Изворни код странице Момент силе

{{Infobox physical quantity
| name = Момент силе 
| width =
| background =
| image = Torque animation.gif
| caption = Веза између [[сила|силе]] (-{'''F'''}-) и момента силе <math>\tau</math>, као и [[импулс]]а (-{'''p'''}-) и [[момент импулса|момента импулса]] (-{'''L'''}-) код ротационог кретања. Вектор положаја тела у односу на тачку (осу) око које ротира означен је са (-{r}-)
| unit = -{[[Њутн метар|N⋅m]]}-
| otherunits = [[Pound-foot (torque)|фунта-силе стопа]], [[Pound (force)|-{lbf}-]]⋅инч, -{ozf⋅in}-
| symbols = <math>\tau</math>, -{''M''}-
| baseunits = -{kg⋅m²⋅s<sup>−2</sup>}-
| dimension = -{'''M''' '''L'''<sup>2</sup>'''T'''<sup>−2</sup>}-
}}
[[Датотека:Fysik vridmoment.png|оквир|десно|Момент силе примењен на крај регулишућег кључа за одвијање]]

'''Момент силе''' или '''обртни момент''' је величина у механици [[ротационо кретање|обртног (ротационог) кретања]] која је аналогна улози [[сила|силе]] код [[транслаторно кретање|праволинијског (транслационог) кретања]].<ref>Serway, R. A. and Jewett, Jr. J.W. (2003). ''Physics for Scientists and Engineers''. 6th Ed. Brooks Cole. {{ISBN|0-534-40842-7}}.</ref> При дејству силе, момент силе изазива обртно кретање тела. Интензитет момента силе је једнак производу силе и њеног најкраћег растојања од осе ротације. На основу тога је очигледно да сила чији правац сече осу ротације тела има нулти момент, односно не може променити ротацију тела, због чега је код ротационог кретања и било нужно увести овај нови концепт момента силе (нпр. када седнете на бицикл ваша маса делује у правцу осе точкова, који се према томе неће покренути док не почнете да окрећете педале).

Концепт је настао из [[Архимед]]ових студија о употреби [[Полуга|полуге]]. Баш као што линеарна сила може да гура или вуче, обртни момент се може замислити као завртање предмета око одређене осе. Друга дефиниција обртног момента је да је то производ магнитуде силе и нормалне удаљености линије деловања силе од осе ротације. Симбол обртног момента је типично <math>\boldsymbol\tau</math>, мало слово [[грчки алфабет|грчког слова]] ''[[Тау (слово)|тау]]''. У контексту момента силе, то се обично означава са ''М''.

У три димензије, обртни момент је [[pseudovector|псеудовектор]]; за [[Материјална тачка|материјалну тачку]], он је дат [[Vektorski proizvod|векторским производом]] вектора положаја ([[Вектор|вектора удаљености]]) и вектора силе. Јачина обртног момента чврстог тела зависи од три величине: примењене силе, ''вектора полуге''<ref>{{Cite book|author=Tipler, Paul|title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.)|url=https://archive.org/details/physicsforscient0002tipl|publisher=W. H. Freeman|year=2004|isbn=0-7167-0809-4}}</ref> који повезује тачку око које се мери обртни момент и тачку примене силе, и угла између вектора силе и полуге. Ово се може изразити симболима као:
:<math>\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math>

:<math>\tau = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin \theta\,\!</math>
где је
:<math>\boldsymbol\tau</math> вектор момента и <math>\tau</math> је магнитуда момента,
:-{'''r'''}- је вектор позиције (вектор од тачке око које се обртни моменат мери до тачке у којој се примењује сила)
:-{'''F'''}- је вектор силе,
:× означава [[векторски производ]], чиме се произиводи вектор који је [[perpendicular|нормалан]] на -{'''r'''}- и -{'''F'''}-, у складу са [[правило десне руке|правилом десне руке]],
:<math> \theta</math> је угао између вектора силе и вектора крака полуге.

[[Међународни систем јединица|СИ јединица]] за моменат је -{N⋅m}-.

== Терминологија ==

[[James Thomson (engineer)|Џејмс Томсон]], брат [[Вилијам Томсон, 1. барон Келвин|Лорда Келвина]], увео је термин моменат ({{јез-енг|torque}}) у енглеску научну литературу 1884. године.<ref>{{cite book
|url= https://archive.org/details/collectedpapers00larmgoog
|page= civ
|title= Collected Papers in Physics and Engineering
|first1= James
|last1= Thomson
|first2= Joseph
|last2= Larmor
|publisher= University Press
|date= 1912}}, at {{cite book|author=|title=|url=https://books.google.com/books|location=|publisher=|year=|id=|pages=}}</ref> Међутим, за моменат се користе различите варијанте назива, зависно од географског положаја и поља проучавања. Овај чланак следи дефиницију која се користи у физици у САД.<ref name="Hendricks">''Physics for Engineering'' by Hendricks, Subramony, and Van Blerk, Chinappi page 148, [https://books.google.com/books?id=8Kp-UwV4o0gC&pg=PA148 Web link]</ref> У Великој Британији и у [[Машинство|машинству]] у САД, примењује се назив момент силе, обично скраћен на ''момент''.<ref name="Kane" /> Ови термини су заменљиви у физици у САД<ref name="Hendricks" /> и физичкој терминологији у Великој Британији, за разлику од америчког машинског инжењерства, где се термин -{''torque''}- користи за уско повезани „резултантни моменат [[Couple (mechanics)|спреге]]”.<ref name="Kane">Kane, T.R. Kane and D.A. Levinson (1985). ''Dynamics, Theory and Applications'' pp. 90–99: [http://ecommons.library.cornell.edu/handle/1813/638 Free download].</ref>

== Дефиниција и однос са угаоним моментом ==

[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|Честица се налази у положају -{'''r'''}- у односу на своју осу ротације. Када се на честицу примени сила -{'''F'''}-, само окомита компонента '''-{F}-'''<sub>⊥</sub> ствара обртни момент. Овај обртни момент -{'''τ'''&nbsp;=&nbsp;'''r'''&nbsp;×&nbsp;'''F'''}- има магнитуду -{''τ''&nbsp;=&nbsp;<nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<sub>⊥</sub><nowiki>|</nowiki>&nbsp;=&nbsp;<nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<nowiki>|</nowiki>&thinsp;sin&thinsp;''θ''}- и усмерен је изван равни.]]

Сила примењена нормално на полугу помножена с њеним растојањем од [[Полуга|тежишта полуге]] (дужином крака полуге) је њен обртни момент. На пример, сила од три [[њутн (јединица)|њутна]] примењена два [[метар|метра]] од тежишта, има исти обртни момент као и сила једног њутна, која је примењена шест метара од тежишта. Смер обртног момента може се одредити кориштењем [[Правило десне руке|правила десне руке]]: ако су прсти десне руке савијени од смера полуге према смеру силе, тада је палац усмерен у правцу момента.<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|accessdate=8. 9. 2007}}</ref>

Генералније, момент на честици у тачци (која има положај -{'''r'''}- у неком референтном оквиру) може се дефинисати као [[векторски производ]]:
:<math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},</math>
где је -{'''r'''}- [[вектор положаја]] честице релативно на координатни почетак, а -{'''F'''}- је сила која делује на честицу. Магнитуда момента, ''τ'', је дата са
:<math>\tau = rF\sin\theta,\!</math>
где је -{''r''}- растојање од осе ротације честице, -{''F''}- је магнитуда примењене силе, и ''θ'' је угао између позиције и вектора силе. Алтернативно,
:<math>\tau = rF_{\perp},</math>
где је -{''F''<sub>⊥</sub>}- количина силе усмерене нормално на позицију честице. Компонента силе усмерена паралелно на позицију честице не производи моменат.<ref name="halliday_184-85">{{cite book|last1=Halliday|first1=David|last2=Resnick|first2=Robert|title=Fundamentals of Physics|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1970|pages=184–85}}</ref><ref>{{Cite book|title=College Physics: A Strategic Approach|last1=Knight|first1=Randall|last2=Jones|first2=Brian|last3=Field|first3=Stuart|publisher=Pearson|others=Jones, Brian, 1960-, Field, Stuart, 1958-|year=2016|isbn=9780134143323|edition=Third edition, technology update|location=Boston|pages=199|oclc=922464227}}</ref>

Из својстава векторског производа произлази да је вектор обртног ''момента'' нормалан на векторе ''положаја'' и ''силе''. Еквивалентно томе, вектор обртног ''момента'' дефинише раван у којој леже вектори ''положаја'' и ''силе''. Резултирајући смер ''вектора момента'' је одређен правилом десне руке.<ref name="halliday_184-85" />

Нето обртни момент на телу одређује брзину промене [[Момент импулса|угаоног момента]] тела,
:<math>\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math>
где је -{'''L'''}- вектор угаоног момента, а -{''t''}- је време.

За кретање тачкасте честице важи,
:<math>\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega},</math>
где је {{math|''I''}} [[момент инерције]], а '''ω''' је орбитална [[угаона брзина]] псеудовектора. Из овога следи
:<math>\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + \frac{\mathrm{d}(mr^2)}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + 2rp_{||}\boldsymbol{\omega},</math>
где је '''α''' [[angular acceleration|угаоно убрзање]] честице, а ''p''<sub>||</sub> је радијална компонента њеног [[Импулс|линеарног момента]]. Ова једначина је ротациони аналог [[Њутнови закони|Њутновог другог закона]] за тачкасте честица, и важи за било који тип путање. Треба имати на уму да иако су сила и убрзање увек паралелни и директно пропорционални, обртни моменат '''τ''' не мора бити паралелан или директно пропорционалан угаоном убрзању '''α'''. Ово произилази из чињенице да иако се маса увек бива очувана, то генерално није случај са моментом инерције.

== Симбол и јединица ==
Ознака за момент силе је велико слово M (на енглеском говорном подручју као ознака користи се [[грчки језик|грчко]] слово <math>\tau</math> ({{jez-en|torque}})). [[Изведене јединице СИ система|СИ]] јединица за момент силе је [[њутн (јединица)|њутн]]-[[метар]].

== Разматрање ==
Концепт момента силе или спрега сила посебно је важан за [[полуга|полугу]], као једну од простих машина, чији је закон, познат још из античких времена, захваљујући [[Архимед]]у. Сила примењена на полугу помножена са њеним најкраћим растојањем од ослонца полуге (краком силе) једнака је интензитету момента ове силе. На пример, сила од три њутна која делује на растојању два метра од ослонца полуге, има исти момент као сила од једног њутна примењена на шест метара од ослонца. При томе, подразумева се да је растојање или крак силе у односу на ослонац мерено под правим углом у односу на правац силе (најкраће растојање). На основу тога лако је закључити да је код полуге сила толико пута мања од масе терета, колико је пута њен крак већи од крака терета ([[Архимедов закон полуге]]).

Математички, момент силе који делује на честицу (чији је вектор положаја у неком референтном систему <math>\vec r</math>) може се дефинисати као [[вектор#Векторски производ|векторски производ]] вектора положаја и вектора силе, односно:
:<math>\vec M = \vec r \times \vec F</math>
где је <math>\vec r</math> вектор положаја честице у односу на извориште координатног система, а <math>\vec F</math> вектор силе која делује на честицу. Или, на основу особине векторског производа, добија се да је интензитет (јачина) вектора момента силе:
:<math>\ M = r F \sin \theta</math>
где су <math>\ r</math> и <math>\ F</math> интензитети вектора положаја и силе, а <math>\ sin \theta </math> је [[Синус (тригонометрија)|синус]] угла <math>\theta</math> између њих.

Правац вектора момента силе је нормалан на раван у којој леже вектор положаја и вектор силе. Смер вектора момента силе одређује се “правилом десног завртња”, што значи да је једнак смеру напредовања десног завртња који би обртали у смеру од вектора <math>\vec r </math> ка вектору <math>\vec F</math>, краћим путем. Или, ако применимо правило “казаљки на сату”, померање од вектора <math>\vec r </math> ка вектору <math>\vec F</math>, краћим путем, супротно је смеру кретања казаљки на сату, посматрано са врха вектора момента силе <math>\vec M </math>.<ref>{{cite book |last1=Вучић |first1=Властимир М. |last2=Ивановић |first2=Драгиша М. |title=Физика 1 |publisher=Научна књига, 1986 |location=Београд |edition=20}}</ref>

== Пример ==
Мотор има стартни обртни момент од 150 -{Nm}-. Ако точак причвршћен на вратило мотора има дијаметар од 1 -{m}-, израчунај кочиону силу да би се спречило окретање система вратила мотора-точак.

Радијус је 0.5 -{m}-, дакле кочиона сила од:

<math>\mathbf{F}=\frac{M}{r} </math> = 300 -{N}- је потребна. Ако је радијус 2 метра, сила од 75 Њутна би била довољна да спречи ротацију.

== Види још ==
* [[Сила]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book|ref=harv|author=Tipler, Paul|title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.)|url=https://archive.org/details/physicsforscient0002tipl|publisher=W. H. Freeman|year=2004|isbn=0-7167-0809-4}}
* -{Electrical Machines, Drives, and Power Systems, 4th edition, Theodore Wildi, Prentice Hall}-. {{page|year=|isbn=978-0-13-082460-8|pages=}}
* ''Physics for Engineering'' by Hendricks, Subramony, and Van Blerk, page 148, [https://books.google.com/books?id=8Kp-UwV4o0gC&pg=PA148 Web link]
* ''Engineering Mechanics: Equilibrium'', by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64 [https://books.google.com/books?id=oPhH90IWW60C&pg=PA64 Web link]
* {{cite book |title=The mechanics of engineering, Volume 1 |author=Augustus Jay Du Bois |url=https://archive.org/details/mechanicsengine01boisgoog |page=[https://archive.org/details/mechanicsengine01boisgoog/page/n233 186] |publisher=Wiley |year=1902}}
* J.L. Ericksen (1979) [http://imechanica.org/node/10396 Timoshenko Acceptance Speech] at iMechanica.org site for [[mechanician]]s
* H.F. Girvin (1938) ''Applied Mechanics'', §28 Couples, pp 33,4, Scranton Pennsylvania: International Textbook Company.
* {{cite book|last1=Cohen-Tannoudji|first1= Claude|last2= Diu|first2= Bernard|last3= Laloë|first3=Franck|year=2006|title=Quantum Mechanics|publisher= John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-56952-7|edition=2 volume set}}
* {{cite book|first1=E. U.|last1= Condon |first2= G. H. |last2=Shortley |year=1935|title=The Theory of Atomic Spectra|chapter-url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212979|publisher= Cambridge University Press| isbn= 978-0-521-09209-8|chapter=Especially Chapter 3}}
* {{cite book|last=Edmonds|first=A. R.|year=1957|title=Angular Momentum in Quantum Mechanics|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-07912-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/angularmomentumi0000edmo}}
*{{citation|first=Brian C.|last=Hall|title=Quantum Theory for Mathematicians|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=267 |publisher=Springer|year=2013|bibcode=2013qtm..book.....H |isbn=978-0-387-40122-5}}.
* {{cite book|last=Jackson|first= John David |year=1998|title=Classical Electrodynamics|url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9|url-access=registration|edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons| isbn =978-0-471-30932-1}}
* {{cite book| last1=Serway| first1=Raymond A.| last2=Jewett| first2=John W.| title=Physics for Scientists and Engineers| edition=6th| publisher=Brooks/Cole| year=2004| isbn=978-0-534-40842-8| url=https://archive.org/details/physicssciengv2p00serw}}
* {{cite book|last=Thompson|first= William J. |year=1994|title=Angular Momentum: An Illustrated Guide to Rotational Symmetries for Physical Systems|publisher=Wiley| isbn =978-0-471-55264-2}}
* {{cite book | last=Tipler|first= Paul | title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics| url=https://archive.org/details/physicsforscient0002tipl|edition= 5th | publisher=W. H. Freeman | year=2004 | isbn=978-0-7167-0809-4}}
* {{cite book|author-link=Richard Feynman |author= Feynman R |author-link2= Robert B. Leighton |author2 = Leighton R |author-link3= Matthew Sands |author3 = Sands M. |chapter-url=http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_19.html#Ch19-S4|chapter=19–4 Rotational kinetic energy|title= The Feynman Lectures on Physics |edition=online |website=The Feynman Lectures Website|date=септембар 2013|title-link=The Feynman Lectures on Physics}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Torque}}
* {{Britannica|600049|Torque (moment of a force)}}
* -{[http://craig.backfire.ca/pages/autos/horsepower "Horsepower and Torque"] {{Wayback|url=http://craig.backfire.ca/pages/autos/horsepower |date=20070328195944 }} An article showing how power, torque, and gearing affect a vehicle's performance.}-
* -{[http://kevinthenerd.googlepages.com/torque_vs_hp.html "Torque vs. Horsepower: Yet Another Argument"] {{Wayback|url=http://kevinthenerd.googlepages.com/torque_vs_hp.html |date=20090303160936 }} An automotive perspective}-
* -{[http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m34.pdf ''Torque and Angular Momentum in Circular Motion ''] on [http://www.physnet.org/ Project PHYSNET].}-
* -{[http://www.phy.hk/wiki/englishhtm/Torque.htm An interactive simulation of torque]}-
* -{[http://www.lorenz-messtechnik.de/english/company/torque_unit_calculation.php Torque Unit Converter]}-
* -{[http://www.clarifyscience.info/part/ZoomB?v=A&p=CK6Ji&m=torque A feel for torque] {{Wayback|url=http://www.clarifyscience.info/part/ZoomB?v=A&p=CK6Ji&m=torque |date=20210508213327 }} An order-of-magnitude interactive.}-

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Механика]]
[[Категорија:Ротација]]
[[Категорија:Физичке величине]]
[[Категорија:Сила]]