiontohi0000eves| edition = 6th|year=1990| publisher = Saunders|isbn=978-0-03-029558-4|pages=[https://archive.org/details/introductiontohi0000eves/page/121 121]}}
* {{Cite book| ref=harv | url = http://www.stewartcalculus.com/media/8_home.php| title = Single variable calculus early transcendentals.| last=Stewart| first = James| publisher = Brook/Cole|year=2003|isbn=978-0-534-39330-4| edition = 5th.| location = Toronto ON| quote = However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>|pages=3}}
* {{Cite book| ref=harv | first = Thomas L.| last=Heath|authorlink = Thomas Little Heath| title = A Manual of Greek Mathematics| publisher = Courier Dover Publications |year=2003|isbn=978-0-486-43231-1| url = https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|pages=121–132}}
* {{Cite book| ref=harv | last=Moise| first = Edwin| title = Elementary Geometry from an Advanced Standpoint| url = http://books.google.com/?id=7nUNAQAAIAAJ| accessdate=15. 7. 2012|year=1963| publisher = Addison-Wesley Pub. Co.|id=|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv| last=Rudin| first = Walter| title = Real and Complex Analysis| publisher = McGraw-Hill|year=1966|isbn=978-0-07-100276-9|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv| first = Carl B.| last=Boyer|authorlink = Carl Benjamin Boyer| title = A History of the Calculus and Its Conceptual Development| url=https://archive.org/details/historyofcalculu0000boye| publisher = Dover|year=1959|isbn=978-0-486-60509-8|pages=}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Area}}
* -{[https://web.archive.org/web/20120306104024/http://blog.thinkwell.com/2010/07/6th-grade-math-surface-area.html Surface Area Video] at Thinkwell}-

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Површина| ]]
[[Категорија:Физичке величине]]
[[Категорија:Геометрија]]