Изворни код странице Пирамида (геометрија)

{{Infobox polyhedron
| name          = Праве пирамиде са регуларном основом
| image         = Pyramid.svg
| caption       = Пример: [[square pyramid|квадратна пирамида]]
| type          = 
| euler         = 
| faces         = {{mvar|n}} [[triangle|троуглови]]<br>1 {{nowrap|{{mvar|n}}-sided}} [[polygon|полигон]]
| edges         = {{math|2''n''}}
| vertices      = {{math|''n'' + 1}}
| vertex_config = 
| schläfli      = {{math|( ) ∨ {''n''} }}
| wythoff       = 
| coxeter       = 
| conway        = {{math|Y''n''}}
| symmetry      = {{math|''C''{{sub|''n''v}}, [1,''n''], (*''nn''),}} реда {{math|2''n''}}
| rotation_group = {{math|''C''{{sub|''n''}}, [1,''n'']{{sup|+}}, (''nn''),}} реда {{mvar|n}}
| surface_area  = 
| volume        = 
| dual          = [[Self-dual polyhedron|самодуалан]]
| properties    = [[convex polytope|конвексна]]
| vertex_figure = 
| net           = 
}}
[[Датотека:Wheel graphs.svg|thumb|250px|1-[[Skeleton (topology)|скелет]] пирамиде је [[wheel graph|дијаграм точка]] ]]
[[Датотека:Pyramid.svg|мини|десно|250px|Основне димензије пирамиде]]

'''Пирамида''' ({{ety|el|''πυραμίς'' (pyramís)}}<ref>[https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dpurami%2Fs πυραμίς], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus Digital Library</ref><ref>The word meant "a kind of cake of roasted wheat-grains preserved in honey"; the Egyptian pyramids were named after its form ([[Robert S. P. Beekes|R. S. P. Beekes]], ''Etymological Dictionary of Greek'', Brill, 2009, p. 1261).</ref>) [[полиедар]] је омеђен основом и страницама које се спајају у једној тачки - [[теме]]ну, које се налази на супротној страни од основе. Пирамида може бити права или коса. Права пирамида је она код које се ортогонална [[пројекција (психологија)|пројекција]] темена (врха) на основу поклапа са [[тежиште]]м основе. Права пирамида је правилна ако јој је основа правилан [[многоугао]].<ref>William F. Kern, James R Bland,''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p. 46</ref><ref>{{cite web |url=https://books.google.com/books?id=KC1RAAAAYAAJ&pg=PA248 |title=Civil Engineers' Pocket Book: A Reference-book for Engineers |date= 1913|website= |publisher= |access-date= |archive-date=25. 02. 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180225234757/https://books.google.com/books?id=KC1RAAAAYAAJ&pg=PA248 |url-status=  | last1=Frye | first1=Albert Irvin }}</ref> Површина пирамиде једнака је збиру површина основе и страница. Основа може бити било који многоугао, док су странице заправо троуглови. Код правилне пирамиде ти троуглови су једнакокраки и међусобно подударни. Површина пирамиде се израчунава: <math>P = \ B + M</math>, где је: B - површина основе, M - површина омотача. Запремина пирамиде се рачуна по формули: <math>V = \frac{B*H}{3}</math>, где је: B - површина основе, H - висина пирамиде

Међу косим пирамидама, попут оних са [[acute and obtuse triangles|оштрим и тупим троугловима]], пирамида се може назвати ''оштром'' ако је њен врх изнад унутрашњости основе и ''тупом'' ако јој је врх изнад спољашњости основе. ''Правоугаона пирамида'' има врх изнад ивице или темена основе. У тетраедру ови квалификатори се мењају на основу тога које лице се сматра базом.

Пирамиде су класа [[prismatoid|призматоида]]. Пирамиде се могу удвостручити у [[bipyramid|бипирамиде]] додавањем друге тачке померања на другој страни основне равни.

== Праве пирамиде са регуларном основом ==

Права пирамида са регуларном основом има странице једнакокраког троугла, са симетријом C<sub>''n''v</sub> или [1,''n''], и са редом 2''n''. Њој се може дати проширени [[Schläfli symbol|Шлафли симбол]] ( ) ∨ {''n''}, који представља тачку, ( ), спојену (ортогонално померену) са [[regular polygon|регуларним полигоном]], {n}. Операција спајања ствара нову ивицу између свих парова темена две спојене фигуре.<ref>{{cite book|title= Geometries and Transformations|location= |publisher= Cambridge University Press|isbn=978-1-107-10340-5|pages=|last1= Johnson|first1= Norman W.|date= 7 June 2018}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms</ref>

''Тригонална'' или ''троугласта пирамида'' са свим површинама [[equilateral triangle|једнакостраничног троугла]] постаје [[regular polyhedron|регуларни]] [[тетраедар]], једно од [[Platonic solid|Платонових чврстих тела]]. Случај ниже симетрије '''троугласте пирамиде''' је C<sub>3v</sub>, која има основу једнакостраничног троугла и 3 идентичне странице једнакокраког троугла. Квадратне и петоугаоне пирамиде такође могу бити састављене од правилних конвексних многоуглова, у ком случају су то [[Johnson solid|Џонсонова тела]].

Ако су све ивице квадратне пирамиде (или било ког конвексног полиедра) [[tangent|тангентне]] на [[sphere|сферу]] тако да је просечан положај тангенцијалних тачака у центру сфере, тада се каже да је пирамида [[Dual polyhedron#Canonical duals|канонска]] и чини половину правилног [[octahedron|октаедра]].

Пирамиде са шестоуглом или вишом основом морају бити састављене од једнакокраких троуглова. Шестоугаона пирамида са једнакостраничним троугловима била би потпуно равна фигура, а седмоугаона или виша би имала троуглове који се уопште не би састајали.

=== Права звездасте пирамиде ===
[[Датотека:Pentagram pyramid.png|200px|thumb|лево|Пентаграмска пирамида]]

Праве пирамиде са [[regular star polygon|правилним звездастим полигонским]] базама називају се ''звездасте пирамиде''.<ref>{{citation |title=Polyhedron Models |page=50 |url=https://books.google.com/books?id=N8lX2T-4njIC&pg=PA50 |first=Magnus J. |last=Wenninger |publisher=Cambridge University Press |year=1974 |isbn=978-0-521-09859-5 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20131211041958/http://books.google.com/books?id=N8lX2T-4njIC&pg=PA50 |archive-date = 11. 12. 2013}}.</ref> На пример, пентаграмска пирамида има основу [[пентаграм]]а и 10 троугластих страница које се секу.

== Праве пирамиде са неправилном основом ==
[[Датотека:General_right_pyramid.png|thumb|Пример опште праве пирамиде са врхом изнад тежишта основног полигона]]

''Права пирамида'' се може назвати као (&nbsp;)∨P, где је (&nbsp;) тачка врха, ∨ оператор спајања, и P је основни полигон.

''Једнакостранични троугао правог тетраедра'' може се написати као (&nbsp;)∨[(&nbsp;)∨{&nbsp;}] као спој тачке са основом [[isosceles triangle|једнакокраког троугла]], као [(&nbsp;)∨(&nbsp;)]∨{&nbsp;} или {&nbsp;}∨{&nbsp;} као спој (ортогонални помаци) два ортогонална сегмента, [[digonal disphenoid|дигонални дисфеноид]], који садржи 4 лица једнакокраког троугла. Он има C<sub>1v</sub> симетрију из две различите оријентације базе и врха, а C<sub>2v</sub> у својој пуној симетрији.

''[[rectangle|Правоугаона]]'' права пирамида, написана као (&nbsp;)∨[{&nbsp;}×{&nbsp;}], и ''[[rhombus|ромбична]] пирамида'', као (&nbsp;)∨[{&nbsp;}+{&nbsp;}], обе имају симетрију C<sub>2v</sub>.

{| class=wikitable
|+ Праве пирамиде
|- align=center
|[[File:Rectangular_right_pyramid.png|160px]]
|[[File:Rhombic_right_pyramid.png|160px]]
|-
!Правоугаона пирамида 
!Ромбична пирамида
|}

== Запремина ==
{{See also|Купа (геометрија)}}

[[Запремина]] пирамиде (такође било којег конуса) је <math>V = \tfrac{1}{3} bh</math>, где је ''b'' [[area|површина]] основе, а ''h'' висина од основе до врха. Ово функционише за било који полигон, правилан или неправилан, и било коју локацију врха, под условом да се ''h'' мери као [[perpendicular|окомито]] растојање од [[plane (geometry)|равни]] која садржи основу. Године 499, [[Aryabhata|Арјабхата]], [[mathematician|математичар]]-[[astronomer|астроном]] из класичног доба [[Indian mathematics|индијске математике]] и [[Indian astronomy|индијске астрономије]], користио је ову методу у ''[[Aryabhatiya|Аријабатији]]'' (одељак 2.6).

Формула се може формално доказати помоћу калкулуса. По сличности, ''линеарне'' димензије попречног пресека паралелног основици расту линеарно од врха до основе. Фактор скалирања (фактор пропорционалности) је <math>1 - \tfrac{y}{h}</math>, или <math>\tfrac{h - y}{h}</math>, где је ''h'' висина, а ''y'' окомито растојање од равни основе до попречног пресека. Пошто је [[површина]] било ког попречног пресека пропорционална квадрату фактора [[Scaling (geometry)|скалирања]] облика, површина попречног пресека на висини ''y'' је <math>b \tfrac{(h - y)^2}{h^2}</math>, или пошто су ''b'' и ''h'' константе, <math>\tfrac{b}{h^2} (h - y)^2</math>. Запремина је дата [[integral|интегралом]]
:<math>\frac{b}{h^2} \int_0^h (h-y)^2 \, dy = \frac{-b}{3h^2} (h-y)^3 \bigg|_0^h = \tfrac{1}{3}bh.</math>

Иста једначина, <math>V = \tfrac{1}{3} bh</math>, важи и за конусе са било којим база. Ово се може доказати аргументом сличним оном изнад; погледајте [[Cone (geometry)#Volume|запремину конуса]].

На пример, запремина пирамиде чија је основа ''n''-страни [[regular polygon|правилан многоугао]] са дужином странице ''s'' и чија је висина ''h'' је
:<math>V = \frac{n}{12}hs^2 \cot\frac{\pi}{n}.</math>

Формула се такође може извести тачно без рачуна за пирамиде са правоугаоним основама. Замислите јединичну коцку. Нацртајте линије од центра коцке до сваког од 8 врхова. Ово дели коцку на 6 једнаких квадратних пирамида основне површине 1 и висине 1/2. Свака пирамида јасно има запремину од 1/6. Из овога се закључује да је запремина пирамиде = висина × површина основе / 3.

Затим се коцка може проширити у три правца за неједнаке количине тако да добијене правоугаоне чврсте ивице буду ''a'', ''b'' и ''c'', са чврстом запремином ''abc''. Свака од 6 пирамида унутар ње је такође проширена. Свака пирамида има исту запремину ''abc''/6. Пошто парови пирамида имају висине ''a''/2, ''b''/2 и ''c''/2, види се да је запремина пирамиде = висина × површина основе / 3 поново.

Када су бочни троуглови једнакостранични, формула за запремину је
:<math>V = \frac{1}{12}ns^3\cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \sqrt{1-\frac{1}{4\sin^2\tfrac{\pi}{n}}}.</math>
Ова формула важи само за ''n'' = 2, 3, 4 и 5; а такође покрива случај ''n'' = 6, за који је запремина једнака нули (тј. висина пирамиде је нула).

== Површина ==

[[surface area|Површина]] пирамиде је <math>SA = B + \tfrac{1}{2}PL</math>, где је ''B'' основна површина, ''P'' је основни [[perimeter|периметар]], а [[slant height|висина нагиба]] <math>L = \sqrt{h^2 + r^2}</math>, где је ''h'' висина пирамиде, а ''r'' [[Opisana, upisana i spolja pripisana kružnica|полупречник]] основе.

== Центроид ==

[[centroid|Центроид]] пирамиде налази се на сегменту праве који повезује [[Apex (geometry)|врх]] са центроидом основе. За пирамиду, тежиште је 1/4 удаљености од основе до врха.

==''n''-димензионалне пирамиде==

Дводимензионална пирамида је троугао, формиран од основне ивице повезане са неколинеарном тачком која се зове [[Apex (geometry)|врх]].

4-димензионална пирамида се назива [[polyhedral pyramid|полиедарска пирамида]], конструисана од полиедра у 3-просторној хиперравни 4-простора са другом тачком изван те хиперравне.

Пирамиде виших димензија су слично конструисане.

Породица [[simplex|симплекса]] представља пирамиде у било којој димензији, растући од [[triangle|троугла]], [[tetrahedron|тетраедра]], 5-ћелија, [[5-simplex|5-симплекса]], итд. n-димензионални симплекс има минимум ''n+1'' [[Edge (geometry)|врхова]], са свим паровима врхова повезаних ивицама, све тројке врхова који дефинишу лица, све четворке тачака које дефинишу тетраедарске [[Cell (geometry)|ћелије]], итд.

=== Полиедарска пирамида ===

У 4-димензионалној [[geometry|геометрији]], ''полиедарска пирамида'' је [[4-polytope|4-политоп]] конструисан од основне ћелије [[polyhedron|полиедра]] и тачке [[Apex (geometry)|врха]]. Бочни [[Facet (geometry)|фасети]] су пирамидалне ћелије, од којих је свака изграђена од једне стране основног полиедра и врха. Врхови и ивице полиедарских пирамида чине примере [[apex graph|графова врхова]], графова формираних додавањем једног темена (врха) на [[planar graph|планарни граф]] (граф базе).

Регуларни [[5-cell|5-ћелијски]] (или 4-[[simplex|симплекс]]) је пример ''тетраедарске пирамиде''. Униформни полиедри са полупречником круга мањим од 1 могу се правити полиедарске пирамиде са правилним тетраедарским страницама. Полиедар са ''v'' врховима, ''e'' ивицама и ''f'' површинама може бити основа на полиедарској пирамиди са ''v+1'' врховима, ''e+v'' ивицама, ''f+e'' површинама и ''1+f'' ћелијама.

4Д ''полиедарска пирамида'' са аксијалном симетријом може се визуализовати у 3Д помоћу [[Schlegel diagram|Шлегеловог дијаграма]] — 3Д пројекције која поставља врх у центар основног полиедра.

{| class=wikitable
|+ Једнакостраничне униформне пирамиде засноване на полиедру ([[Schlegel diagram|Шлегелов дијаграм]])
! Симетрија
![1,1,4]
![1,2,3]
![1,3,3]
!colspan=2|[1,4,3]
![1,5,3]
|-
! Назив
![[Square-pyramidal pyramid|Квадратно-пирамидална пирамида]]
![[Triangular prism pyramid|Троугласто призматична пирамида]]
![[Tetrahedral pyramid|Тетраедарска пирамида]]
![[Cubic pyramid|Кубна пирамида]]
![[Octahedral pyramid|Октаедарска пирамида]]
![[Icosahedral pyramid|Икосаедарска пирамида]]
|- align=center 
! Сегментохорни<BR>индекс<ref name="Segmentochora">{{cite web |author= |url=http://www.bendwavy.org/klitzing/pdf/artConvSeg_8.pdf |title=Convex Segmentochora |date= |website= |publisher= |access-date= |archive-date=19. 04. 2014 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140419014108/http://www.bendwavy.org/klitzing/pdf/artConvSeg_8.pdf |url-status= }} {{cite journal| last = Klitzing | first = Richard |title= |journal= Symmetry: Culture and Science|date=2000|volume=11|issue=1–4|pages=139–181}}</ref>
!K4.4
!K4.7
!K4.1
!K4.26.1
!K4.3
!K4.84
|- align=center
! Висина
|0,707107
|0,645497
|0,790569
|0,500000
|0,707107
|0,309017
|- align=center
!Слика<BR>(Основа)
|[[File:square_pyramid_pyramid.png|80px]]
|[[File:Triangular_prism_pyramid.png|80px]]
|[[File:Schlegel wireframe 5-cell.png|80px]]
|[[File:Cubic pyramid.png|80px]]
|[[File:Octahedral pyramid.png|80px]]
|[[File:Icosahedral pyramid.png|80px]]
|- align=center
! Основа
|[[Square pyramid|Квадратна<BR>пирамида]]
|[[Triangular prism|Троугласта<BR>призма]]
|[[Тетраедар]]
|[[Коцка]]
|[[Октаедар]]
|[[Икосаедар]]
|}

Сваки конвексни 4-политоп се може поделити на ''полиедарске пирамиде'' додавањем унутрашње тачке и стварањем једне пирамиде од сваког фасета до централне тачке. Ово може бити корисно за израчунавање волумена.

4-димензионална ''хиперзапремина'' полиедарске пирамиде је 1/4 запремине основног полиедра пута његова висина окомито, у поређењу са површином троугла која је 1/2 дужине основе пута висина, и запремина пирамиде да је 1/3 површине основе пута висина.

3-димензионална површинска запремина полиедарске пирамиде је <math>SV=B+\tfrac{1}{3}AL</math>, где је ''B'' основна запремина, ''A'' је површина основне површине, а Л висина нагиба (висина бочних пирамидалних ћелија) <math>L = \sqrt{h^2 + r^2}</math>, где је ''h'' висина, а ''r'' полупречник.

== Види још ==
* [[Пирамиде]] (конструкције)
* [[Бипирамида]]
* [[Тригонална пирамида (хемија)]]

== Референце ==
{{Reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{cite book |last= Tabak|first= John|date= 2014|title= Geometry: the language of space and form|publisher= Infobase Publishing|page=xiv |isbn=978-0-8160-4953-0}}
* {{cite book|author=Vincenzo De Risi|title=Mathematizing Space: The Objects of Geometry from Antiquity to the Early Modern Age|url=https://books.google.com/books?id=1m11BgAAQBAJ&pg=PA1|year=2015|publisher=Birkhäuser|isbn=978-3-319-12102-4|pages=1–}}
* {{cite book|author=Walter A. Meyer|title=Geometry and Its Applications|url=https://books.google.com/books?id=ez6H5Ho6E3cC|year=2006|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-047803-6}}
* J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", ''Historia Mathematica'', 8, 1981, pp. 277–318.
* {{Cite book | edition = 2 | publisher = [[Dover Publications]] | last = Neugebauer | first = Otto | author-link = Otto E. Neugebauer | title = The Exact Sciences in Antiquity | orig-year = 1957 | year = 1969 | isbn = 978-0-486-22332-2 | url = https://books.google.com/books?id=JVhTtVA2zr8C|chapter=Chap. IV Egyptian Mathematics and Astronomy|pages=71–96}}
* {{cite journal |last=Ossendrijver |first=Mathieu |date = 29. 1. 2016 |title=Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph |journal=Science |volume=351 |issue=6272 |pages=482–484 |doi=10.1126/science.aad8085 |pmid=26823423|bibcode=2016Sci...351..482O |s2cid=206644971 }}
* {{cite journal|title=Gnomons at Meroë and Early Trigonometry|first=Leo|last=Depuydt|date = 1. 1. 1998|journal=The Journal of Egyptian Archaeology|volume=84|pages=171–180|doi=10.2307/3822211|jstor=3822211}}
* {{cite web|url=http://www.archaeology.org/online/news/nubia.html|title=Neolithic Skywatchers|date=27 May 1998|first=Andrew|last=Slayman|website=Archaeology Magazine Archive|access-date = 17. 4. 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110605234044/http://www.archaeology.org/online/news/nubia.html|archive-date = 5. 6. 2011|url-status=live}}
* {{cite book| last = Eves | first = Howard |title=An Introduction to the History of Mathematics | year = 1990 | url = https://archive.org/details/introductiontohi0000eves |location= |publisher=Saunders |isbn=0-03-029558-0}}, 1990, .
* {{cite journal|title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|author=Kurt Von Fritz|journal=The Annals of Mathematics|date=1945}}
* {{cite journal|title=The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number|journal=The Two-Year College Mathematics Journal|author=James R. Choike|date=1980}}
* {{cite book| last = Eves | first = Howard |title=An Introduction to the History of Mathematics | url = https://archive.org/details/introductiontohi0000eves |location= |publisher=Saunders |year=1990 |isbn=0-03-029558-0|pages=}}. 
* {{cite web | title = A history of calculus | author1 = O'Connor, J.J. | author2 = Robertson, E.F. | publisher = [[University of St Andrews]] | url = http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html | date = February 1996 | access-date = 7 August 2007 | archive-url = https://web.archive.org/web/20070715191704/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html | archive-date = 15. 7. 2007 | url-status = live }}
* {{ citation | first1 = Murray H. | last1 = Protter | first2 = Charles B. | last2 = Morrey, Jr. | year = 1970 | lccn = 76087042 | title = College Calculus with Analytic Geometry | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commons category|Pyramids (geometry)}}
*{{MathWorld |urlname=Pyramid |title=Pyramid}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Геометријска тела]]