Изворни код странице Пи

[[Датотека:Pi-symbol.svg|200п|noframe|right]]
[[Датотека:Pi-unrolled slow.gif|200п|мини|Одмотавање обима точка пречника 1 траје дужином пута {{mvar|π}}]]
'''Пи''' или '''{{mvar|π}}''' је [[математичка константа]], данас широко примењивана у [[математика|математици]] и [[физика|физици]]. Њена приближна вредност је 3,14159, а дефинише се као [[однос обима и пречника круга]] или као однос [[површина]] [[круг]]а и [[квадрат]]а над његовим полупречником. {{mvar|π}} је такође познато и као '''[[Архимед]]ова константа'''<ref name="archimedes">{{cite web|author= |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/pi.html |title=Архимедова константа пи |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013}}</ref> (не треба га мешати са [[Архимедов број|Архимедовим бројем]]) или '''[[Лудолф ван Цојлен|Лудолфов]] број'''<ref [name="ludolph">{{cite web |author= |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Van_Ceulen.html |title=Лудолф ван Цојлен |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013 |archive-date=03. 05. 2006 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060503221415/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Van_Ceulen.html |url-status= }}</ref>. У пракси се бележи малим грчким словом [[Пи (слово)|{{mvar|π}}]] а у [[српски језик|српском језику]] је правилно писати и ''пи''. Ознака за број {{mvar|π}} потиче од [[грчки језик|грчке]] речи периметар (περίμετρος). У математику ју је увео Вилијам Џоунс 1707. године, а популаризовао ју је [[Леонард Ојлер]] 1737.

Број {{mvar|π}} заокружена на 64 [[децимала|децимална места]] је:

:{{mvar|π}} ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923<ref>{{cite web|author= |url=http://www.piday.org/million.php |title=Пи до 1.000.000 децимала на -{piday.org}- |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013}}</ref>

Број {{mvar|π}} има бесконачно много децимала.

{{mvar|π}} је [[ирационалан број]], што значи да се његова вредност не може изразити преко [[разломак]]а. Због тога његов децимални запис нема краја и није периодичан. {{mvar|π}} је такође [[трансцендентан број]], што значи да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз четири основне рачунске операције ([[сабирање]], [[одузимање]], [[множење]] и [[дељење]]) и [[квадратни корен|кореновања]]. Током историје математике вршено је много покушаја да се што прецизније израчуна вредност броја {{mvar|π}} и разуме његова природа.

== Особине ==
=== Дефиниција ===
[[Датотека:Pi eq C over d-sr.svg|мини|180п|{{mvar|π}} је однос обима и пречника круга]]
[[Датотека:Circle Area-sr.svg|мини|180п|{{mvar|π}} је однос површина круга и квадрата над његовим полупречником]]
У [[Еуклидова геометрија|Еуклидској геометрији]], број {{mvar|π}} се дефинише као однос обима и пречника [[круг]]а:
:<math> \pi = \frac{O}{d} = \frac{2r\pi}{2r} = \pi</math>

{{mvar|π}} је увек исти, без обзира на величину круга.

{{mvar|π}} се може још дефинисати и као површина круга полупречника 1, обим круга чији је пречник 1 или односом површине круга (-{P}-) и квадрата над његовим полупречником:

:<math> \pi = \frac{P}{r^2} </math>

Ове дефиниције зависе од последица Еуклидске геометрије, као што је чињеница да су сви кругови [[сличност (геометрија)|слични]]. Ово може бити проблем у областима математике које не укључују геометрију. Због овог разлога математичари често радије дефинишу {{mvar|π}} без референци на геометрију, бирајући уместо тога једну од аналитичких особина као дефиницију. Чест избор је да се {{mvar|π}} дефинише као најмањи позитиван број чији је [[Синус (тригонометрија)|синус]] једнак нули или двострука вредност најмањег позитивног броја чији је [[косинус]] једнак нули.{{sfn|Rudin|1976|p=183}}

=== Ирационалност, трансцендентност и последице ===
{{mvar|π}} је ирационалан број.<ref>{{cite web|author= |url=http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf |title=Једноставан доказ да је {{mvar|π}} ирационално |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013}}</ref> то јест, не може се представити као однос два [[цео број|цела броја]]. То значи да се број {{mvar|π}} представља бесконачним низом цифара, и то тако да нема периодичности. Ову његову особину је доказао [[Јохан Хајнрих Ламберт]] [[1761]]. године<ref name="adm">{{cite web| url = http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html| title = About Pi| work = Ask Dr. Math FAQ| accessdate = 29. 10. 2007.}}</ref> Више од тога, {{mvar|π}} је и трансцендентан број, што је доказао [[Фердинанд фон Линдеман]] [[1882]]. године<ref name="transc">{{cite web |author= |url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |title=Трансцендентност броја {{mvar|π}} |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013 |archive-date=05. 01. 2008 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080105130905/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |url-status= }}</ref> Ово значи да не постоји [[полином]] са [[рационалан број|рационалним]] коефицијентима чији би корен био број {{mvar|π}}.

Важна последица трансцендентности овог броја је чињеница да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз четири основне рачунске операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) и кореновања тј. број није [[конструктибилан број|конструктибилан]]. Ово је такође доказ да није могуће извршити [[квадратура круга|квадратуру круга]] тј. немогуће је [[конструкције лењиром и шестаром|лењиром и шестаром]] конструисати квадрат чија би површина била једнака површини датог круга.<ref>{{cite web|author= |url=http://www.cut-the-knot.org/impossible/sq_circle.shtml |title=Квадратура круга |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013}}</ref> Разлог је тај да су, полазећи од јединичног круга и тачке (1,0) на њему, координате свих тачака које се могу конструисати коришћењем лењира и шестара конструктибилни бројеви.

=== Нумеричка вредност ===
Нумеричка вредност {{mvar|π}} заокругљена на 64 [[децимала|децимална места]] је:

:{{mvar|π}} ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Иако је вредност броја {{mvar|π}} израчуната до више од билион децимала, основне примене, као што је рачунање обима круга, ретко захтевају више од неколико децимала. На пример, вредност заокружена на 11 децимала ће приближно тачно израчунати обим круга величине [[Земља|Земље]] милиметарском прецизношћу, а вредност заокружена на 39 децималних места је довољна да се израчуна обим било ког круга који се може наћи у видљивом свемиру са прецизношћу једнакој величини атома [[водоник]]а.{{sfn|Young|1992|p=417}}

У [[античка Грчка|старој Грчкој]] је било познато да је {{mvar|π}} приближно једнако двадесет две седмине ({{mvar|π}} ≈22/7).

Пошто је {{mvar|π}} ирационалан број, његов децимални запис је бесконачан и непериодичан. Овај бесконачни низ цифара је опчињавао и математичаре и лаике, а током последњих неколико векова уложено је много труда у рачунању што више децимала и испитивању особина броја.

== Формуле са пи ==
=== Геометрија ===
{{mvar|π}} се појављује у формулама које се тичу [[геометријска фигура|геометријских слика]] и [[геометријско тело|тела]] које садрже облик [[круг]]а или [[елипса|елипсе]]. У њих спадају [[Ваљак (геометрија)|ваљак]], [[Купа (геометрија)|купа]] и [[лопта]].

{| border="1" cellspacing="4" cellpadding="4" style="border-collapse: collapse;"
|-
!Геометријски облик
!Формула
|-
|[[Обим]] круга [[полупречник]]а ''-{r}-'' односно [[пречник]]а ''-{d}-''
|<math>O = \pi d = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|[[Површина]] круга полупречника ''-{r}-''
|<math>P = \pi r^2 \,\!</math>
|-
|Површина елипсе са полуосама ''-{a}-'' и ''-{b}-''
|<math>P = \pi a b \,\!</math>
|-
|[[Запремина]] лопте полупречника ''-{r}-''
|<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!</math>
|-
|Површина лопте полупречника ''-{r}-''
|<math>P = 4 \pi r^2 \,\!</math>
|-
|Запремина [[Ваљак (геометрија)|ваљка]] висине ''-{H}-'' и полупречника ''-{r}-''
|<math>V = \pi r^2 H \,\!</math>
|-
|Површина ваљка висине ''-{H}-'' и полупречника ''-{r}-''
|<math>P = 2 (\pi r^2) + (2 \pi r) H = 2 \pi r (r + H) \,\!</math>
|-
|Запремина [[Купа (геометрија)|купе]] висине ''-{H}-'' и полупречника ''-{r}-''
|<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 H \,\!</math>
|-
|Површина купе висине ''-{H}-'' и полупречника ''-{r}-''
|<math>P = \pi r \sqrt{r^2 + H^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + H^2}) \,\!</math>
|}

Такође, [[угао]] од 180 [[Лучни степен|степени]] износи {{mvar|π}} [[радијан]]а.

=== Анализа ===
У [[математичка анализа|математичкој анализи]] се број {{mvar|π}} изражава и користи на доста различитих начина. Од облика [[Ред (математика)|бесконачних редова]] и [[бесконачни производ|производа]] до [[интеграл]]а и [[специјалне функције|специјалних функција]].
* [[Франсоа Вијет]], [[1593]]:
:<math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots</math>
* [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбницова]] формула:{{sfn|Eymard|Lafon|2004|p=53}}
:<math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
:Овај често навођени бесконачни ред најчешће се пише у горњем облику, док је технички исправан запис:
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left (\frac{1}{2n+1}\right) = \frac{\pi}{4}</math>
* [[Валисов производ]]:
:<math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>
* [[Интеграл вероватноће]], познат из [[математичка анализа|математичке анализе]] (види такође: [[функција грешке]] и [[нормална расподела]]):
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>
* [[Базелски проблем]], који је први решио [[Леонард Ојлер|Ојлер]] (види такође и [[Риманова зета-функција]]):
:<math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
:<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
:и, уопште, <math>\zeta(2n)</math> је рационални умножак броја <math>\pi^{2n}</math> за свако природно ''-{n}-''.
* Вредност [[Гама-функција|Гама-функције]] у тачки 1/2:
:<math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
* [[Стирлингова апроксимациона формула]]:
:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
* [[Ојлеров идентитет]] (којег је [[Ричард Фајнман]] назвао „најбољом формулом у математици“):
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>
* Особина [[Ојлерова фи функција|Ојлерове φ-функције]]:
:<math>\sum_{k=0}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math>
* Површина једне четвртине јединичног круга:
:<math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}</math>

=== Комплексна анализа ===
{{Главни чланак|Комплексна анализа}}
* Специјалан случај [[Ојлерова формула|Ојлерове формуле]] за <math>e^{ix}\,</math>:
:<math>e^{i\pi}\,\!+1=0</math>
* Основни случај [[Теорема о остацима|Теореме о остацима]]:
:<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i</math>

=== Верижни разломак ===
{{mvar|π}} има пуно представљања у облику [[верижни разломак|верижних разломака]], као што је на пример:
:<math> \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} </math>

=== Теорија бројева ===
{{Главни чланак|Теорија бројева}}
Неки резултати из теорије бројева:
* [[Вероватноћа]] да су два [[Случајан избор|случајно изабрана]] цела броја [[Узајамно прости бројеви|узајамно проста]] је 6/{{mvar|π}}<sup>2</sup>.
* Вероватноћа да је случајно изабран цео број [[Бесквадратан број|бесквадратан]] је 6/{{mvar|π}}<sup>2</sup>.
* У [[просек (средња вредност)|просеку]], број начина да се дати природан број напише као збир два савршена квадрата (редослед сабирака је битан) је {{mvar|π}}/4.

Овде, „вероватноћа“, „просек“ и „насумичан“ су узети у смислу [[гранична вредност|граничне вредности]]; тј. посматра се вероватноћа одговарајућег догађаја у скупу бројева <math>\{1, 2, ... N\}</math>, а затим узима гранична вредност те вероватноће када <math>N \rightarrow \infty</math> (-{N}- је „јако велико“ или „тежи бесконачности“).

=== Динамички системи/Ергодичка теорија ===
У теорији [[динамички систем|динамичких система]] (види такође [[ергодичка теорија]]), за скоро свако [[реалан број|реално]] '''''-{x<sub>0</sub>}-''''' у интервалу '''''[0,1]''''',
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\,, </math>
где су '''''-{x<sub>i</sub>}-''''' [[итерација|итериране]] вредности [[логистичко пресликавање|логистичког пресликавања]] за '''''-{r = 4}-'''''.

=== Физика ===
У [[физика|физици]], појава броја π у формулама је најчешће ствар договора и нормализације. На пример, коришћењем упрошћене [[Планкова константа|Планкове константе]] <math> \hbar = \frac{h}{2\pi} </math> може се избећи писање броја π експлицитно у великом броју формула у квантној механици. Заправо, упрошћена варијанта је и базичнија, а присуство фактора ''1/2{{mvar|π}}'' у формулама које користе ''-{h}-'' може се сматрати напросто условљеном уобичајеном дефиницијом Планкове константе.
* [[Релације неодређености|Хајзенбергов принцип неодређености]]:{{чињеница| date = 01. 2014.}}<!--mrtva veza do 20. 12. 2013.-->
:<math> \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>
* [[Ајнштајнова једначина поља]] [[општа теорија релативности|опште теорије релативности]]:<ref name = ein>{{cite journal| last= Einstein| first = Albert | title = The Foundation of the General Theory of Relativity| journal = Annalen der Physik | year = 1916| url = | format = PDF |id=| accessdate = 9. 11. 2007.}}</ref>
:<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>
* [[Кулонов закон]] за [[електрична сила|електричну силу]]:<ref>{{cite web| first = C. Rod| last = Nave| url = http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefor.html#c3| title = Coulomb's Constant| work = HyperPhysics| publisher = Georgia State University| date = 28. 6. 2005.| accessdate = 9. 11. 2007.}}</ref>
:<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2} </math>
* [[Пермеабилност (електромагнетизам)|Магнетна пермеабилност слободног простора]]:<ref>{{cite web | url = http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mu0 | title = Magnetic constant | accessdate = 9. 11. 2007. | date = 2006 Committee on Data for Science and Technology recommended values | publisher = National Institute of Standards and Technology}}</ref>
:<math> \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,\mathrm{H/m}\,</math>

У физици се најчешће заокругљује на две децимале (3,14).

=== Вероватноћа и статистика ===
У [[вероватноћа|вероватноћи]] и [[статистика|статистици]] постоји пуно [[расподела вероватноће|расподела]], чији аналитички изрази садрже π, укључујући:
* [[Густина расподеле вероватноће]] за [[нормална расподела|нормалну расподелу]] са [[очекивана вредност|математичким очекивањем]] μ и [[стандардна девијација|стандардном девијацијом]] σ:<ref>{{cite web| url = http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html| title = Gaussian Integral| publisher = [[MathWorld]]| first = Eric W.| last = Weisstein| date = 7. 10. 2004.| accessdate = 8. 11. 2007.}}</ref>

:<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math>
* Густина расподеле вероватноће за (стандардну) [[Кошијева расподела|Кошијеву расподелу]]:<ref>{{cite web| url = http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html| title = Cauchy Distribution| publisher = [[MathWorld]]| first = Eric W.| last = Weisstein| date = 11. 10. 2005.| accessdate = 8. 11. 2007.}}</ref>

:<math>f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}</math>

Треба приметити да се, како је <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1</math> за сваку функцију густине расподеле вероватноће '''''-{f(x)}-''''', помоћу горњих формула може добити још интегралних формула за {{mvar|π}}.

Занимљива емпиријска апроксимација броја {{mvar|π}} заснована је на проблему [[Буфонова игла|Буфонове игле]]. Посматрајмо експеримент у којем се игла дужине '''''-{L}-''''' баца на раван на којој су означене две паралелне праве на међусобном растојању '''''-{S}-''''' (где је '''''-{S}-'''''>'''''-{L}-'''''). Ако се игла на случајан начин баци велики број -{('''''n''''')}- пута, од којих се '''''-{x}-''''' пута заустави тако да сече једну од правих, онда приближну вредност броја {{mvar|π}} можемо добити коришћењем формуле
:<math>\pi \approx \frac{2nL}{xS}</math>

== Историја ==
Симбол „{{mvar|π}}“ за Архимедову константу је први пут увео [[1706]]. године математичар [[Вилијам Џоунс (математичар)|Вилијам Џоунс]] када је објавио „Нови увод у математику“ ({{јез-енг|A New Introduction to Mathematics}}), мада је исти симбол још раније коришћен да назначи обим круга.

Ова ознака постала је стандардна након што ју је усвојио [[Леонард Ојлер]]. У оба случаја, {{mvar|π}} је прво слово речи ''περιμετρος'' (''периметрос''), што значи „мерити около“<ref>{{cite web|author= |url=http://www.vokabular.org/?lang=sr&search=%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%D1%80&Submit=%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B8 |title=Вокабулар, речник српског језика. Дефиниција речи ''периметар, периметарски'' |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013}}</ref> на [[грчки језик|грчком језику]].

Ево кратке хронологије броја {{mvar|π}}:<ref>{{cite web |author= |url=http://www.cecm.sfu.ca/%7Ejborwein/pi-slides.pdf |title=The Life of Pi by Jonathan Borwein |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013 |archive-date=17. 03. 2007 |archive-url=https://web.archive.org/web/20070317032814/http://www.cecm.sfu.ca/%7Ejborwein/pi-slides.pdf |url-status= }}</ref>
{|class="wikitable"
|-
!align="left"|Време</th>
!align="left"|Особа</th>
!align="left"|Вредност π<br />([[светски рекорд]]и су '''подебљани''')
|-
|[[20. век п. н. е.]]||[[Вавилон]]ци||'''25/8 = 3,125'''
|-
|[[20. век п. н. е.]]||[[Египат]]ски математички папирус ([[Ахмесов папирус|Рајндов папирус]])||'''(16/9)&sup2; = 3,160493...'''
|-
|[[12. век п. н. е.]]||[[Кина|Кинези]]||3
|-
| средина [[6. век п. н. е.|6. века п. н. е.]]||[[Књига о царевима|1 Цар. 7:23]]||3
|-
|[[434. п. н. е.]]||[[Анаксагора]] је покушао да квадрира круг лењиром и шестаром||
|-
|[[3. век п. н. е.]]||[[Архимед]]||223/71 &lt; {{mvar|π}} &lt; 22/7<br />(3,140845... &lt; {{mvar|π}} &lt; 3,142857...) 
|-
|[[20. п. н. е.]]||[[Марко Витрувије|Витрувије]]||25/8 = 3,125
|-
|[[130]].||[[Чанг Хонг]]||√10 = 3,162277...
|-
|[[150]].||[[Клаудије Птолемеј|Птолемеј]]||377/120 = 3,141666...
|-
|[[250]].||[[Ванг Фау]]||142/45 = 3,155555...
|-
|[[263]].||[[Лиу Хуи]]||'''3,14159'''
|-
|[[480]].||[[Зу Чонгжи]]||'''3,1415926 &lt; π &lt; 3,1415927'''
|-
|[[499]].||[[Арјабхата]]||62832/20000 = 3,1416
|-
|[[598]].||[[Брамагупта]]||√10 = 3,162277...
|-
|[[800]].||[[Мухамед ел Хорезми|Мухамед Ал Хорезми]]||3,1416
|-
|[[12. век]]||[[Баскара]]||3,14156
|-
|[[1220]].||[[Леонардо Фибоначи|Фибоначи]]||3,141818
|-
|[[1400]].||[[Мадава]]||'''3,14159265359'''
|-
| colspan = "3"|''Сви подаци од [[1424]]. су дати у бројевима тачних децималних места (дм)''.
|-
|[[1424]].||[[Џамшид Масуд Ал Каши]]
| align = "right"|'''16 дм'''
|-
|[[1573]].||[[Валентус Ото]]
| align = "right"|6 дм
|-
|[[1593]].||[[Франсоа Вијет]]
| align = "right"|9 дм
|-
|[[1593]].||[[Адријен ван Ромен]]
| align = "right"|15 дм
|-
|[[1596]].||[[Лудолф ван Цојлен]]
| align = "right"|'''20 дм'''
|-
|[[1615]].||[[Лудолф ван Цојлен]]
| align = "right"|'''32 дм'''
|-
|[[1621]].||[[Вилеброрд Снел]] (Снелије), Лудолфов ученик
| align = "right"|'''35 дм'''
|-
|[[1665]].||[[Исак Њутн]]
| align = "right"|16 дм
|-
|[[1699]].||[[Абрахам Шарп]]
| align = "right"|'''71 дм'''
|-
|[[1700]].||[[Секи Кова]]
| align = "right"|10 дм
|-
|1706.||[[Џон Мејчин]]
| align = "right"|'''100 дм'''
|-
|1706.||[[Вилијам Џоунс]] увео грчко слово '[[Пи (слово)|{{mvar|π}}]]'||
|-
|[[1730]].||[[Камата (особа)|Камата]]
| align = "right"|25 дм
|-
|[[1719]].||[[Де Лањи]] израчунао 127 децималних места, али нису сва била тачна
| align = "right"|'''112 дм'''
|-
|[[1723]].||[[Такебе]]
| align = "right"|41 дм
|-
|[[1734]].||Леонард Ојлер усвојио грчко слово '{{mvar|π}}' и обезбедио његову популарност||
|-
|[[1739]].||[[Мацунага]]
| align = "right"|50 дм
|-
|[[1761]].||[[Јохан Хајнрих Ламберт]] доказао да је {{mvar|π}} [[ирационалан број]]||
|-
|[[1775]].||Ојлер указао на могућност да би {{mvar|π}} могао бити [[трансцендентан број|трансцендентан]]||
|-
|[[1789]].||[[Јуриј Вега]] израчунао 140 децималних места, али нису сва била тачна
| align = "right"|'''137 дм'''
|-
|[[1794]].||[[Адријен-Мари Лежандр|Адријан-Мари Лежандр]] показао да је и π&sup2; (па самим тим и {{mvar|π}}) ирационалан, и спомиње могућност да је {{mvar|π}} могуће трансцендентан.||
|-
|[[1841]].||Радерфорд израчунао 208 децималних места, али нису сва била тачна
| align = "right"|'''152 дм'''
|-
|[[1844]].||Захарија Дазе и Штрасницки
| align = "right"|'''200 дм'''
|-
|[[1847]].||Томас Клаузен
| align = "right"|'''248 дм'''
|-
|[[1853]].||Леман
| align = "right"|'''261 дм'''
|-
|[[1853]].||Радерфорд
| align = "right"|'''440 дм'''
|-
|[[1853]].||Вилијам Шенкс
| align = "right"|'''527 дм'''
|-
|[[1855]].||Рихтер
| align = "right"|500 дм
|-
|[[1874]].||[[Вилијам Шенкс]] је посветио 15 година израчунавању 707 децималних места, али нису сва била тачна (грешку је открио Д. Ф. Фергусон [[1946]]. године)
| align = "right"|527 дм
|-
|[[1882]].||[[Фердинанд фон Линедман|Линдеман]] доказао да је π трансцендентан ([[Линдеман-Вајерштрасова теорема]], коју неки зову и „најлепшом теоремом целе математике“)||
|-
|[[1946]].
| rowspan = "3"|Д. Ф. Фергусон користећи стони калкулатор
| align = "right"|'''620 дм'''
|-
|[[1947]].
| align = "right"|'''710 дм'''
|-
|[[1947]].
| align = "right"|'''808 дм'''
|-
| colspan = "3"|''Сви рекорди од [[1949]]. надаље израчунати су помоћу електронских рачунара.''
|-
|[[1949]].
|Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит били су први који су користили електронски рачунар ([[ENIAC|Енијак]]) да израчунају π
| align = "right"|'''2.037 дм'''
|-
|[[1953]].||Малер показао да pi; није [[Лиувилов број]]||
|-
|[[1955]].
| rowspan = "6"|Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит
| align = "right"|'''3.089 дм'''
|-
|[[1961]].
| align = "right"|'''100.000 дм'''
|-
|[[1966]].
| align = "right"|'''250.000 дм'''
|-
|[[1967]].
| align = "right"|'''500.000 дм'''
|-
|[[1974]].
| align = "right"|'''1.000.000 дм'''
|-
|[[1992]].
| align = "right"|'''2.180.000.000 дм'''
|-
|[[1995]].||[[Јасумаса Канада]]
| align = "right"|'''&gt; 6.000.000.000 дм'''
|-
|[[1997]].||Канада и Такахаши
| align = "right"|'''&gt; 51.500.000.000 дм'''
|-
|[[1999]].||Канада и Такахаши
| align = "right"|'''&gt; 206.000.000.000 дм'''
|-
|[[2002]].||Канада и тим
| align = "right"|'''&gt; 1.240.000.000.000 дм'''
|-
|[[2003]].||Канада и тим
| align = "right"|'''&gt; 1.241.100.000.000 дм'''
|-
|[[Април]] [[2004]].||Канада и тим
| align = "right"|''' 1.3511 билион цифара укупно'''
|-
|[[Октобар]] [[2011]].||Шигеру Кондо, Александер Ји
| align = "right"|''' 10 билиона цифара'''
|}

== Нумеричке апроксимације броја π ==
Због трансцендентне природе броја {{mvar|π}}, не постоје прикладни затворени изрази за {{mvar|π}}. Стога, нумеричка израчунавања морају користити [[приближна вредност|приближне вредности]] (апроксимације) броја. За пуно потреба, 3,14 или 22/7 је довољно близу, иако инжењери често користе 3,1416 или 3,14159 (5, односно 6 [[значајна цифра|значајних цифара]]) ради веће прецизности. Апроксимације 22/7 и 355/113, са 3 и 7 значајних цифара, се добијају из једноставног развоја {{mvar|π}} у [[верижни разломак]].

Поред тога, следећа нумеричка формула даје апроксимацију {{mvar|π}} са 9 исправних цифара:

<math>(63/25)((17+15\sqrt 5)/(7+15\sqrt5))</math>

[[Египат]]ски писар по имену [[Ахмес]] је извор најстаријег познатог текста који даје приближну вредност броја {{mvar|π}}. [[Ахмесов папирус|Рајндов папирус]] датира из [[Стари Египат|египатског]] [[Други средњи период|другог средњег периода]]–мада Ахмес тврди да је преписивао [[папирус]] из [[Средње краљевство|Средњег краљевства]]–и описује вредност тако да је добијени резултат заправо 256 подељено са 81, тј. 3,160.

[[Кина|Кинески]] математичар [[Лиу Хуи]] је израчунао {{mvar|π}} до 3,141014 (тачно до 3 децимална места) [[263]]. године и предложио да је 3,14 добра апроксимација.

[[Индија|Индијски]] математичар и астроном [[Арјабхата]] дао је прецизну апроксимацију за {{mvar|π}}. Он је написао: „Додај четири на сто, помножи са осам, а онда додај шездесет и две хиљаде. Резултат је приближно једнак обиму круга пречника двадесет хиљада. Овим правилом дат је однос између обима и пречника.“ Другим речима, (4+100)×8 + 62.000 је обим круга пречника 20.000. Ово даје вредност {{mvar|π}} = 62.832/20.000 = 3,1416, тачну када се заокругли на 4 децимална места.

Кинески математичар и астроном [[Зу Чонгжи]] је израчунао {{mvar|π}} до 3,1415926-3,1415927, и дао две апроксимације: 355/113 и 22/7 (у [[5. век]]у).

[[Иран]]ски математичар и астроном [[Гијат ад-дин Џамшид Кашани]] (1350—1439) је израчунао {{mvar|π}} до 9 цифара у бројном систему са основом 60, што је еквивалентно са 16 децималних места као:

:2{{mvar|π}} = 6,2831853071795865, тј. {{mvar|π}} = 3,141592653589793116

Немачки математичар [[Лудолф ван Цојлен]] (око [[1600]]) је израчунао првих 35 децимала. Био је тако поносан на своје достигнуће да их је дао урезати у свој надгробни споменик.<ref>{{cite web|author= |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Van_Ceulen.html |title=-{Ludolph van Ceulen}- |date= |website= |publisher= |access-date=14. 4. 2009}} {{en}}</ref>

[[Словенија|Словеначки]] математичар [[Јуриј Вега]] је [[1789]]. израчунао првих 140 децимала<ref>{{cite web |author= |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Vega.html |title=Georg Freiherr von Vega |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013 |archive-date=14. 09. 2008 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080914123016/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Vega.html |url-status= }}</ref> и држао је светски рекорд 52 године–све до [[1841]]–када је [[Вилијам Радерфорд]] израчунао 208 децималних места, од којих су прва 152 била тачна. Вега је побољшао формулу [[Џон Мејчин|Џона Мејчина]] из [[1706]]; његов метод се спомиње и данас.

Ниједна од горе датих формула не може да послужи као ефикасни начин налажења приближних вредности броја {{mvar|π}}. За брза израчунавања, могу се користити формуле попут Мејчинове:

: <math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239} </math>

заједно са [[Тејлоров развој|Тејлоровим развојем]] функције <math>\arctan{x}</math>. Ова формула се најлакше проверава коришћењем [[поларни координатни систем|поларних координата]] [[комплексан број|комплексних бројева]], кренувши од:

:<math>(5+i)^4\cdot(-239+i)=-114244-114244i.</math>

Формуле ове врсте су познате као ''формуле сличне Мејчиновој''.

Екстремно дугачки децимални развоји броја {{mvar|π}} се по правилу рачунају [[Гаус-Лежандров алгоритам|Гаус-Лежандровим алгоритмом]] и [[Борвајнов алгоритам|Борвајновим алгоритмом]]; [[Саламен-Брентов алгоритам]] који потиче из [[1976]]. године је такође коришћен у прошлости.

Првих милион цифара бројева {{mvar|π}} и 1/{{mvar|π}} су доступни на [[Пројекат Гутенберг|Пројекту Гутенберг]] (види спољашње везе доле). Тренутни рекорд (децембар [[2002]]) има 1.241.100.000.000 цифара, које су израчунате у септембру исте године на 64-чворном [[Хитачи (компанија)|Хитачи]] [[суперрачунар]]у са једним терабајтом радне меморије, који врши 2 билиона операција у секунди, скоро дупло више од рачунара коришћеног за претходни рекорд (206 милијарди цифара). Коришћене су следеће формуле сличне Мејчиновој:

:<math> \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}</math> -К. Такано ([[1982]]).

: <math> \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}</math> -Ф. Ц. В. Штермер ([[1896]]).

Ове приближне вредности имају толико пуно цифара да више немају никаквог практичног значаја, изузев за тестирање нових суперрачунара и (очигледно) за установљавање нових рекорда у израчунавању броја {{mvar|π}}.

Године [[1996]]. [[Дејвид Х. Бејли]] је, заједно са [[Питер Борвајн|Питером Борвајном]] и [[Сајмон Плуфе|Сајмоном Плуфеом]], открио нову формулу за {{mvar|π}} у облику збира [[ред (анализа)|бесконачног реда]]:<ref name="bbpf">{{cite journal | last = Bailey | first = David H. | authorlink = David H. Bailey [[Peter Borwein|Borwein, Peter B.]], and [[Simon Plouffe|Plouffe, Simon]] | year = 1997 | title = On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants | journal = Mathematics of Computation | volume = 66 | issue = 218 | pages = 903–913 | url = http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf | format = PDF | doi = 10.1090/S0025-5718-97-00856-9 | access-date = 14. 04. 2009 | archive-date = 10. 06. 2011 | archive-url = https://web.archive.org/web/20110610051436/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf | url-status = dead |issn = 0025-5718}}</ref>

: <math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k}
\left(\frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)</math>

Ова формула омогућава да се лако израчуна ''-{k}-''-та [[бинарни систем|бинарна]] или [[хексадецимални систем|хексадецимална]] цифра броја {{mvar|π}} без потребе за рачунањем претходних ''-{k}-'' − 1 цифара. Бејлијева веб-страна садржи извођење ове формуле, као и њену имплементацију у разним [[програмски језик|програмским језицима]]. Пројекат „[[ПиХекс]]“ је израчунао [[билијарда|билијардити]] бит броја {{mvar|π}} (који је, узгред, 0).

Остале формуле које су до сада коришћене за израчунавање приближних вредности {{mvar|π}} укључују:

:<math>
\frac{\pi}{2}=
\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=
1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)
</math> ([[Исак Њутн|Њутн]])

:<math> \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} </math> ([[Сриниваса Рамануџан|Рамануџан]])

:<math> \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} </math> ([[Давид Чудновски]] и [[Григориј Чудновски]])

: <math>{\pi} = 20 \arctan\frac{1}{7} + 8 \arctan\frac{3}{79} </math> ([[Леонард Ојлер|Ојлер]])

На рачунарима са [[оперативни систем|оперативним системом]] [[Microsoft Windows|Windows]], програм [[ПиФаст]] може се користити за брзо израчунавање великог броја цифара. Највећи број цифара броја {{mvar|π}} израчунат на кућном рачунару је 25.000.000.000, за које је ПиФаст-у требало 17 дана.

== Отворена питања ==
Отворено питање о овом броју које највише притиска јесте да ли је {{mvar|π}} [[нормалан број]] – да ли се ма који блок цифара јавља у његовом децималном развоју управо онолико често колико би се статистички могло очекивати ако би се цифре производиле потпуно „насумично“. Ово мора да буде тачно у било којој основи, а не само у декадном систему (основи 10).<ref>{{cite web| url = http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html| title = Normal Number| first = Eric W.| last = Weisstein| publisher = [[MathWorld]]| date = 22. 12. 2005.| accessdate = 10. 11. 2007.}}</ref> Тренутно знање у овом смеру је веома оскудно; на пример, не зна се чак ни које се од цифара (0-9) појављују бесконачно често у децималном развоју овог броја.<ref>{{cite news| url = http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html| title = Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key| last = Preuss| first = Paul| publisher = Lawrence Berkeley National Laboratory| date = 23. 7. 2001.| accessdate = 10. 11. 2007.| archive-date = 20. 10. 2007| archive-url = https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html| url-status = }}</ref>

Бејли и Крендал су показали [[2000]]. године да постојање горепоменуте формуле Бејли-Борвајн-Плуфе и сличних формула повлачи да се тврђење о нормалности броја {{mvar|π}} и разних других константи у основи 2 може свести на извесну разумну претпоставку у [[теорија хаоса|Теорији хаоса]].{{чињеница| date = 01. 2014.}}<!--mrtva veza do 20. 12. 2013.-->

Такође није познато да ли су {{mvar|π}} и [[број е|{{mvar|e}}]] [[алгебарска независност|алгебарски независни]], тј. да ли постоји нетривијална полиномска релација између ова два броја са рационалним коефицијентима.

[[Џон Харисон]] (1693—1776) је створио музички систем изведен из {{mvar|π}}.<ref>{{cite web|author= |url=http://www.lucytune.com/ |title=LucyTuning |date= |website= |publisher= |access-date=23. 4. 2013}}</ref> Овај [[Луси тјунинг]] систем, (због јединствених математичких особина броја {{mvar|π}}) може да ослика све музичке интервале, хармоније и хармонике. Ово сугерише да би се коришћењем {{mvar|π}} могао добити прецизнији модел за анализу како музичких, тако и других [[хармоник]]а у вибрирајућим системима.

== Природа броја {{mvar|π}} ==
У [[хиперболичка геометрија|хиперболичкој геометрији]], збир углова [[троугао|троугла]] може да буде мањи или већи од {{mvar|π}} [[радијан]]а, а однос обима круга и његовог пречника може се такође разликовати од {{mvar|π}}. Ово не мења његову дефиницију, али утиче на многе формуле где се {{mvar|π}} појављује. Па тако, посебно, [[облик универзума]] не утиче на {{mvar|π}}; {{mvar|π}} није [[физичка константа|физичка]] него математичка константа, дефинисана независно од ма каквих физичких мерења. Разлог зашто се {{mvar|π}} појављује тако често у физици је једноставно зато што је подесан у многим физичким моделима.

Посматрајмо, као пример, Кулонов закон:
:<math> F = \frac{1}{ 4 \pi \epsilon_0} \frac{\left|q_1 q_2\right|}{r^2} </math>.
Овде, <math>4 \pi  r^2\,</math> је напросто површина лопте полупречника ''-{r}-''. У овој форми, ово је погодан начин описивања инверзне квадратне везе између силе и растојања ''-{r}-'' од тачкастог извора. Наравно, било би могуће да се овај закон опише на друге, али мање згодне или, ређе, згодније начине. Ако користимо [[Планково наелектрисање]], Кулонов се закон може описати као <math> F = \frac{q_1 q_2}{r^2} </math> чиме се уклања потреба за π.

== Спомињања у фикцији ==
* ''[[Контакт (роман)|Контакт]]'' — [[научна фантастика|научно-фантастично]] дело [[Карл Сејган|Карла Сагана]], а касније [[контакт|филмска адаптација]] [[Џоди Фостер]]. Саган разматра могућност потписа, који су у децимални развој броја {{mvar|π}} уградили ствараоци универзума.
* ''[[Пи (филм)|{{mvar|π}} (филм)]]'' — о вези између бројева и природе: откривање такве везе а да нисте [[нумеролог]].
* ''[[Time's Eye (филм)|-{Time's Eye}-]]'' („око времена“) — [[научна фантастика]] [[Артур Ч. Кларк|Артура Ч. Кларка]] и [[Стивен Бакстер|Стивена Бакстера]]. У свету који су престројиле ванземаљске силе, примећује се сферична направа чији је однос обима и пречника по свим равнима — тачан цео број 3.

== {{mvar|π}} култура ==
Постоји цело поље шаљивог, али и озбиљног изучавања које укључује коришћење [[мнемоник]]а за лакше памћење цифара {{mvar|π}} и зове се [[пифилологија]] (''PiPhilology'').<ref>{{Cite web|url=https://paginas.fe.up.pt/~fsilva/port/pi2.html|title=PiPhilology|website=paginas.fe.up.pt|access-date=2024-02-03}}</ref> Погледајте [[Пи#Мнемоници|{{mvar|π}} мнемонике]] за примере на енглеском језику.

Дан [[14. март]] (3/14 према стандарду који важи у [[Сједињене Америчке Државе|САД]]) је „[[Дан броја пи]]“ ({{јез-енгл|Pi Day}})<ref>{{Cite web|url=https://www.piday.org/|title=Pi Day {{!}} Celebrate Mathematics on March 14th|website=Pi Day|language=en-US|access-date=2024-02-03}}</ref> којег прославља велики број љубитеља овог броја.<ref>{{Cite web|url=https://scrippsnews.com/stories/it-s-pi-day-here-are-10-things-to-know-about-pi/|title=10 fascinating things to know about pi on Pi Day|website=Scripps News|language=en|access-date=2024-02-03}}</ref> [[Дан апроксимације броја пи]] прославља се [[22. јул]]а (22/7 је популарна апроксимација).<ref>{{Cite web|url=https://www.timeanddate.com/holidays/fun/pi-approximation-day|title=Pi Approximation Day – Fun Holiday|website=www.timeanddate.com|language=en|access-date=2024-02-03}}</ref>

Штавише, многи људи говоре и о „{{mvar|π}} сатима“ (3:14:15 је мало мање од једног {{mvar|π}} сата; 3:08:30 би било најближе броју {{mvar|π}} сата после поднева или поноћи у целим секундама).

Још један пример математичке игре је следећа апроксимација {{mvar|π}}: Узмите број 1234, замените места првим двема и последњим двама цифрама, тако да број постаје 2143. Поделите тај број са „два–два“ (22, па је 2143/22 = 97,40909...). Извадите 2×2-ти корен (четврти корен) овог броја. Коначан резултат је изузетно близу {{mvar|π}}: 3,14159265.


== Види још ==
* [[Пи (слово)|Грчко слово {{mvar|π}}]]
* [[Математичка анализа|Калкулус]]
* [[Геометрија]]
* [[Тригонометријске функције]]
* [[Пи кроз експеримент]]
* [[Линдеман-Вајерштрасова теорема|Доказ да је {{mvar|π}} трансцендентно]]
* [[Једноставан доказ да је 22/7 веће од пи|Једноставан доказ да је 22/7 веће од {{mvar|π}}]]
* [[Пи (филм)]]
* [[Пи дан]]
* [[Луси тјунинг]]

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
* {{Cite book | ref=harv| last = Rudin| first = Walter| authorlink = | title = Principles of mathematical analysis| edition = 3| year = 1976| origyear = 1953| url =https://archive.org/details/principlesmathem00rudi_686| publisher = McGraw-Hill| location = |isbn=978-0-07-054235-8| pages = [https://archive.org/details/principlesmathem00rudi_686/page/n191 183]}}
* {{Cite book | ref=harv| last = Eymard| first = Pierre |last2=Lafon|first2= Jean-Pierre | others = Stephen S. Wilson (translator)| title = The Number {{mvar|π}}| url = http://books.google.com/books?id=qZcCSskdtwcC&pg=PA53&dq=leibniz+pi&ei=uFsuR5fOAZTY7QLqouDpCQ&sig=k8VlN5VTxcX9a6Ewc71OCGe_5jk | accessdate = 4. 11. 2007. | year = 2004| publisher = American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-3246-2 | chapter = 2.6| pages = 53}}
* {{Cite book | ref=harv| title = Excursions in Calculus | last = Young| first = Robert M. | year = 1992| publisher = Mathematical Association of America (MAA)| location = Washington |isbn=978-0-88385-317-7 | url = http://books.google.com/books?id=iEMmV9RWZ4MC&pg=PA238&dq=intitle:Excursions+intitle:in+intitle:Calculus+39+digits&lr=&as_brr=0&ei=AeLrSNKJOYWQtAPdt5DeDQ&sig=ACfU3U0NSYsF9kVp6om4Zyw3a7F82QCofQ| pages=417–}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Pi}}
=== Цифре ===
* [http://www.gutenberg.net/etext/50 Е-текст на Пројекту Гутенберг који садржи милион цифара {{mvar|π}}] {{Wayback|url=http://www.gutenberg.net/etext/50 |date=20040701012534 }}
* [http://www.angio.net/pi/ Search {{mvar|π}}]–претражи и одштампај {{mvar|π}} до 200 милиона места
* [https://web.archive.org/web/20100109122018/http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html Статистике о првих 1,2 билиона цифара {{mvar|π}}]

=== Прорачуни ===
* [http://projectpi.sourceforge.net/ Израчунавање {{mvar|π}}: пројекат отвореног кода за израчунавање {{mvar|π}}]
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/pifast.html ПиФаст: брз програм за рачунање {{mvar|π}} са великим бројем цифара]
* [http://files.extremeoverclocking.com/file.php?f=36 Супер {{mvar|π}}: још један програм за израчунавање {{mvar|π}} до 33,55 милионите цифре]

=== Општи ===
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html Историја {{mvar|π}}]
* [https://web.archive.org/web/20040529005912/http://machination.mysite.freeserve.com/ Колекција формула сличних Мејчиновој за {{mvar|π}}]
* [https://archive.today/20120805055202/www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/pi-irr.html Доказ да је {{mvar|π}} ирационалан]
* [http://www.joyofpi.com/pifacts.html ПиФактс -пробијени рекорд]
* [http://www.joyofpi.com/thebook.html О књизи -{The Joy of Pi}-]
* [http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html доста формула за {{mvar|π}} на страницама Волфрам Рисерч]
* [http://groups.yahoo.com/group/pi-hacks Јаху група {{mvar|π}} хакера] {{Wayback|url=http://groups.yahoo.com/group/pi-hacks |date=20050209054716 }}
* [http://mathforum.org/isaac/problems/pi1.html Налажење вредности {{mvar|π}}]
* [http://pi314.at/ Клуб пријатеља броја {{mvar|π}} ''(енглески и немачки)'']
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/NatureOfPi.shtml одређивање {{mvar|π}}]
* [https://web.archive.org/web/20050205011503/http://www.lucytune.co.uk/ LucyTuning–музичко штимање изведено из {{mvar|π}}]

{{Ирационалан број}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Пи| ]]
[[Категорија:Бројеви]]
[[Категорија:Математичке константе]]
[[Категорија:Трансцендентни бројеви]]
[[Категорија:Комплексна анализа]]