Изворни код странице Парцијална диференцијална једначина

[[Датотека:Heat.gif|thumb|right|Визуализација решења дводимензионалне једначине топлоте са температуром која је представљена трећом димензијом]]

'''Парцијална диференцијална једначина''' је [[диференцијална једначина]] која садржи претходно непознате [[Функција (математика)|функције]] са више променљивих и њихове [[Парцијални извод|парцијалне изводе]]. Користе се за формулисање проблема који укључују функције више променљивих, а решавају се ручно или се користе за креирање [[Рачунарска симулација|компјутерских модела]]. Посебан случај су обичне диференцијалне једначине које се баве функцијама једне променљиве и њиховим [[извод]]има.

Парцијалне диференцијалне једначине могу се користити за опис широког спектра феномена као што су [[звук]], [[дифузија]], [[топлота]], [[електростатика]], [[Klasičan elektromagnetizam|електродинамика]], [[динамика флуида]], еластичност или [[квантна механика]]. Баш као што обичне диференцијалне једначине често моделирају једнодимензионалне динамичке системе, парцијалне диференцијалне једначине често моделирају вишедимензионалне системе. Парцијалне диференцијалне једначине проналазе своју генерализацију у стохастичким парцијалним диференцијалним једначинама.
* Линеарна хомогена парцијална [[једначина]] је облика:
:<math> P_1 (x_1,. . ., x_n) \frac{ \partial u }{ \partial x_1 } +. .. + P_n (x_1,. . ., x_n) \frac{ \partial u }{ \partial x_n } = 0 </math>.
* Квазилинеарна парцијална једначина је облика:
:<math> P_1 (x_1,. . ., x_n,u) \frac{ \partial u }{ \partial x_1} +. .. + P_n (x_1,. . ., x_n,u) \frac{ \partial u}{ \partial x_n} = P_{n + 1} (x_1,. . ., x_n, u) </math>.

== Увод ==

Парцијалне диференцијалне једначине (-{PDE}-) су једначине које садрже стопе промене у односу на [[continuous variables|континуиране променљиве]]. На пример, позиција [[rigid body|чврстог тела]] је одређена са шест параметара,<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=v9PLbcYd9aUC&pg=PA32|title=Modelling and Control of Robot Manipulators|last=Sciavicco|first=Lorenzo|last2=Siciliano|first2=Bruno|year=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781852332211|language=en|pages=32}}</ref> док је конфигурација [[флуид]]а дата путем [[Probability distribution|континуиране дистрибуције]] неколико параметара, као што су [[температура]], [[притисак]], и тако даље. Док се динамика крутог тела одвија у коначно димензионалном [[Configuration space (physics)|конфигурационом простору]], динамика течности се јавља у бесконачно димензионалном конфигурационом простору. Ова разлика чини -{PDE}- знатно теже решивим од обичних диференцијалних једначина, али овде опет постоје једноставна решења за линеарне проблеме. Класични домени примене -{PDE}- обухватају [[acoustics|акустику]], [[fluid dynamics|динамику флуида]], [[electrodynamics|електродинамику]], и [[heat transfer|топлотни трансфер]].

Парцијална диференцијална једначина за функцију {{math|''u''(''x''<sub>1</sub>,… ''x<sub>n</sub>'')}} је једначина облика

: <math>f \left (x_1, \ldots x_n; u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \ldots \frac{\partial u}{\partial x_n}; \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_1}, \ldots \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_n}; \ldots \right) = 0.</math>

Ако је {{mvar|f}} [[linear function|линеарна функција]] {{mvar|u}} и њених деривата, онда се PDE назива линеарном. Уобичајени примери линеарних -{PDE}- обухватају [[heat equation|топлотну једначину]], [[wave equation|таласну једначину]], [[Laplace's equation|Лапласову једначину]], [[Helmholtz equation|Хелмхолцову једначину]], [[Klein–Gordon equation|Клејн-Гордонову једначину]] и [[Poisson's equation|Поисонову једначину]].

Једна релативно једноставна -{PDE}- је

: <math>\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = 0.</math>

Ова релација [[Logical implication|подразумева]] да је функција {{math|''u''(''x'',''y'')}} независна од {{mvar|x}}. Међутим, ова једначина не даје информације о зависности функције од променљиве {{mvar|y}}. Стога је опште решење ове једначине

: <math>u(x,y) = f(y),</math>

где је {{mvar|f}} произвољна функција од {{mvar|y}}. Аналогна обична диференцијална једначина је

: <math>\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}(x) = 0,</math>

која има решење

: <math>u(x) = c,</math>

где је {{mvar|c}} било која [[Constant (mathematics)|константна]] вредност. Ова два примера илуструју да општа решења обичних диференцијалних једначина обухватају произвољне константе, док решења парцијалних диференцијалних једначина обухватају произвољне функције. Решење -{PDE}- генерално није [[Uniqueness quantification|јединствено]]; додатни услови морају генерално да буду специфицирани на [[Boundary (topology)|границама]] регије где је решење дефинисано. На пример, у горњем једноставном примеру, функција {{math|''f''(''y'')}} може да буде одређена ако је {{mvar|u}} специфицирано на линији {{math|''x'' {{=}} 0}}.

== Постојање и јединственост ==

Док питање постојања и јединствености решења обичних диференцијалних једначина има веома задовољавајуће показатеље уз примену [[Picard–Lindelöf theorem|Пикарове теореме]],<ref>{{Cite book|first=Ravi P. |last=Agarwal |first2=V. |last2=Lakshmikantham |title=Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations |url=https://books.google.com/books?id=q4OkW4H8BCUC&pg=PA159 |year=1993 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-02-1357-2|pages=159}}</ref> то није тако у случају парцијалних диференцијалних једначина. Теорема [[Cauchy–Kowalevski theorem|Коши—Ковалевског]]<ref>{{citation|last=von Kowalevsky|first= Sophie |journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=80|year=1875|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0080&DMDID=DMDLOG_0005|title=Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung|pages=1-32}} (German spelling of her surname used at that time.)</ref><ref>{{springer|id=C/c020920|title=Cauchy–Kovalevskaya theorem|first=A.M.|last=Nakhushev}}</ref> наводи да [[Cauchy problem|Кошијев проблем]] за било коју парцијалну диференцијалну једначину чији су коефицијенти [[Analytic function|аналитички]] у непознатој функцији и њеним дериватима, има локално јединствено аналитичко решење. Иако се може стећи утисак да овај резултат решава постојање и јединственост решења, постоје примери линеарних парцијалних диференцијалних једначина чији коефицијенти имају изводе свих редова (који ипак нису аналитички) али који немају решења за све једначине.<ref>see [[Lewy's example|Lewy (1957)]]</ref> Чак и ако решења парцијалних диференцијалних једначина постоје и јединствена су, она упркос тога могу да имају нежељена својства. Математичка студија ових питања је обично у моћнијем контексту [[weak solution|слабих решења]].

Један приме патолошког понашања је секвенца (у зависности од {{mvar|n}}) [[Cauchy problem|Кошијевих проблема]] за [[Laplace equation|Лапласову једначину]]

: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,</math>

са [[Boundary value problem|граничним условима]]

: <math>\begin{align} u(x,0) &= 0, \\ \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) &= \frac{\sin nx}{n}, \end{align}</math>

где је {{mvar|n}} цео број. Извод {{mvar|u}} у односу на {{mvar|y}} [[uniform convergence|униформно]] прилази нули у {{mvar|x}} са повећањем {{mvar|n}}, али је решење

: <math>u(x,y) = \frac{\sinh ny \sin nx}{n^2}.</math>

Ово решење се приближава бесконачности ако {{mvar|nx}} није целобројни умножак {{pi}} за било коју не-нулту вредност {{mvar|y}}. Кошијев проблем за Лапласову једначину се назива ''лоше постављеним'', јер решење континуирано не зависи од података проблема. Такви лоше постављени проблеми обично нису задовољавајући за физичке примене.

== Нотација ==
У парцијалним диференцијалним једначинама је уобичајено да се парцијални деривати означе користећи индексе. 

: <math>u_x = \frac{\partial u}{\partial x}</math>
: <math>u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} </math>
: <math>u_{xy} = \frac{\partial^2 u}{\partial y\, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y } \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right). </math>

У физици се, [[Hamiltonov operator|del]] или набла ({{math|∇}}) често користе за означавање просторних извода, а {{math|''u&#x307;'', ''ü''}} за временске изводе. На пример, [[таласна једначина]] (доле описана) се може написати као

:<math>\ddot u=c^2\nabla^2u</math>

или

:<math>\ddot u=c^2\Delta u</math>

где је {{math|Δ}} [[Лапласов оператор]].

== Види још ==
* [[Диференцијална једначина]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book|ref=harv|first=Ravi P. |last=Agarwal |first2=V. |last2=Lakshmikantham |title=Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations |url=https://books.google.com/books?id=q4OkW4H8BCUC&pg=PA159 |year=1993 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-02-1357-2|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method|url=https://archive.org/details/solvingfrontierp0000adom|first=G.|last=Adomian|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1994|id=}}
* {{Citation |first=R. |last=Courant |lastauthoramp=yes |first2=D. |last2=Hilbert |title=Methods of Mathematical Physics |volume=II |publisher=Wiley-Interscience |location=New York |year=1962 }}.
* {{Citation |authorlink=Lawrence C. Evans |first=L. C. |last=Evans |title=Partial Differential Equations |publisher=American Mathematical Society |location=Providence |year=1998 |isbn=978-0-8218-0772-9|pages=}}.
* {{Cite book|ref=harv|last=Holubová|first=Pavel Drábek ; Gabriela|title=Elements of partial differential equations|year=2007|publisher=de Gruyter|location=Berlin|isbn=9783110191240|edition=[Online-Ausg.].|pages=}}
* {{Citation |first=Nail H |last=Ibragimov |title=CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 |publisher=CRC-Press |location=Providence |year=1993 |isbn=978-0-8493-4488-6|pages=}}.
* {{Citation |authorlink=Fritz John |first=F. |last=John |title=Partial Differential Equations |location=New York |publisher=Springer-Verlag |year=1982 |edition=4th |isbn=978-0-387-90609-6|pages=}}.
* {{Citation |first=J. |last=Jost |title=Partial Differential Equations |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=2002 |isbn=978-0-387-95428-8|pages=}}.
* {{Citation |first=Hans |last=Lewy |year=1957 |title=An example of a smooth linear partial differential equation without solution |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=66 |issue=1 |doi= 10.2307/1970121|pages=155-158}}.
* {{Citation | last=Liao | first=S.J. |authorlink=Liao Shijun| title=Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method | publisher=Chapman & Hall/ CRC Press | location=Boca Raton  |year=2003 |isbn=978-1-58488-407-1|pages=}}
* {{Citation |first=P.J. |last=Olver |author-link=Peter J. Olver |year=1995 |title=Equivalence, Invariants and Symmetry |publisher=Cambridge Press }}.
* {{Citation |authorlink=Ivan Petrovsky |first=I. G. |last=Petrovskii |title=Partial Differential Equations |publisher=W. B. Saunders Co. |location=Philadelphia |year=1967 }}.
* {{Citation |first=Y. |last=Pinchover |lastauthoramp=yes |first2=J. |last2=Rubinstein |title=An Introduction to Partial Differential Equations |publisher=Cambridge University Press |location=New York |year=2005 |isbn=978-0-521-84886-2|pages=}}.
* {{Citation |first=A. D. |last=Polyanin |title=Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton |year=2002 |isbn=978-1-58488-299-2|pages=}}.
* {{Citation |first=A. D. |last=Polyanin |lastauthoramp=yes |first2=V. F. |last2=Zaitsev |title=Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton |year=2004 |isbn=978-1-58488-355-5|pages=}}.
* {{Citation |first=A. D. |last=Polyanin |first2=V. F. |last2=Zaitsev |lastauthoramp=yes |first3=A. |last3=Moussiaux |title=Handbook of First Order Partial Differential Equations |publisher=Taylor & Francis |location=London |year=2002 |isbn=978-0-415-27267-4|pages=}}.
* {{citation|mr=3014456|last=Roubíček|first= T.|title=Nonlinear Partial Differential Equations with Applications|publisher= Birkhäuser|place= Basel, Boston, Berlin|edition=2nd|year=2013|isbn=978-3-0348-0512-4|doi=10.1007/978-3-0348-0513-1|pages=}}
* {{Citation |first=P. |last=Solin |title=Partial Differential Equations and the Finite Element Method |publisher=J. Wiley & Sons |location=Hoboken, NJ |year=2005 |isbn=978-0-471-72070-6|pages=}}.
* {{Citation |first=P. |last=Solin |first2=K. |last2=Segeth |lastauthoramp=yes |first3=I. |last3=Dolezel |title=Higher-Order Finite Element Methods |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton |year=2003 |isbn=978-1-58488-438-5|pages=}}.
* {{Citation |first=H. |last=Stephani |year=1989 |title=Differential Equations: Their Solution Using Symmetries. Edited by M. MacCallum |publisher=Cambridge University Press }}.
* {{Cite book|ref=harv|title=Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory|first=Abdul-Majid|last=Wazwaz|publisher=Higher Education Press|year=2009|isbn=978-3-642-00251-9|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Partial Differential Equations Methods and Applications|first=Abdul-Majid|last=Wazwaz|publisher=A.A. Balkema|year=2002|isbn=978-90-5809-369-1|pages=}}
* {{Citation |first=D. |last=Zwillinger |title=Handbook of Differential Equations |publisher=Academic Press |location=Boston |year=1997 |edition=3rd |isbn=978-0-12-784395-7|pages=}}.
* {{Citation |authorlink=Neil Gershenfeld |first=N. |last=Gershenfeld |title=The Nature of Mathematical Modeling |location=New York |publisher=Cambridge University Press, New York, NY, USA |year=1999 |edition=1st |isbn=978-0-521-57095-4|pages=}}.
* {{Citation |first=I.S. |last=Krasil'shchik |lastauthoramp=yes |first2=A.M., Eds. |last2=Vinogradov |title=Symmetries and Conserwation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics |publisher=American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA |year=1999 |isbn=978-0-8218-0958-7|pages=}}.
* {{Citation |first=I.S. |last=Krasil'shchik |first2=V.V. |last2=Lychagin|lastauthoramp=yes |first3=A.M. |last3=Vinogradov |title=Geometry of Jet Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations |publisher=Gordon and Breach Science Publishers, New York, London, Paris, Montreux, Tokyo |year=1986 |isbn=978-2-88124-051-5|pages=}}.
* {{Citation |first=A.M. |last=Vinogradov |title=Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus |publisher=American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA |year=2001 |isbn=978-0-8218-2922-6|pages=}}.
* {{Cite journal|last=Cajori|first=Florian|authorlink=Florian Cajori|year=1928|title=The Early History of Partial Differential Equations and of Partial Differentiation and Integration|url=http://www.math.harvard.edu/archive/21a_fall_14/exhibits/cajori/cajori.pdf|journal=The American Mathematical Monthly|volume=35|issue=9|doi=10.2307/2298771|pages=459-467|access-date=07. 03. 2019|archive-url=https://web.archive.org/web/20181123102253/http://www.math.harvard.edu/archive/21a_fall_14/exhibits/cajori/cajori.pdf|archive-date=23. 11. 2018|url-status=dead}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Solutions of PDE}}
* {{springer|title=Differential equation, partial|id=p/d031920}}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/pde-en.htm Partial Differential Equations: Exact Solutions] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex/eqindex-pde.htm Partial Differential Equations: Index] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/methods/meth-pde.htm Partial Differential Equations: Methods] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [https://web.archive.org/web/20170701144823/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Partial_Differential_Equations Example problems with solutions] at exampleproblems.com
* [http://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html Partial Differential Equations] at mathworld.wolfram.com
* [https://reference.wolfram.com/language/FEMDocumentation/tutorial/SolvingPDEwithFEM.html Partial Differential Equations] with Mathematica
* [http://www.mathworks.com/moler/pdes.pdf Partial Differential Equations] {{Wayback|url=http://www.mathworks.com/moler/pdes.pdf |date=20160817082230 }} in Cleve Moler: Numerical Computing with MATLAB
* [https://web.archive.org/web/20200306002923/https://www.nag.com/numeric/fl/nagdoc_fl24/html/d03/d03intro.html Partial Differential Equations] at nag.com
* [https://web.archive.org/web/20060812140140/http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Dispersive PDE Wiki]
* [http://www.primat.mephi.ru/wiki/ NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia] {{Wayback|url=http://www.primat.mephi.ru/wiki/ |date=20181212023755 }}
* [http://www.scholarpedia.org/article/Partial_differential_equation Partial differential equation | Scholarpedia]

{{Математичка анализа}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Математичка анализа]]
[[Категорија:Парцијалне диференцијалне једначине]]
[[Категорија:Диференцијалне једначине]]
[[Категорија:Фундаментални концепти физике]]
[[Категорија:Калкулус више промјенљивих]]