Изворни код странице Питагорина теорема

[[Датотека:Pythagoras.svg|мини|130п|'''Питагорина теорема''': Збир површина [[квадрат]]а конструисаних над [[катета]]ма (''-{a}-'' и ''-{b}-'') једнак је површини квадрата над [[Хипотенуза|хипотенузом]] (''-{c}-'').]]
У [[Математика|математици]], '''Питагорина теорема''' изражава везу која постоји између три странице правоуглог [[Троугао|троугла]] у [[еуклидова геометрија|еуклидској геометрији]]. Ако су ''-{a}-'' и ''-{b}-'' катете, а ''-{c}-'' хипотенуза правоуглог троугла, важи једнакост

: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>

односно, исказано речима:

{{quote|''Површина квадрата конструисаног над хипотенузом правоуглог троугла једнака је збиру површина квадрата конструисаних над катетама тог троугла.''}}

[[Теорема]] је добила име према [[античка Грчка|старогрчком]] [[математика|математичару]] [[Питагора|Питагори]], за кога се, традиционално, сматра да ју је открио и доказао,<ref name="Heath">Heath, ''-{A History Of Greek Mathematics, volume I}-'', pp. 144</ref> иако је данас извесно да је била позната много пре Питагоре.{{sfn|Миланковић|2017|p=19-22}}{{sfn|Логос|2017|p=102 са напоменом 5}}

[[Питагора|Питагорина]] теорема је једна од основних и најзначајнијих математичких теорема. Препознатљива слика правоуглог троугла са конструисаним [[квадрат]]има над све три странице, коришћена за визуелни приказ самог тврђења, послужила је као основа за генерисање [[фрактал]]а који се назива [[Питагорино дрво]].

== Историја ==
[[Датотека:Chinese pythagoras.jpg|мини|300п|Визуелни доказ Питагорине теореме за [[троугао]] чије су странице [[Питагорина тројка]] (3, 4, 5) из једног од најстаријих [[Кина|кинеских]] математичких текстова, 500–200&nbsp;пне.]]
Историјски посматрано, откриће и разумевање Питагорине теореме је прошло кроз неколико етапа:
* алгебарско истраживање постојања [[Питагорина тројка|Питагориних тројки]],
* боље упознавање односа између страница правоуглог [[Троугао|троугла]], односно односа између суседних [[Угао|углова]] троугла, које је последица стицања све већих знања о равнима и површима и
* налажење великог броја различитих [[доказ]]а теореме.

=== Древне цивилизације ===
Веза која постоји између страница троугла чије су дужине 3, 4 и 5 била је позната још [[Вавилон]]цима, 2000. п. н. е.{{sfn|Андрић|1989|pp=1}} а може се наћи и у чувеној [[Кина|кинеској]] књизи ''Девет књига о математичкој вештини'' за коју се претпоставља да је написана око [[1100. п. н. е.]]<ref name="smith">Smith, ''-{History of Mathematics, volume II}-'', pp. 288</ref>

Чувена вавилонска глинена плочица која носи [[Плимптон 322|број 322]] у колекцији Плимптона је таблица Питагориних тројки са 15 редова настала 1800. п. н. е. [[Стари Египат|Стари Египћани]] су знали за четири Питагорине тројке, о чему сведочи [[папирус]] датиран у време владавине [[Списак староегипатских владара#XII Династија: 1991. – 1782.|-{XII}- династије]], око [[2000. п. н. е.]] у коме је, између осталог, могуће наћи и релацију
: <math>1^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \left(1\frac{1}{4}\right)^2\, </math>.<ref name="smith"/>

Она је еквивалентна Питагориној тројки (3, 4, 5) ако се израз прошири да би се ослободио од [[разломак]]а.

Питагорине тројке могу се наћи и у ''Сулвасутрама'', светим песмама [[Хиндуизам|Хиндуса]], из периода 5 — 4. век п. н. е, које говоре о начину добијања правих углова помоћу ужета са 3-4-5, односно 12-16-20, 15-20-25, 5-12-13, 15-36-39, 8-15-17 и 12-35-37 чворова везаних на једнаким растојањима. Коришћење конопца за одређивање правог угла имало је у давна времена своју практичну примену у нпр. парцелисању земљишта, а људи који су се тиме бавили називани су ''затезачима конопца'' ({{јез-гр|Λρπεδονάπται}}, -{harpedonaptai}-).<ref name="strojk">[[Дирк Стројк|Стројк]], ''Кратак преглед историје математике'', pp. 21</ref> Међутим, према неким ауторима, мало је вероватно да су Египћани заиста користили уже са 12 чворова за одређивање правог угла, и нема очигледних доказа да су знали да је троугао са страницама (3, 4, 5) правоугли.<ref name="Maor15">Maor, ''-{The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History}-'', pp. 15</ref>

=== Питагора ===
Традиционално, откриће теореме се приписује [[Питагора|Питагори]], старогрчком филозофу и научнику, о коме се данас зна посредно, преко каснијих извора. Према њима, Питагора је рођен око [[570. п. н. е.]] на острву [[Самос]], вероватно је био [[Талес из Милета|Талесов]] ученик, а један део свог живота провео је путујући [[Стари Египат|Египтом]] и [[Ахеменидско царство|Персијом]], да би се, по повратку на родни Самос, сусрео са тиранском владавином [[Поликрат]]а, што је, сматра се, био разлог да се пресели у [[Кротон (град)|Кротон]] где је основао чувену [[Питагорејци|Питагорејску школу]].<ref>Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History'', pp. 17.</ref> Питагорејци су тврдили да је теорему открио управо Питагора, и да је, у знак захвалности, жртвовао [[бог]]овима стотину [[domaće govedo|бикова]].<ref>Стројк, ''Кратак преглед историје математике'', pp. 52</ref> Проблем са прецизним утврђивањем праве истине је последица чињенице да су Питагорејци преносили усменим путем стечена знања која су сматрана светим и строго су чувана. Поред тога, често су се нова открића приписивала великом учитељу, док је прави проналазач остајао непознат. У прилог томе стоји чињеница да се у исказу теореме који се појављује у [[Еуклид]]овим [[Еуклидови Елементи|''Елементима'']] нигде не спомиње Питагорино име.<ref name="Maor42">Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History'', pp. 42.</ref> Данас постоји неколико хипотеза:
* Питагора је преузео [[Теорема|теорему]] од [[Вавилон]]аца, односно само је био посредник између знања која су долазила са Истока и [[Античка Грчка|Грка]]. Иако је, према античким изворима, Питагора посетио Египат и Вавилон, те информације нису поуздане.
* Питагора је формулисао и по први пут [[доказ]]ао теорему независно од вавилонских извора. Овај приступ је био широко прихваћен у древна времена.
* Питагора је за теорему чуо на својим путовањима, али је био први човек који је и доказао. Сасвим је јасно да ни Египћани ни Вавилонци нису ишли даље од свакодневне примене теореме у практичне сврхе. На пример, у [[Каиро|Каирском]] [[папирус]]у, откривеном [[1938]]. године, и дешифрованом [[1962]]. године, налази се 40 математичких задатака од којих је девет решено употребом Питагорине теореме. Један од тих задатака гласи:
:„''Мердевине дугачке 10 лаката наслоњене су на зид тако да је њихово подножје удаљено 6 лаката од ивице зида. До које висине се пружају те мердевине?''“
:Међутим, иако се при решавању проблема користи теорема, нема покушаја да се она уопшти, нити да се докаже.{{sfn|Burton|2005|pp= 81}}
* Питагора није учествовао у открићу теореме, већ су први доказ нашли његови ученици.<ref>{{cite web|url=http://plato.stanford.edu/entries/pythagoras/#WasPytMatCos |title=Pythagoras - 5. Was Pythagoras a Mathematician or Cosmologist?|accessdate=22. 3. 2009}}</ref>

Прво сачувано дело у коме се Питагора повезује са исказом теореме је [[Плутарх]]ов [[Плутарх#Моралија|''Етички зборник - Моралија'']], написан крајем [[1. век|првог]] или почетком [[2. век|другог века н. е.]] У њему се цитирају стихови из једног несачуваног [[Аполодор из Атине|Аполодоровог]] дела из [[2. век п. н. е.|другог века п. н. е.]] Према Плутарху,
{{quote|''када је Питагора открио тај чувени став,<br />због тога је понудио сјајну жртву волова.''}}
Исте стихове наводи и Атенај из Неукратиса, у свом делу ''Гозба учених'', почетком [[3. век|трећег века н. е.]]{{sfn|Лучић|2009|pp= 97}}

=== Следбеници ===
Први писани доказ Питагорине теореме појављује се тек 150 година касније, у првој и шестој књизи [[Еуклид]]ових [[Еуклидови Елементи|''Елемената'']], при чему је, према [[Прокло|Проклу]], доказ из шесте књиге једини оригинални Еуклидов доказ у ''Елементима'', док је доказ из прве књиге приписан [[Еудокс]]у.<ref name="Maor42"/>

Око [[250. п. н. е.]] [[Архимед]] апроксимира вредност броја [[пи]] користећи Питагорину теорему и уписане и описане [[многоугао|полигоне]] у [[круг]]. У 2. веку п. н. е, [[Клаудије Птолемеј]] у свом ''[[Алмагест]]у'' доказује [[Птолемејева теорема|теорему]]:
:„''Производ [[дијагонала]] [[Тетивни четвороугао|тетивног четвороугла]] једнак је збиру производа његових наспрамних ивица.''“{{sfn|Митровић|1988|pp= 166}}
Одавде се, у специјалном случају када је тетивни четвороугао у ствари [[правоугаоник]], добија Питагорина теорема.

[[Херон]] из [[Александрија|Александрије]] је касније<ref>Због недостатка извора тешко је одредити када се то тачно десило. Према књизи ''-{The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History}-'' у питању је период између [[100. п. н. е.]] и 100. године н. е.</ref> доказао [[Херонова формула|формулу]] којом се може израчунати површина произвољног [[Троугао|троугла]] преко његових страница коришћењем пропорција. Данас се та формула доказује коришћењем Питагорине теореме.

У 3. веку н. е. [[Папос]] доказује проширену верзију Питагорине теореме која важи за произвољан троугао, а шест векова касније, Ал Харани даје доказ још једне генерализације која је примењива на произвољан троугао.

== Формулација теореме ==
[[Датотека:Pythagorean proof.svg|мини|200п|Визуелни доказ Питагорине теореме]]
Према теореми:
<blockquote>У било ком [[Правоугли троугао|правоуглом троуглу]], површина [[квадрат]]а конструисаног над [[Хипотенуза|хипотенузом]] (страницом која се налази насупрот правог угла) је једнака збиру површина квадрата конструисаних над катетама (страницама које се сустичу у правом углу троугла).</blockquote>

Овај исказ се обично наводи у следећем облику:
{{quote|''Квадрат над хипотенузом једнак је збиру квадрата над катетама.''}}

Уколико је са ''-{c}-'' означена [[дужина]] хипотенузе, а са ''-{a}-'' и ''-{b}-'' дужине преостале две странице, теорема се може записати помоћу следеће једнакости:

: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>

или, ако се одатле изрази ''-{c}-'':

: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,</math>

Ако је хипотенуза ''-{c}-'' позната, а треба одредити једну од катета, могуће је користити неку од следеће две једнакости (које се добијају из полазне једнакости, решавањем по одговарајућој непознатој):

: <math>c^2 - a^2 = b^2\, </math>

или

: <math>c^2 - b^2 = a^2\, </math>

Из наведених једнакости може се приметити да је веза између страница правоуглог троугла таква да, у случају да је једна од њих непознате дужине, може се одредити помоћу преостале две познате странице. Генерализација ове теореме, позната као [[косинусна теорема]], омогућава израчунавање дужине треће странице произвољног троугла, уколико су познате дужине преостале две странице и величина угла које оне захватају, што је једна од поставки задатка који се назива [[решавање троугла]]. Уколико познате странице одређују прав угао, косинусна теорема се своди на Питагорину теорему.

=== Нееуклидске геометрије ===
[[Датотека:Triangle esfèric.png|мини|130п|Сферни троугао]]
{{Види још|Нееуклидске геометрије}}
У [[Сферна геометрија|сферној геометрији]], на [[Јединична сфера|јединичној сфери]], за правоугли [[сферни троугао]] -{ABC}- коме су дужине страница редом -{a}-, -{b}- и -{c}-, Питагорина теорема има облик
: <math>\cos a=\cos b\cdot\cos c. </math>{{sfn|Дугошија|1999|pp=84–86}}
Уколико је полупречник сфере дужине <math>\scriptstyle R</math>, једнакост постаје
:<math>\cos \frac{a}{R}=\cos \frac{b}{R} \cdot\cos \frac{c}{R}.</math><ref>Ова једнакост се добија као специјалан случај [[Косинусна теорема (сферна геометрија)|косинусне теореме]] за сферни троугао. Уколико се косинусна функција развије помоћу [[Колин Маклорен|Маклореновог]] [[Маклоренов ред|реда]], могуће је показати да ће се наведени облик Питагорине теореме приближавати свом еуклидском еквиваленту када полупречник сфере тежи [[бесконачност]]и.</ref>

У [[Хиперболичка геометрија|хиперболичкој равни]] представљеној [[Анри Поенкаре|Поенкареовим]] моделом диска, уколико је троугао -{ABC}- правоугли са катетама -{a}-, -{b}- и хипотенузом -{c}-, Питагорина теорема има облик
:<math>\cosh c=\cosh a\cdot\cosh b, </math><ref>{{Cite book|title=The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry|last=Stahl|first=Saul|url=http://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122|chapter=Theorem 8.3|isbn=978-0-86720-298-4|year=1993|publisher=Jones & Bartlett Learning}}<br />За доказ погледати {{cite web|url=http://www.math.uncc.edu/~ghetyei/courses/old/S06.6118/hypsin.pdf|title=Sines and cosines in the Poincar´e disk model of the hyperbolic plane|accessdate=24. 2. 2009|pages=122}}{{Мртва веза}}</ref>
при чему је [[Косинус хиперболични|хиперболички косинус]] дефинисан са
:<math>\cosh x=\frac{e^x + e^{-x}}{2}. </math>

=== Хилбертови простори ===
{{Види још|Хилбертов простор}}
Уобичајена [[Вектор#Интензитет вектора|норма]] на [[реалан број|реалном]] [[еуклидов простор|еуклидском простору]] <math>\scriptstyle R^{k}</math> се уводи помоћу [[Скаларни производ вектора|скаларног производа]]. [[Векторски простор]] са нормом уведеном помоћу скаларног производа се назива пред-Хилбертовим простором. Ако је пред-Хилбертов простор [[Метрички простор#Комплетност|комплетан]] у односу на своју метрику, назива се [[Хилбертов простор|Хилбертовим простором]]. Ово је увек случај у [[Димензија векторског простора|коначнодимензионим]] просторима какав је <math>\scriptstyle R^{k}</math>, али бесконачнодимензиони пред-Хилбертови простори не морају бити Хилбертови.

Уколико је у реалном простору <math>\scriptstyle X</math> са скаларним производом (пред-Хилбертовом простору) уведена норма вектора са
:<math>\left\|x\right\|=\sqrt{x\cdot x}</math>,
уз одговарајуће особине<ref>За особине погледати Д. Аднађевић, З. Каделбург,''Математичка анализа -{II}-'', pp. 268</ref>, онда за [[Ортогоналност|ортогоналне]] [[вектор]]е <math>\scriptstyle x</math> и <math>\scriptstyle y</math> Питагорина теорема добија облик
:<math>\left\|x+y\right\|^2=\left\|x\right\|^2+\left\|y\right\|^2</math>.<ref name="Analiza2">{{harvnb|Каделбург|1991|pp=267–273}}</ref>

== Докази ==
Питагорина теорема је вековима служила као инспирација за нове математичке [[доказ]]е, које су проналазили и људи који нису били професионални математичари. У књизи ''Питагорино тврђење'' ({{јез-енгл|The Pythagorean Proposition}}) Илише Скота Лумиса ({{јез-енгл|Elisha Scott Loomis}}), изворно објављеној [[1927]]. године, која је допуњена новим доказима [[1940]]. године, могуће је наћи све познате доказе до њеног објављивања, укупно њих 371. Између осталих ту су наведени [[Питагора|Питагорин]] и [[Еуклид]]ов доказ, затим најкраћи и најдужи доказ који се приписују [[Адријен-Мари Лежандр|Лежандру]], [[Клаудије Птолемеј|Птолемејев]], [[Леонардо да Винчи|Леонардов]], [[Кристијан Хајгенс|Хајгенсов]] и [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбницов]] доказ као и доказ [[Џејмс А. Гарфилд|Џејмса Гарфилда]], из времена пре него што је постао [[Председник Сједињених Америчких Држава|председник САД]].<ref name="Maor">Maor, ''The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History''</ref>

=== Питагорин доказ ===
Иако постоје материјални докази да је веза између [[катета]] и [[Хипотенуза|хипотенузе]] правоуглог троугла била позната још древним цивилизацијама, оно што је одлучило да [[теорема]] понесе Питагорино име је чињеница да ју је он први [[доказ]]ао. Међутим, како у његово време није било адекватног материјала за записивање, стечена знања су се код [[Питагорејци|питагорејаца]] преносила усменим путем, те не постоји поуздан извор на основу кога би са сигурношћу могло да се тврди како је изгледао оригинални Питагорин доказ. [[Еуклид]] је у својим [[Еуклидови Елементи|''Елементима'']] дао два доказа теореме, најпре у првој књизи,<ref>Еуклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_47.HTML књига -{I}-, тврђење -{XLVII}-], Приступљено 23. 4. 2013.</ref> доказ који се у потпуности заснива на односима површина, а затим и у шестој књизи,<ref name="euklidVI">Еуклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID06_T_31.HTML књига -{VI}-, тврђење -{XXXI}-], Приступљено 23. 4. 2013.</ref> доказ који користи [[Сличност (геометрија)|сличност]] и знатно је једноставнији. С обзиром да [[геометрија]] у време Питагоре није била довољно развијена, мало је вероватно да је он користио први доказ, а ако је користио други, онда он није био комплетан, пошто је потпуну теорију сразмерности дао тек [[Еудокс]], који је живео два века после Питагоре. Са друге стране, врло је вероватно да је Питагора најпре доказао теорему у случају једнакокраког правоуглог троугла, пошто је тај доказ био познат још Хиндусима, те га је могао чути на својим путовањима по [[Средоземно море|Медитерану]]. Да ли је доказао и општи случај није познато, али се претпоставља да га је разматрао. Традиционално му се приписује доказ општег случаја који је био познат још у древној [[Кина|Кини]].<ref name="Maor"/>

=== Еуклидови докази ===
У својим [[Еуклидови Елементи|''Елементима'']] [[Еуклид]] доказује Питагорину теорему на два места, најпре у првој, а затим и у шестој књизи. Први доказ је прилично захтеван за праћење, и према [[Прокло|Проклу]], припада Еуклидовом претходнику [[Еудокс]]у, као и теорија пропорционалности изложена у петој књизи ''Елемената''.<ref name="Maor"/> Постоје различита тумачења зашто је Еуклид изабрао да у првој књизи теорему докаже на тежи начин, иако су у његово време били познати једноставнији докази. Са једне стране, већина тих доказа је подразумевала поделу [[Правоугли троугао|правоуглог троугла]] на мање, [[Сличност (геометрија)|сличне]] [[Троугао|троуглове]] и коришћење особина пропорционалности за извођење одговарајуће једнакости, али оне су изложене тек у петој књизи, док је сличност обухваћена шестом књигом. Са друге стране, како су стари Грци све [[Аритметика|аритметичке операције]] интерпретирали кроз [[Геометрија|геометрију]], врло је вероватно да се Еуклиду први доказ природно наметнуо – јер је посматрао Питагорину теорему као однос између површина. Према Проклу, други доказ је у потпуности Еуклидов, штавише, то је једини оригинални Еуклидов доказ у ''Елементима''.<ref name="Maor"/>

[[Датотека:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|мини|Доказ из прве књиге [[Еуклид]]ових [[Еуклидови Елементи|''Елемената'']]]]
Суштина првог доказа је да, ако су са ''-{A}-'', ''-{B}-'' и ''-{C}-'' означена темена правоуглог троугла са правим углом код темена ''-{A}-'', и ако се из тог темена спусти висина на [[Хипотенуза|хипотенузу]] која се продужи до наспрамне странице [[квадрат]]а над хипотенузом, она ће поделити тај квадрат на два [[правоугаоник]]а, чије ће површине бити једнаке површинама квадрата над ближом [[Катета|катетом]].

За формалан доказ, најпре је потребно показати да важе следеће елементарне леме:
# (СУС став према подударности троуглова) Ако су две странице једног троугла једнаке са две странице другог троугла, и ако су углови које захватају ти парови једнаких страница такође једнаки, онда су троуглови подударни.<ref>Еуклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_4.HTML књига -{I}-, тврђење -{IV}-], Приступљено 23. 4. 2013.</ref>
# Површина троугла је једнака половини површине било ког паралелограма конструисаног над двема страницама тог троугла.<ref>Еуклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_41.HTML књига -{I}-, тврђење -{XLI}-], Приступљено 23. 4. 2013.</ref>
# Површина било ког правоугаоника једнака је производу две суседне странице.
# Површина било ког квадрата једнака је производу две његове странице (следи из претходне леме).

Интуитивна идеја доказа је да се квадрати над катетама трансформишу у паралелограме исте површине, који се затим новом трансформацијом уклапају у правоугаонике на које је подељен квадрат над хипотенузом.<ref>Ради једноставнијег праћења доказа погледати следећи [http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/bookI/images/bookI-47.html визуелни доказ], [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/morey.shtml трансформацију] приказану помоћу јава-аплета, и [http://www.takayaiwamoto.com/Pythagorean_Theorem/Euclid_47_anim.gif анимацију].</ref>

[[Датотека:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|мини|180п|Слика са уцртаним новим дужима]]
# Нека је -{ACB}- правоугли [[троугао]] са правим углом код темена -{A}-.
# На свакој од страница -{BC}-, -{AB}- и -{CA}- нацртани су квадрати -{CBDE}-, -{BAGF}- и -{ACIH}- респективно.
# Из тачке -{A}- спуштена је нормала на страницу -{BC}- која је продужена до пресека са страницом -{DE}- и уједно је паралелна са -{BD}- и -{CE}-. Њени пресеци са страницама -{BC}- и -{DE}- су редом означени са -{K}- и -{L}-.
# Спајањем тачака -{C}- и -{F}-, односно -{A}- и -{D}-, добијају се троуглови -{BCF}- и -{BDA}-.
# Углови -{CAB}- и -{BAG}- су прави, па су тачке -{C}-, -{A}-, и -{G}- [[Колинеарност|колинеарне]]. Слично се закључује за тачке -{B}-, -{A}- и -{H}-.
# Углови -{CBD}- и -{FBA}- су прави, што значи да је угао -{ABD}- једнак углу -{FBC}-, пошто су оба једнака збиру правог угла и угла -{ABC}-.
# Како је страница -{AB}- једнака страници -{FB}-, а -{BD}- једнака -{BC}-, троугао -{ABD}- је подударан са троуглом -{FBC}-.
# Како су тачке -{A}-, -{K}- и -{L}- колинеарне, правоугаоник -{BDLK}- има двоструко већу површину од троугла -{ABD}-.
# Како су тачке -{C}-, -{A}- и -{G}- колинеарне, квадрат -{BAGF}- има двоструко већу површину од троугла -{FBC}-.
# Из претходног следи да правоугаоник -{BDLK}- има исту површину као квадрат -{BAGF}-, која је једнака -{AB}-².
# Слично, могуће је показати да правоугаоник -{CKLE}- мора да има исту површину као квадрат -{ACIH}- која износи -{AC}-².
# Сабирањем добијених једнакости биће -{AB}-² + -{AC}-² = -{BD × BK + KL × KC}-
# Како је -{BD = KL}-, важи -{BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC}-
# Одатле је -{AB}-² + -{AC}-² = -{BC}-², пошто је -{CBDE}- квадрат.

[[Датотека:Pythagoras generalizatoin 1.JPG|мини|лево|150п|Пример генерализације Питагорине теореме]]
[[Датотека:Proof-Pythagorean-Theorem.svg|мини|лево|150п|Доказ из шесте књиге [[Еуклид]]ових ''Елемената'']]

Могуће је да је Еуклид био свестан тежине овог доказа, и да је због тога у шестој књизи доказао мало општији случај Питагорине теореме користећи сличност. Према том тврђењу, код правоуглог троугла, геометријски лик (без ограничења да то мора бити квадрат) конструисан над [[Хипотенуза|хипотенузом]] једнак је по површини збиру површина сличних и слично конструисаних геометријских ликова над [[катета]]ма.<ref name="euklidVI"/>
# Нека је -{ACB}- правоугли троугао са правим углом код темена -{C}-.
# Аналогно претходном доказу, потребно је спустити нормалу из темена правог угла на хипотенузу. Подножје нормале означено је са -{H}-.
# Како је -{AB}- нормално на -{CD}- и -{AC}- нормално на -{CB}-, углови -{HAC}- и -{HCB}- су једнаки као углови са нормалним крацима.
# Последица је да су троуглови -{AHC}- и -{CHB}- међусобно слични, и слични полазном троуглу -{ACB}-, па су њихове одговарајуће странице пропорционалне.
# Из једнакости -{AB/AC=AC/AD}- и -{AB/BC=BC/BD}-, унакрсним множењем добија се да важи -{AC}-²=-{ABxAD}- и -{BC}-²=-{ABxBD}-.
# Сабирањем добијених једнакости биће -{AC}-²+-{BC}-²=-{ABxAD+ABxBD=ABx(AD+BD)}-
# Како је -{AD+BD=AB}-, важи -{AC}-²+-{BC}-²=-{ABxAB=AB}-².

Поред наведених тврђења, Еуклид је у првој књизи ''Елемената'' доказао и тврђење у супротном смеру од Питагорине теореме, према коме је правоугли троугао једини троугао код кога важи једнакост -{a}-²+-{b}-²=-{c}-².<ref>Еуклид, ''Елементи'', [http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/EUKLID01_T_48.HTML књига -{I}-, тврђење -{XLVIII}-], Приступљено 23. 4. 2013.</ref>

=== Гарфилдов доказ ===
[[Датотека:Teorema de Pitágoras.Garfield.svg|мини|150п|Слика уз [[Џејмс А. Гарфилд|Гарфилдов]] доказ Питагорине теореме]]
Још један посебно значајан геометријски доказ, у коме се не користе квадрати над страницама, открио је негде око [[1876]]. године [[Џејмс А. Гарфилд|Џејмс Гарфилд]], који је касније постао двадесети [[Председник Сједињених Америчких Држава|председник САД]]. Према Илиши Лумису, доказ је био последица једне Гарфилдове математичке расправе са осталим члановима Конгреса.<ref name="Maor"/>

Идеја доказа је да се на полазни [[троугао]] надовеже још један њему подударан, тако да се краћа [[катета]] првог и дужа катета другог налазе на једној правој и да полазе из истог темена. Затим се спајањем преостала два темена троуглова која припадају [[хипотенуза]]ма добија правоугли [[трапез (геометрија)|трапез]] чије су основице дужине ''-{a}-'' и ''-{b}-'', а висина дужине ''-{a''+''b}-''. Са једне стране, његова површина се може добити као производ полузбира основица и висине, а са друге као збир површина три троугла на које је подељен, па важи:
:<math> \frac {(a+b)^2} 2 = \frac {{ab}} 2 + \frac {{ab}} 2 + \frac {c^2} 2 \,\, \Rarr \,\, a^2 + b^2 = c^2  </math>

=== Леонардов доказ ===
[[Датотека:Teorema de Pitágoras.Leonardo da Vinci.svg|мини|200п|[[Леонардо да Винчи|Леонардов]] доказ Питагорине теореме]]
[[Датотека:Pythagoras theorem leonardo da vinci.png|мини|200п|Идеја [[Леонардо да Винчи|Леонардовог]] доказа Питагорине теореме]]
Следећи доказ се приписује чувеном [[италија]]нском уметнику и научнику [[Леонардо да Винчи|Леонарду да Винчију]],{{sfn|Петковић|2006|pp= 212}} а ослања се на [[осна симетрија|симетрију]] и [[ротација|ротацију]].<ref>Ради једноставнијег праћења доказа погледати следећу [http://www.takayaiwamoto.com/Pythagorean_Theorem/Euclid_47_5_anim.gif анимацију] и [https://web.archive.org/web/20081120085300/http://www.math.csusb.edu/courses/m129/leo_pyth.html архивирану][https://web.archive.org/web/20081120085300/http://www.math.csusb.edu/courses/m129/leo_pyth.html трансформацију] коју је могуће интерактивно направити уз подршку јава-аплета.</ref>
# Нека је ''-{ABC}-'' правоугли [[троугао]] са правим углом код темена ''-{C}-''.
# Над сваком од страница ''-{CA}-'', ''-{BC}-'' и ''-{AB}-'' конструисани су [[квадрат]]и ''-{ACED}-'', ''-{BCFG}-'' и ''-{ABHJ}-'' респективно.
# Над страницом ''-{HJ}-'' конструисан је троугао ''-{HJI}-'' који је подударан троуглу ''-{ABC}-'', али је у односу на њега заротиран за 180[[лучни степен|°]] (степени).
# [[Шестоугао]] ''-{AJIHBC}-'' је преполовљен својом дијагоналом ''-{CI}-''.
# Спајањем тачака ''-{Е}-'' и ''-{F}-'' добија се шестоугао ''-{ABGFED}-'', који је преполовљен својом дијагоналом ''-{DG}-''. Троуглови ''-{ABC}-'' и ''-{ECF}-'' су симетрични у односу на дијагоналу ''-{DG}-'', што за последицу има да су тачке ''-{D}-'', ''-{C}-'' и ''-{G}-'' [[Колинеарност|колинеарне]].
# Ако се четвороугао ''-{DABG}-'' заротира око тачке ''-{A}-'' за 90° (у смеру кретања казаљке на сату на приложеној слици), поклопиће се са четвороуглом ''-{CAJI}-'', што значи да они имају једнаке површине. То је последица чињенице да су углови ''-{DAC}-'' и ''-{BAJ}-'' прави, што значи да је угао ''-{DAB}-'' једнак углу ''-{CAJ}-'', пошто су оба једнака збиру правог угла и угла ''-{CAB}-''. Слично, угао ''-{AJI}-'' је једнак углу ''-{ABG}-'', јер су оба једнака збиру правог угла и угла ''-{ABC}-''. То значи да дуж ''-{AD}-'' прелази у ''-{AC}-'', дуж ''-{AB}-'' прелази у ''-{AI}-'', а дуж ''-{BG}-'' у ''-{JI}-''.
# Како четвороуглови ''-{DABG}-'' и ''-{CAJI}-'' имају једнаке површине (рецимо, ''-{S}-''), и шестоуглови ''-{ABGFED}-'' и ''-{AJIHBC}-'' имају међусобно једнаке површине (2''-{S}-''). Ако се из шестоугла ''-{ABGFED}-'' изоставе подударни троуглови ''-{ABC}-'' и ''-{ECF}-'', његова површина се смањује на збир површина квадрата ''-{ACED}-'' и ''-{BCFG}-''. Са друге стране, ако се из површине шестоугла ''-{AJIHBC}-'' изузму површине подударних троуглова ''-{ABC}-'' и ''-{HJI}-'', добијена површина је једнака површини квадрата ''-{ABHJ}-'', а одатле непосредно следи једнакост ''-{AC}-''²+''-{BC}-''²=''-{AB}-''².

=== Доказ Џорџа Ејрија ===
[[Датотека:Airy tdp.gif|мини|лево|150п|Слика помоћу које је [[Џорџ Бидел Ери|Ејри]] доказао Питагорину теорему. У белом [[Петоугао|петоуглу]] је био исписан доказ у стиху.]]
[[Енглеска|Енглески]] [[математика|математичар]] и [[астроном]], [[Џорџ Бидел Ери|Џорџ Бидел Ејри]], свој доказ је формулисао у стиху који је био исписан на пратећој слици, и у оригиналу гласи:
{{quote|''-{I am, as you can see, <br />a² + b² - ab<br />When two triangles on me stand,<br />Square of hypothenuse is plann'd<br />But if I stand on them instead<br />The squares of both sides are read.}-''<ref>{{cite web|url=http://web.math.unifi.it/archimede/archimede_NEW_inglese/pitagora/exh_pitagora/scheda3.html#2|title=Још један врло једноставан доказ|accessdate=22. 11. 2008|archive-date=30. 10. 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20231030080134/http://web.math.unifi.it/archimede/archimede_NEW_inglese/pitagora/exh_pitagora/scheda3.html#2|url-status=}}</ref>}}

што би се могло превести на [[српски језик]] са:
:„''Ја сам, као што се види, -{a² + b² - ab}-. Када на мени стоје два троугла, добија се квадрат над хипотенузом. Али, ако ја стојим на њима добијају се квадрати над катетама.''“

Идеја доказа је да се уочи бели [[петоугао]] који је заједнички елемент за обе стране једнакости. На приложеној слици он је добијен тако што су [[квадрат]] странице -{a}- и квадрат странице -{b}- постављени на исту праву и наслоњени један на други, а затим су им одузета два плава правоугла [[Троугао|троугла]] чије су катете дужина -{a}- и -{b}-. Површина тог петоугла је управо -{a² + b² - ab}-. Уколико се на њега надовежу два црвена троугла подударна са плавим троугловима, површина тог другог лика ће бити -{c²}- чиме је теорема доказана.

== Уопштења теореме ==
=== Косинусна теорема ===
[[Датотека:Driehoek-cosinusregel.png|мини|150п|Неједнакостраничан оштроугли троугао]]
{{Види још|Косинусна теорема}}
Једна од значајних генерализација Питагорине теореме је [[косинусна теорема]], која, поред правоуглих, важи и за оштроугле и тупоугле троуглове, односно, може се применити на произвољан троугао. Ако су темена, странице и углови троугла означени као на слици, важе једнакости:

: <math>\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha,</math>
: <math>\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta,</math>
: <math>\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma.</math>{{sfn|Дугошија|Ивановић|Милин|1999|pp=68}}

Сабирак вишка се може интерпретирати као двоструки [[скаларни производ вектора]] одређених одговарајућим страницама. Када је <math>\gamma</math> прав угао, биће <math>\cos\gamma = 0 </math>, па се тада последња једнакост своди на Питагорину теорему.

=== Просторна Питагорина теорема ===
[[Датотека:De gua theorem 2.svg|мини|150п|[[Тетраедар]] -{ABCO}-.]]
Један просторни аналогон Питагорине теореме је специјалан случај [[Косинусна теорема|косинусне теореме]] за [[тетраедар]], према којој, за површине страна тетраедра -{ABCO}- означене са <math>\scriptstyle S_O</math>, <math>\scriptstyle S_A</math>, <math>\scriptstyle S_B</math> и <math>\scriptstyle S_C</math>, које су наспрамне одговарајућим теменима у свом индексу, и за [[диедар|диедарске углове]] при ивицама ''-{OA}-'' (диедарски угао ''-{α}-''), ''-{OB}-'' (''-{β}-'') и ''-{OC}-'' (''-{γ}-''), важи једнакост:

: <math>S^{2}_{O} = S^{2}_{A} + S^{2}_{B} + S^{2}_{C} - 2S_{B}S_{C}\cos\alpha - 2S_{C}S_{A}\cos\beta - 2S_{A}S_{B}\cos\gamma. </math><ref>{{cite web|url=http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/nm/230/nm513406.pdf|title=Милорад Бељић, ''Косинусна теорема за тетраедар''|accessdate=23. 10. 2008}}</ref>

Ако су углови <math>\scriptstyle \alpha</math>, <math>\scriptstyle \beta</math> и <math>\scriptstyle \gamma</math> прави, тако да је [[триедар]] при темену ''-{O}-'' правоугли, претходна једнакост се своди на:

: <math>S^{2}_{O} = S^{2}_{A} + S^{2}_{B} + S^{2}_{C}, </math>

што се може сматрати једним уопштењем Питагорине теореме у простору <math>\scriptstyle R^{3}</math>. Ову теорему је [[Француска|француски]] математичар [[Жан-Пол де Гија де Малвес]] презентовао париској Академији наука [[1783]]. године, због чега носи његово име, иако је била позната још [[Рене Декарт|Декарту]].<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/deGuasTheorem.html|title=de Gua's Theorem|accessdate=23. 10. 2008}}</ref>

=== Парсевалова једнакост ===
{{Види још|Парсевалова једнакост}}
Уопштење Питагорине теореме на бесконачнодимензионим [[сепарабилни простор|сепарабилним]] [[Пред-Хилбертов простор|пред-Хилбертовим просторима]] је познато као [[Марк Антоан Парсевал|Парсевалова]] једнакост. Ако је <math>\scriptstyle X</math> један такав простор, а <math>\scriptstyle\left\{e_{1},e_{2},\cdots\right\}</math> једна његова [[ортонормална база]], тада за сваки вектор <math>\scriptstyle x\in X</math> важи: 
:<math>\sum_{n=1}^{+\infty}\left(x\cdot e_n\right)^2 = \left\|x\right\|^2</math><ref name="Analiza2"/>.

== Последице и употреба теореме ==
=== Питагорине тројке ===
{{Види још|Питагорина тројка}}
Питагорина тројка је [[Уређени пар#Уређена n-торка|уређена тројка]] [[Природан број|природних бројева]] -{x}-, -{y}- и -{z}- за које важи једнакост -{x}-²+-{y}-²=-{z}-², односно, Питагорину тројку чине целобројне дужине страница правоуглог троугла. [[Вавилонија|Вавилонске]] глинене таблице<ref>Видети [http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html -{YBC}- 7289] и [http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html -{Plimpton}- 322]</ref> ({{јез-енгл|YBC 7289, Plimpton 322}}) које су датиране у период 1800—1600. п. н. е. показују да су такве тројке биле познате много пре Питагоре. Данас није најјасније какву су употребну вредност имала та знања. Према неким изворима<ref>{{cite web|url=http://www.maa.org/news/monthly105-120.pdf|title=Eleanor Robson, Words and Pictures: New Light on Plimpton 322|accessdate=16. 11. 2008}}</ref>, чини се да је у питању списак готових решења једног проблема који је омогућавао древном предавачу [[Математика|математике]] да без додатних израчунавања одмах провери тачност ученичких радова.

Свака Питагорина тројка је облика (''-{ka}-'',&nbsp;''-{kb}-'',&nbsp;''-{kc}-''), где је ''-{k}-'' природан број и (''-{a}-'',&nbsp;''-{b}-'',&nbsp;''-{c}-'') примитивна Питагорина тројка (односно чине је [[узајамно прости бројеви]]). Различитих примитивних Питагориних тројки има бесконачно много и позната је њихова експлицитна [[параметарска једначина|параметризација]].

=== Геометријска конструкција ирационалних бројева ===
{{главни|Конструктибилни бројеви}}
[[Датотека:Square root of 2 triangle.svg|мини|лево|150п|[[Корен из 2]] је конструктибилан број - правоугли троугао са катетама јединичне дужине има дијагоналу дужине &nbsp;√2]]
Откриће [[ирационалан број|ирационалних бројева]] се приписује [[Питагорејци]]ма, али није прецизно познато да ли су до њих дошли проучавањем [[geometrijska sredina|геометријске средине]] или разматрањем дужине дијагонале квадрата.<ref>Стројк, ''Кратак преглед историје математике'', pp. 53</ref> Поред тога што су установили да постоје ''несамерљиви'' бројеви, показали су да се они могу конструисати што је озбиљно угрозило њихово веровање да је у основи свега оно што се данас назива [[рационалан број|рационалним бројем]], па је откриће строго чувано. Постоји легенда да је један од чланова братства, који се дрзнуо да јавно говори о томе, за казну утопљен у мору.<ref>Heath, ''A History Of Greek Mathematics, volume I'', pp. 154.</ref>

Иако се не могу изразити у облику количника два [[цео број|цела броја]], неки ирационални бројеви се могу [[Конструкције лењиром и шестаром|конструисати помоћу лењира и шестара]]. Тако се √2, који се понекад назива и ''Питагорином константом''{{sfn|Finch|2003|pp= 1}}, може добити као [[хипотенуза]] правоуглог троугла коме су обе катете јединичне дужине. Уколико су катете дужина 1 и √2, хипотенуза ће бити дужине √3 и слично за квадратни корен произвољног природног броја.

Не могу се сви позитивни ирационални бројеви конструисати помоћу лењира и шестара: такви, [[конструктибилни бројеви]] чине посебан подскуп скупа [[алгебарски број|алгебарских бројева]] и стога их има [[пребројив скуп|пребројиво много]], док је осталих, неконструктибилних реалних бројева непребројиво много; неконструктибилни су, на пример, бројеви <math>\sqrt[3]{2}</math>, -{cos}-&nbsp;20°, [[Број е|''-{e}-'']] (Ермит 1871), [[Пи|''-{π}-'']] (Линдеман 1882), и многи други.

=== Базелски проблем ===
{{Види још|Базелски проблем}}
[[Италија]]нски [[математика|математичар]] [[Пјетро Менголи]] је [[1644]]. године поставио питање одређивања збира реципрочних вредности квадрата свих [[природан број|природних бројева]]. Иако је поставка проблема релативно једноставна, на решење се чекало скоро читав век, јер је тек [[Леонард Ојлер|Ојлер]] [[1735]]. године објавио резултат, за који је [[1741]]. године и доказао да је заиста тражени збир. Коришћењем математичке нотације, Базелски проблем се може записати на следећи начин:

:<math>
\sum_{n=1}^{+\infin} \frac{1}{n^2} =
\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\pi ^2}{6},
</math>

а збир датог реда се може геометријски [[Апроксимација|апроксимирати]] коришћењем Питагорине теореме. Конструкцијом правоуглог троугла са [[катета]]ма дужине 1 и 1/2 добија се [[хипотенуза]] чија је дужина квадратни корен збира прва два члана датог реда. Уколико се затим над том хипотенузом као катетом конструише нови правоугли троугао коме је друга катета дужине 1/3, његова хипотенуза ће имати дужину једнаку квадратном корену из збира прва три члана истог реда. Продужавањем поступка у [[бесконачност]] дужина хипотенузе сваког следећег [[Троугао|троугла]] је све ближа вредности <math>\frac{\pi}{\sqrt{6}}</math>.

=== Растојање између две тачке у аналитичкој геометрији ===
{{Види још|Аналитичка геометрија}}
Формула за растојање између две тачке у [[Рене Декарт|Декартовом]] [[Декартов координатни систем|правоуглом координатном систему]] је изведена помоћу Питагорине теореме. Ако су <math>\scriptstyle A\,=\,(x_a,y_a)</math> и <math>\scriptstyle B\,=\,(x_b,y_b)</math> две тачке у [[Раван|равни]], онда је њихово [[Еуклидска раздаљина|еуклидско растојање]]:

:<math>\left|AB\right| = \sqrt{(x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2}.</math>{{sfn|Кечкић|1994|pp= 111}}

У општем случају, у вишедимензионом [[еуклидов простор|еуклидском простору]], растојање између тачака <math>\scriptstyle A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> и <math>\scriptstyle B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)</math> се одређује формулом:

:<math>\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.</math>

=== Фермаова последња теорема ===
{{Види још|Последња Фермаова теорема}}
Последња Фермаова теорема је тврђење које је [[Пјер де Ферма|Пјер Ферма]] записао без доказа на маргини [[Диофант]]ове друге књиге ''Аритметике'', а тиче се питања да ли постоје природни бројеви који би задовољавали уопштење једначине којом се дефинишу Питагорине тројке. Тврђење до кога је дошао отприлике [[1637]]. године,{{sfn|Синг|1999|pp= 62}} да не постоје природни бројеви ''-{a'', ''b}-'' и ''-{c}-'' за које важи једнакост

: <math>a^n + b^n = c^n\, </math>

кад год је ''-{n}-'' [[природан број]] већи од 2, било је вековима претпоставка, а доказао га је тек [[Ендру Вајлс]] [[1995]]. године.

== Обрнута Питагорина теорема ==
Такозвана Обрнута Питагорина теорема гласи: ''Ако је површина квадрата конструисаног над хипотенузом једнак збиру површина квадрата конструисаних над катетама, онда је троугао правоугли''.

== Помињање Питагорине теореме у општој култури ==
У књизи ''Аутобиографија'' [[Бранислав Нушић]] наводи формулацију теореме у стиху:
{{quote|''Квадрат од хипотенузе,<br />То зна свако дете,<br />Раван је квадратима<br />Од обе катете.''{{sfn|Нушић|1963|pp= 125,127}}|id=}}

[[Немачка|Немачки]] [[песник]] и [[ботаника|ботаничар]], [[Аделберт фон Шамисо]], посветио је једну своју песму открићу Питагорине теореме.<ref>Погледати оригинални текст на немачком, и превод на енглески Брајана Кола: {{cite web|url=http://colecizj.easyvserver.com/pgchapyt.htm|title=Adalbert von Chamisso, ''Vom Pythagoreischen Lehrsatz''|accessdate=22. 11. 2008|archive-url=https://web.archive.org/web/20120326102554/http://colecizj.easyvserver.com/pgchapyt.htm|archive-date=26. 3. 2012|url-status=dead}}</ref>

На једној од седам слика [[Француска|француског]] [[сликар]]а [[Лоран де ла Ер|Лорана де ла Ера]] ({{јез-фр|Laurent de La Hyre}}) које представљају [[седам слободних вештина]], древни [[тривијум]] и [[квадривијум]], под називом ''Алегорија Геометрије'' приказана је жена која у десној руци држи [[пергамент]] са неколико геометријских слика.<ref>{{cite web|url=http://www.ateg.org/whitfield.php|title=Laurent de La Hyre (1601—1666), Allegory of Geometry|accessdate=16. 11. 2008|archive-url=https://web.archive.org/web/20160307120354/http://ateg.org/whitfield.php|archive-date=07. 03. 2016|url-status=dead|df=}}</ref> Прва у низу је управо слика коју је [[Еуклид]] дао у свом доказу Питагорине теореме у првој књизи [[Еуклидови Елементи|''Елемената'']].<ref name="Maor"/>

У филму [[Виктор Флеминг|Виктора Флеминга]] [[Чаробњак из Оза (филм из 1939)|„Чаробњак из Оза“]], снимљеном према истоименој књизи [[Л. Френк Баум|Л. Френка Баума]], постоји сцена<ref>{{cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=uCOxU2rKLas|title=Wizard of Oz, Scarecrow's Mathematical Error|accessdate=5. 8. 2017}}</ref> у којој један од главних јунака, Страшило, у тренутку када добија на поклон од Чаробњака диплому, демонстрира своје знање експлицитно наводећи нетачан исказ теореме у следећем облику:
{{quote|''Збир квадратних корена било које две странице једнакокраког троугла је једнак квадратном корену треће странице.''<ref>{{cite web|url=http://www.imdb.com/character/ch0004328/quotes|title=Реплике Страшила из филма „Чаробњак из Оза“|accessdate=15. 11. 2008}}</ref>}}

Страшилову формулацију цитира [[Хомер Џеј Симпсон|Хомер Симпсон]] у десетој епизоди петог серијала серије „[[Симпсонови]]“, након што употреби наочари [[Хенри Кисинџер|Хенрија Кисинџера]] нађене у тоалету [[Спрингфилдска нуклеарна електрана|спрингфилдске нуклеарке]]. За разлику од Страшиловог исказа који остаје нетачан, у [[Цртани филм|цртаној серији]] се из позадине чује глас који делимично исправља Хомера („''У питању је правоугли троугао, идиоте.''“).<ref>{{cite web|url=http://www.imdb.com/title/tt0701040/quotes|title=Реплике Симпсонових из епизоде „$прингфилд“|accessdate=15. 11. 2008}}</ref>

У [[Грчка|Грчкој]], [[Јапан]]у, [[Сан Марино|Сан Марину]], [[Република Македонија|Македонији]] и [[Суринам]]у су издате [[Поштанска марка|поштанске марке]] са карактеристичним визуелним приказом Питагорине теореме.<ref>{{cite web|url=http://jeff560.tripod.com/stamps.html|title=Images of Mathematicians on Postage Stamps|last=Miller|first=Jeff|date=|accessdate=20. 4. 2014}} <br /> Погледати поштанске марке издате у [http://jeff560.tripod.com/images/theorem.jpg Грчкој], [http://jeff560.tripod.com/images/pythagoras7.jpg Јапану], [http://jeff560.tripod.com/images/pythag3.jpg Сан Марину], [http://jeff560.tripod.com/images/pythagoras6.jpg Македонији] и [http://jeff560.tripod.com/images/theorem2.jpg Суринаму].</ref>

У [[Уганда|Уганди]] је [[2000]]. године пуштен у оптицај [[Новац|новчић]] у облику правоуглог троугла, на чијој је задњој страни лик Питагоре и алгебарски запис теореме, уз текст „Питагорин миленијум“.<ref>{{cite web|url=http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm|title=Le Saviez-vous?|accessdate=7. 10. 2008|archive-url=https://web.archive.org/web/20090921060307/http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm|archive-date=21. 9. 2009|url-status=dead}}</ref>

Карактеристична слика која симболише Питагорину теорему се може видети и на [[грб]]у [[Шведска|шведског]] инжењера Кристофера Полхема ({{јез-шв|Christopher Polhem}}).<ref>{{cite web|url=http://www.numericana.com/arms/polhem.htm |title=Christopher Polhem (1661-1751).Swedish engineer, knighted in 1716.|accessdate=24. 2. 2009}}</ref>

У седамнаестој и тридесет четвртој књизи енглеског издања [[стрип]]а [[Астерикс]] појављује се лик младог римског [[Архитекта|архитекте]] Квадратнадхипотенузиса ({{јез-ен|Squareonthehypothenus}}), чије је име инспирисано теоремом.<ref>{{cite web|url=http://www.asterix.com/encyclopedia/characters/squareonthehypothenus.html |title=Squareonthehypothenus |accessdate=20. 2. 2011 |archive-url=https://web.archive.org/web/20101120003750/http://asterix.com/encyclopedia/characters/squareonthehypothenus.html |archive-date=20. 11. 2010 |url-status=dead }}</ref>

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
{{Литература|2}}
* {{Cite book|ref=harv|title=The Poincaré half-plane: a gateway to modern geometry |last=Stahl|first=Saul|url=http://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122 |chapter=Theorem 8.3|isbn=978-0-86720-298-4 |year=1993|publisher=Jones & Bartlett Learning|pages=122}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Фермаова последња теорема |last=Синг|first=Сајмон|authorlink = Сајмон Синг |year=1999|publisher=ДН центар|location= Београд|isbn=978-86-83239-01-6|pages=62}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Mathematical Constants |url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc|last=Finch|first=Steven R.|year=2003|publisher=Cambridge University Press|location= Cambridge|isbn=978-0-521-81805-6|pages=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/1 1]}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Математички времеплов|last=Петковић|first=Миодраг|year=2006|publisher=Змај|location= Нови Сад|isbn=978-86-489-0553-6|pages=212}}
* {{Cite book|ref=harv|title=The Pythagorean Theorem - A 4000 Year History |last=Maor|first=Eli  |year=2007|publisher=Princeton University Press|location= Princeton, New Jersey |isbn=978-0-691-12526-8|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Кратак преглед историје математике |last=Стројк|first=Дирк Ј.|authorlink=Дирк Стројк|year=1991|publisher=Завод за уџбенике и наставна средства|location= Београд|isbn=978-86-17-01779-6|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=A History Of Greek Mathematics, volume I|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.161061|last=Heath|first=Sir Thomas|year=1921|publisher=Oxford At The Claredon Press|location= Oxford|id=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=History of Mathematics, volume II |last=Smith|first=David Eugene|year=1953|publisher=Dover Publications|location= New York}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Математички времеплов|last=Петковић|first=Миодраг|year=2006|publisher=Змај|location= Нови Сад|isbn=978-86-489-0553-6|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Питагорини бројеви |last=Андрић|first=Војислав|authorlink = Војислав Андрић |year=1989|publisher=Архимедес|location= Београд |id=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=The History of Mathematics - An Introduction |last=Burton|first=David M.  |year=2005|publisher=McGraw-Hill|location=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Огледи из историје античке геометрије |last=Лучић|first=Зоран  |year=2009|publisher=Службени гласник|location= Београд |isbn=978-86-519-0117-4|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Геометрија за први разред Математичке гимназије |last=Митровић| first =Милан| display-authors = et al  |year=1988|publisher=Круг|location=Београд  |isbn=978-86-7136-054-8|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Тригонометрија |last=Дугошија|first=Ђорђе|last2=Ивановић|first2=Живорад|last3=Милин|first3=Лазар|year=1999|publisher=„Круг“|location=Београд|isbn=978-86-7136-058-6|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Математичка анализа II|last=Каделбург|first=Зоран|authorlink=Зоран Каделбург|year=1991|publisher=Завод за уџбенике и наставна средства|location= Београд|isbn=978-86-17-01783-3|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Математика са збирком задатака за III разред средње школе |last=Кечкић|first=Јован Д.|year=1994|publisher=Завод за уџбенике и наставна средства|location= Београд|isbn=978-86-17-02963-8|pages=111}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Аутобиографија |last=Нушић|first=Бранислав|authorlink=Бранислав Нушић|year=1963|publisher=Новинско-издавачко предузеће „Јеж“|location= Београд|id=|pages=125,127}}
* {{Cite book| ref=harv|last =Миланковић|first =Милутин|title =Кроз царство наука| location=Београд|year=1950| url =https://digitalna.nb.rs/wb/NBS/Knjige/Zbirka_knjiga_Milutina_Milankovica/II-015449-008#page/10/mode/1up}}
* {{Cite book| ref=harv|last =Логос|first =Александар А.|title =Путовање мисли : увод у потрагу за истином| location=Београд|year=2017| url =https://www.academia.edu/44763929/Putovanje_misli_Beograd_2017_pdf}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Скуп од 79 различитих доказа Питагорине теореме] {{en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html Чланак о Питагориној теореми] на MathWorld {{en}}
* [http://www.math.hawaii.edu/~ralph/Pythagoras/index.html Еуклидов доказ Питагорине теореме] - интерактивна анимација {{en}}
* [http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd09xx/EWD975.PDF О једној генерализацији Питагорине теореме] - рукопис [[Едсгер Дајкстра|Е. Дајкстре]] {{en}}
* [http://sites.google.com/site/pitagorac/sredna-skola/geometrija/planimetrija/pitagorina-teorema Питагорина теорема] {{sr}}
* [https://www.rts.rs/page/magazine/ci/story/501/zanimljivosti/4477219/trigonometriju-su-otkrili-vavilonci-a-ne-pitagora.html Да ли ће Питагорина теорема постати Вавилонска теорема (РТС Магазин)]

{{Подножје}}
{{Сјајан чланак}}

[[Категорија:Питагора]]
[[Категорија:Математичке теореме]]
[[Категорија:Троугао]]
[[Категорија:Еуклидска геометрија]]
[[Категорија:Површина]]
[[Категорија:Угао]]
[[Категорија:Једначине]]
[[Категорија:Геометрија троугла]]