Изворни код странице Одузимање

[[Датотека:Subtraction.svg|мини|Одузимање]]

'''Одузимање''' је једна од четири [[основне аритметичке операције]], и представља [[Инверзија|инверзију]] [[Сабирање|сабирању]]. Обележава се знаком '''минус''' („–“). У релацији
:-{x - y = z}- (чита се „икс минус ипсилон“ или „икс мање ипсилон“)
-{x}- се назива '''умањеник''', -{y}- – умањилац, а резултат операције одузимања – -{z}- – разлика. Важи: <math>x - y = z \Leftrightarrow y + z = x</math>. Иако се првенствено повезује са природним бројевима у [[arithmetic|аритметици]], одузимање такође може представљати уклањање или смањење физичких и апстрактних величина коришћењем различитих врста објеката укључујући [[negative number|негативне бројеве]], [[Fraction (mathematics)|разломке]], [[irrational number|ирационалне бројеве]], [[вектор]]е, децимале, функције и матрице.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Subtraction|url=https://mathworld.wolfram.com/Subtraction.html|access-date=2020-08-26|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

[[Природан број|Скуп природних бројева]] није затворен у односу на одузимање, јер није могуће одузети већи број од мањег, нити два једнака броја. Проширени скуп природних бројева се добија додавањем [[0 (број)|нуле]] скупу природних бројева, тако да је могуће одузети два једнака броја један од другог. 

Разлика [[Комплексан број|комплексних бројева]] је комплексан број чији је реални део разлика реалних делова умањеника и умањиоца, а [[Имагинарни број|имагинарни]] део разлика имагинарних делова умањеника и умањиоца:
<math>(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1-x_2, y_1-y_2); (x_1, y_1), (x_2, y_2) \in \mathbb{C}</math>

Одузимање је [[Антикомутативност|антикомутативно]]: -{(x - y) = -(y - x)}-, и није [[Асоцијативност|асоцијативно]]. 

Одузимање се може посматрати и као сабирање умањиоца и броја супротног умањенику: -{x - y = x + (-y)}-. Захваљујући овој особини, одузимање се може применити и на [[вектор]]е и [[Матрица (математика)|матрице]].

== Нотација и терминологија ==
[[File:Subtraction chart.png|thumb|180px|Одузимање бројева 0–10. Ознаке линија = умањеник. X оса = одузимање. Y оса = разлика.]]

Одузимање се обично пише помоћу [[minus sign|знака минус]] „−“ између појмова; односно у [[infix notation|инфиксној нотацији]]. Резултат се изражава [[equals sign|знаком једнакости]]. На пример,

:<math>2 - 1 = 1 </math> (изговара се као „два минус један је један”)
:<math>4 - 2 = 2 </math> (изговара се као „четири минус два једнако два”)
:<math>6 - 3 = 3 </math> (изговара се као „шест минус три једнако три”)
:<math>4 - 6 = -2 </math> (изговара се као „четири минус шест је негативно два”)

Постоје и ситуације у којима се одузимање „подразумева“, иако се не појављује ниједан симбол:
* Колона од два броја, са нижим бројем у црвеној боји, обично означава да се мањи број у колони треба одузети, а разлика је записана испод, испод реда. Ово је најчешће среће у рачуноводству.

Формално, број који се одузима је познат као '''умањилац''',<ref name="Schmid_1974">{{Cite book |title=Decimal Computation |first=Hermann |last=Schmid |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, NY |isbn=978-0-471-76180-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}</ref><ref name="Schmid_1983">{{cite book |title=Decimal Computation |first=Hermann |last=Schmid |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=1 (reprint) |publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, FL |isbn=978-0-89874-318-0}}</ref> док је број од којег се одузима '''умањеник'''.<ref name="Schmid_1974"/><ref name="Schmid_1983"/> Резултат је '''разлика'''.<ref name="Schmid_1974"/><ref name="Schmid_1983"/><ref name=":0" /><ref>{{Cite web|title=Subtraction|url=https://www.mathsisfun.com/numbers/subtraction.html|access-date=2020-08-26|website=www.mathsisfun.com}}</ref> То је,

:<math> {\rm minuend} - {\rm subtrahend} = {\rm difference} </math>.

Сва ова терминологија потиче из [[Латински језик|латинског]]. ''[[wikt:subtraction|Subtraction]]'' је [[English language|енглеска]] реч изведена од латинског [[глагол]]а ''subtrahere'', који је заузврат [[compound (linguistics)|формиран]] од ''sub'' „одоздо” и ''trahere'' „вући”. Дакле, одузимати значи ''привући одоздо'', или ''одузети''.<ref>{{OED|Subtraction}}</ref> Коришћење [[gerundive|герундивног]] [[Affix|суфикса]] ''-nd'' резултира „умањиоцем”, „ствар за одузимање”.<ref group=lower-alpha>"Subtrahend" is shortened by the inflectional Latin suffix -us, e.g. remaining un-declined as in ''numerus subtrahendus'' "the number to be subtracted".</ref> Слично, од ''minuere'' „смањити или умањити”, представља „умањеник”, што значи „ствар за смањење”.

== Цели и реални бројеви ==
=== Цели бројеви ===
[[File:Line Segment jaredwf.svg|left| ]]

Замислите [[line segment|линијски сегмент]] [[length|дужине]] ''b'' са левим крајем означеним са ''a'' и десним са ознаком ''c''. Почевши од ''a'', потребно је ''b'' корака удесно до ''c''. Ово кретање удесно је математички моделовано [[addition|додавањем]]:
:''a'' + ''b'' = ''c''.

Од ''c'', потребно је ''b'' корака ''улево'' да се вратимо на ''a''. Ово кретање улево је моделовано одузимањем:
:''c'' − ''b'' = ''a''.

[[File:Subtraction line segment.svg|left| ]]

Сада је сегмент линије означен бројевима {{num|1}}, {{num|2}}, и {{num|3}}. Од позиције 3, није потребно ни корака улево да остане на 3, тако да је {{nowrap|1=3 − 0 = 3}}. Потребна су 2 корака улево да се дође до позиције 1, дакле {{nowrap|1=3 − 2 = 1}}. Ова слика је неадекватна да опише шта би се десило након што се пређу 3 корака лево од позиције 3. Да би се представила оваква операција, линија мора бити продужена.

Да би се одузели произвољни [[natural number|природни бројеви]], почиње се линијом која садржи сваки природни број (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Од 3, потребно је 3 корака улево да се дође до 0, тако да је {{nowrap|1=3 − 3 = 0}}. Али {{nowrap|3 − 4}} је и даље неважеће, пошто поново напушта линију. Природни бројеви нису користан контекст за одузимање.

Решење је да се узме у обзир [[integer|целобројна]] [[number line|бројевна права]] (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). На овај начин, потребно је 4 корака улево од 3 да би се дошло до −1:
:{{nowrap|1=3 − 4 = −1}}.

=== Природни бројеви ===

Одузимање [[natural numbers|природних бројева]] није [[Closure (mathematics)|затворено]]: разлика није природан број осим ако је умањеник већи или једнак од умањиоца. На пример, 26 се не може одузети од 11 да би се добио природан број. Такав случај користи један од два приступа:
# Може се закључити да се 26 не може одузети од 11; одузимање постаје [[partial function|парцијална функција]].
# Решење је [[цео број]] који представља [[negative number|негативан број]], тако да је резултат одузимања 26 од 11 је −15.

=== Реални бројеви ===

[[Field (mathematics)|Поље]] реалних бројева може се дефинисати специфицирајући само две бинарне операције, сабирање и множење, заједно са [[unary operations|унарним операцијама]] које дају [[Additive inverse|адитивне]] и [[Multiplicative inverse|мултипликативне]] инверзе. Одузимање реалног броја (умањилац) од другог (умањеник) се тада може дефинисати као сабирање умањиоца и адитивне инверзне вредности умањеника. На пример, {{math|1=3 − ''π'' = 3 + (−''π'')}}. Алтернативно, уместо да захтевају ове унарне операције, бинарне операције одузимања и [[Division (mathematics)|дељења]] могу се узети као основне.

== Својства ==
=== Антикомутативност ===

Одузимање је [[anti-commutative|антикомутативно]], што значи да ако се обрну термини у разлици с лева на десно, резултат је негативна вредност од првобитног резултата. Симболично, ако су ''a'' и ''b'' било која два броја, онда
:''a'' − ''b'' = −(''b'' − ''a)''.

=== Неасоцијативност ===

Одузимање није [[associativity|асоцијативно]], што се појављује када се покуша да се дефинише поновљено одузимање. Уопштено, израз
: „''a'' − ''b'' − ''c''”
може се дефинисати да значи (''a'' − ''b'') − ''c'' или ''a'' − (''b'' − ''c''), али ове две могућности доводе до различитих одговора. Да би се ово питање решило, мора се успоставити [[order of operations|редослед операција]], са различитим налозима који дају различите резултате.

=== Претходник ===

У контексту целих бројева, одузимање [[1 (number)|јединице]] такође игра посебну улогу: за било који цео број ''a'', цео број {{nowrap|(''a'' − 1)}} је највећи цео број мањи од ''a'', такође познат као претходник ''a''.

== Мерне јединице ==

Када се одузимају два броја са мерним јединицама као што су [[килограм]]и или [[pound (mass)|фунте]], они морају имати исту јединицу. У већини случајева, разлика ће имати исту јединицу као и оригинални бројеви.

=== Проценти ===

Промене у [[percentage|процентима]] се могу извести у најмање два облика, [[percentage change|процентуална промена]] и промена [[percentage point|процентних поена]]. Процентуална промена представља [[relative change|релативну промену]] између две величине у процентима, док је промена [[percentage point|процентних поена]] једноставно број добијен одузимањем та два процента.<ref>{{cite book|author=Paul E. Peterson, Michael Henderson, Martin R. West |title=Teachers Versus the Public: What Americans Think about Schools and How to Fix Them|location= |publisher=Brookings Institution Press |year=2014|isbn=|pages=163}}</ref><ref>{{cite book|author=Janet Kolodzy|title=Convergence Journalism: Writing and Reporting across the News Media |url=https://archive.org/details/convergencejourn0000kolo|location= |publisher= |year=2006|pages=[https://archive.org/details/convergencejourn0000kolo/page/n195 180]}} Rowman & Littlefield Publishers</ref><ref>{{cite book|author=David Gillborn|title=Racism and Education: Coincidence Or Conspiracy? |url=https://archive.org/details/racismeducationc0000gill|location= |publisher= |year=2008|pages=[https://archive.org/details/racismeducationc0000gill/page/n63 46]}} Routledge</ref>

Као пример, претпоставимо да је 30% уређаја направљених у фабрици неисправно. Шест месеци касније, 20% виџета је неисправно. Процентуална промена је {{sfrac|20% − 30%|30%}} = −{{sfrac|1|3}} = {{sfrac|−33|1|3}}%, док је промена процентних поена −10 процентних поена.

== Рачунарство ==

[[method of complements|Метода комплемента]] је техника која се користи за одузимање једног броја од другог користећи само сабирање позитивних бројева. Овај метод се обично користио у [[mechanical calculator|механичким калкулаторима]] и још увек се користи у савременим [[рачунари]]ма.

{| class="wikitable floatright"
! Бинарна<br>цифра
! Јединични <br>комплемент
|-align="center"
| 0
| 1
|-align="center"
| 1
| 0
|}

Да би се бинарни број ''y'' (умањилац) одузео од другог броја ''x'' (умањеник), јединични комплемент од ''y'' се додаје на ''x'' и један се додаје збиру. Водећа цифра „1” резултата се затим одбацује.

Метода комплемента је посебно корисна у бинарном рачуну (основа 2) јер се јединични комплемент врло лако добија инвертовањем сваког бита (променом „0” у „1” и обрнуто). А додавање 1 за добијање комплемента два може да се уради симулацијом преноса у најмање значајан бит. На пример:

   01100100  (x, једнако децималном 100)
 - 00010110  (y, једнако децималном 22)

постаје збир:

   01100100  (x)
 + 11101001  (јединични комплемент од y)
 +        1  (да се добије комплемент за два)
 ——————————
  101001110

Испуштање почетног „1”" даје одговор: 01001110 (једнако је децималном броју 78)

== Настава одузимања у школама ==

Методе које се користе за подучавање одузимања у [[elementary school|основној школи]] разликују се од земље до земље, а унутар земље различите методе се усвајају у различито време. У ономе што је у Сједињеним Државама познато као [[traditional mathematics|традиционална математика]], одређени процес се предаје студентима на крају прве године (или током друге године) за употребу са вишецифреним целим бројевима, а продужава се или у четвртом или петом разреду укључивањем [[decimal representation|децималних приказа]] разломака бројева.

=== У Америци ===

Скоро све америчке школе тренутно подучавају методу одузимања коришћењем позајмљивања или прегруписања (алгоритам декомпозиције) и систем означавања који се назива ''штаке''.<ref name="Klapper1916">{{cite book |author=Paul Klapper |title=The Teaching of Arithmetic: A Manual for Teachers |url=https://archive.org/details/teachingarithme00klapgoog |year=1916 |pages=[https://archive.org/details/teachingarithme00klapgoog/page/n94 80]– |access-date=2016-03-11 }}</ref><ref>{{cite journal|author=Susan Ross and Mary Pratt-Cotter |title= Subtraction in the United States:  An Historical Perspective,|journal= The Mathematics Educator|date= 2000|volume=8|issue=1|pages=4–11|pages=8}}.: "This new version of the decomposition algorithm [i.e., using Brownell's crutch] has so completely dominated the field that it is rare to see any other algorithm used to teach subtraction today [in America]."</ref> Иако је метод позајмљивања био познат и објављен у уџбеницима раније, употреба штака у америчким школама се проширила након што је [[William A. Brownell|Вилијам А. Браунел]] објавио студију — тврдећи да су штаке биле корисне за ученике који користе ову методу.<ref>{{cite journal |last1=Ross |title=Subtraction From a Historical Perspective |url=https://archive.org/details/sim_school-science-and-mathematics_1999-11_99_7/page/389 |first1=Susan C. |last2=Pratt-Cotter |first2=Mary |journal=School Science and Mathematics |date=1999 |volume=99 |issue=7 |pages=389–93 |doi=10.1111/j.1949-8594.1999.tb17499.x }}</ref> Овај систем је брзо прихваћен, истиснувши друге методе одузимања у употреби у Америци у то време.

=== У Европи ===

Неке европске школе користе метод одузимања зван аустријски метод, познат и као метод сабирања. У овом методу нема задуживања. Постоје и штаке (ознаке за помоћ памћењу), које се разликују од земље до земље.<ref>Klapper 1916, pp. 177–.</ref><ref name="Smith1913">{{cite book |author=David Eugene Smith |title=The Teaching of Arithmetic |url=https://archive.org/details/bub_gb_A7NJAAAAIAAJ |year=1913 |publisher=Ginn |pages=[https://archive.org/details/bub_gb_A7NJAAAAIAAJ/page/n85 77]– |access-date=2016-03-11 }}</ref>

== Види још ==
* [[Сабирање]]

== Напомене ==
{{notelist}}

== Референце ==
{{Reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book|ref=harv |title=Decimal Computation |first=Hermann |last=Schmid |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1 |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, NY |isbn=978-0-471-76180-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}
* Brownell, W.A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
* [https://web.archive.org/web/20170811133911/http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v10n2/5ross.pdf Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, {{cite journal|author= |title= |journal= The Mathematics Educator|date=|volume=8|issue=1|pages=}} (original publication) and. {{page2|date=|volume=10|issue=1|pages=}} (reprint.)] [[PDF]]
* {{Cite web|url=https://www.everydaymathonline.com/pdf/teacher/algorithms_handbook/print_resources/Subtraction_Algorithms/US_Traditional_Subtraction_pp_28-29.pdf|title=U.S. Traditional Subtraction (Standard)|website=Everyday Mathematics Online|access-date=June 25, 2019}}{{Мртва веза}}
* {{Cite journal|last=Star|first=Jon R.|last2=Smith|first2=John P.|last3=Jansen|first3=Amanda|title=What Students Notice as Different between Reform and Traditional Mathematics Programs|url=https://archive.org/details/sim_journal-for-research-in-mathematics-education_2008-01_39_1/page/9|journal=Journal for Research in Mathematics Education|date=2008|volume=39|issue=1|pages=9–32|doi=10.2307/30034886|issn=0021-8251|jstor=30034886}}
* {{cite book|last=Bourbaki|first=Nicolas|title=Elements of the History of Mathematics|location=Berlin, Heidelberg, and New York|publisher=Springer-Verlag|year=1998|isbn=3-540-64767-8|pages=}}
* {{cite book|author=Struik, Dirk J|title=A Concise History of Mathematics |location= New York|publisher= Dover Publications|year=1987}}.
* {{cite book |last=Kline |first=Morris |date=1972 |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |url=https://archive.org/details/mathematicalthou0000unse |publisher= Oxford University Press, New York |page= }}
* {{cite web |url=https://web.ma.utexas.edu/users/mks/326K/Negnos.html |title=History of Negative Numbers |author=Martha Smith}}
* {{citation|last1=Gerver|first1=Robert K.|last2=Sgroi|first2=Richard J.|title=Financial Algebra, Student Edition|url=https://books.google.com/books?id=mQ7EdJA6WWMC&pg=PA201|year=2010|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-538-44967-0|page=201}}
* {{cite book|title=Understanding by design|author1=Grant P. Wiggins|last2=McTighe|first2=Jay|page=[https://archive.org/details/isbn_9780131950849/page/210 210]|year=2005|publisher=ACSD Publications|isbn=1-4166-0035-3|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_9780131950849/page/210}}
* {{cite book|last1=Needham|first1=Joseph|last2=Wang|first2=Ling|title=Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth|url=https://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC|year=1995|orig-year=1959|edition=reprint|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-05801-5|page=90}}
* {{cite book|last1=Heath|first1=Thomas L.| title=The works of Archimedes|date=1897|publisher=Cambridge University Press|pages=cxxiii|url=https://archive.org/details/worksofarchimede029517mbp/page/n73/mode/2up}}
* {{cite book|last=Hodgkin|first=Luke|title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity|url=https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg|url-access=registration|year=2005|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-152383-0|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg/page/88 88]|quote=Liu is explicit on this; at the point where the ''Nine Chapters'' give a detailed and helpful 'Sign Rule'}}
* {{cite book|last1=Needham|first1=Joseph| last2=Wang| first2=Ling| title=Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth| url=https://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC|year=1995|orig-year=1959|edition=reprint|location=Cambridge| publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-05801-5|pages=90–91}}
* {{cite book|last=Teresi|first=Dick|title=Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas|url=https://archive.org/details/lostdiscoveriesa0000tere|location=New York|publisher=Simon & Schuster|year=2002|isbn=0-684-83718-8|pages=}}
* {{cite web|last=Pearce|first=Ian|title=The Bakhshali manuscript|publisher=The MacTutor History of Mathematics archive|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Bakhshali_manuscript.html|date=May 2002|access-date=2007-07-24}}
* {{citation|last=Hayashi|first=Takao|title=Bakhshālī Manuscript|encyclopedia=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|volume=1|year=2008|publisher=Springer| isbn=9781402045592| editor=Helaine Selin|editor-link=Helaine Selin|page=B2|url=https://books.google.com/books?id=kt9DIY1g9HYC&pg=RA1-PA1}}
* {{cite book|last=Teresi|first=Dick|title=Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas|url=https://archive.org/details/lostdiscoveriesa0000tere|location=New York|publisher=Simon & Schuster|year=2002|isbn=0-684-83718-8|pages=}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Subtraction}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Subtraction.html -{MathWorld Wolfram}-, „Одузимање“] {{en}}
* {{springer|title=Subtraction|id=p/s091050}}
* Printable Worksheets: [https://web.archive.org/web/20121119024904/http://www.math-drills.com/subtraction.shtml Subtraction Worksheets], [http://www.kwiznet.com/p/takeQuiz.php?ChapterID=1214&CurriculumID=2&Method=Worksheet&NQ=24&NQ4P=3 One Digit Subtraction], [http://www.kwiznet.com/p/takeQuiz.php?ChapterID=1202&CurriculumID=2&Method=Worksheet&NQ=24&NQ4P=3 Two Digit Subtraction], [http://www.kwiznet.com/p/takeQuiz.php?ChapterID=1273&CurriculumID=3&Method=Worksheet&NQ=24&NQ4P=3 Four Digit Subtraction], and [http://www.dadsworksheets.com/worksheets/subtraction.html More Subtraction Worksheets]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/SubtractionGame.shtml Subtraction Game] at [[Cut-the-Knot|cut-the-knot]]
* [https://web.archive.org/web/20090416010325/http://webhome.idirect.com/~totton/abacus/pages.htm#Subtraction1 Subtraction on a Japanese abacus] selected from [http://webhome.idirect.com/~totton/abacus/ Abacus: Mystery of the Bead]
* [http://www.wdl.org/en/item/2863 "A Friendly Gift on the Science of Arithmetic"] is an Arabic document from the 15th century that talks about basic arithmetic.

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Елементарна математика]]
[[Категорија:Бинарне операције]]