Изворни код странице Круг

{{друго значење2|Круг}}
[[Датотека:Elements of circle-sr.svg|мини|200п|Круг са својим основним елементима — центром (''-{O}-''), полупречником (''-{r}-''), пречником (''-{D}-'') и кружницом]]
'''Круг''' је у [[планиметрија|еуклидској планиметрији]] [[геометријско место тачака]] у [[раван|равни]] које се налазе на растојању мањем или једнаком некој задатој дужини од неке дате тачке у истој тој равни. Поменута тачка се зове [[Центар (геометрија)|центром]] а поменута дужина [[полупречник]]ом круга. Круг је оивичен линијом која се зове [[кружница]] и дели раван на унутрашњост круга, саму себе и спољашњост круга. Сама кружница припада кругу кога оивичава.

Двострука дужина полупречника се назива [[пречник]]ом круга, а [[обим]] круга је дужина његове кружнице. Други називи са полупречник и пречник су, тим редом, радијус и дијаметар.<ref>{{Cite journal|last=Oviedo de Valeria|first=Jenny|date=1994-08-02|title=chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/http://www.revista-educacion-matematica.org.mx/descargas/vol6/vol6-2/vol6-2-5.pdf|url=https://doi.org/10.24844/em0602.06|journal=Educación matemática|volume=6|issue=2|pages=73–86|doi=10.24844/em0602.06|issn=2448-8089}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.math10.com/sr/geometrija/kruzhnice.html|title=Kružnice, centar kružnice, poluprečnik, prečnik, obim, pi, kružni isečak, tangenta|website=www.math10.com|access-date=2025-01-16}}</ref>

== Дефиниција ==
* '''Круг''' с центром '''-{O}-''' и полупречником (радијусом) '''-{r}-''' је геометријско место тачака равни чија растојања од тачке -{О}- нису већа од -{r}-, тј. то је скуп тачака -{M}- равни за које важи <math>OM \leq r</math>. Круг је [[затворен скуп]] тачака равни, чија је граница периферија круга, тј. [[кружница]].
** '''Велики круг''' [[лопта|лопте]] (сфере) је круг који се добија пресеком лопте са равни која пролази кроз њен центар. Полупречник В. к. л. је једнак полупречнику лопте. Кроз сваке две тачке лопте које нису крајеви њеног пречника пролази само један В. к. л. Било која два В. к. л. секу се у двема дијаметрално супротним тачкама лопте.
** '''У нашој''' математичкој '''терминологији''' се под појмом круг понекад подразумева и кружница (дакле крива). 
** '''Круг кривине''' ([[диференцијална геометрија]]) је исто што и оскулаторни круг, тј. [[оскулаторна кружница]].

=== Остале дефиниције ===
* '''Круг конвергенције''' степеног реда:
: <math>a_0 + a_1(z-c) + a_2(z-c)^2 + ... + a_n(z-c)^n + ...\,</math>
је круг полупречника -{R}- с центром у тачки -{z-c}- комплексне равни у чијим свим унутрашњим тачкама -{(|z-a|<R)}- степени ред апсолутно конвергира. Полупречник -{R}- круга конвергенције се назива полупречник конвергенције степеног реда. На рубу круга конвергенције степеног реда постоји [[сингуларна тачка]]. Може се десити да полупречник конвергенције степеног реда буде нула или бесконачан. Кад је он бесконачан, степени ред конвергира у свакој тачки комплексне равни. За сваки степени ред област конвергенције је увек круг из којег се евентуално искључује неки скуп тачака на његовом рубу.

== Аналитичка геометрија ==
У -{''x''-''y''}- [[координатни систем|координатном систему]], круг са центром (-{''p'', ''q''}-) и полупречником -{''r''}- је скуп свих тачака (-{''x'', ''y''}-) тако да

:<math>\left(x - p \right)^2 + \left(y - q \right)^2 \leq r^2.</math>

Ако је круг са центром у [[координатни почетак|координатном почетку]], тј. (0, 0), онда се ова формула може упростити до
:<math>x^2 + y^2 \leq r^2.\,</math>
Круг са центром у координатном почетку и полупречником 1 се зове [[јединични круг]].

Изражен у [[поларни координатни систем|поларним координатама]] ''-{(r,Θ)}-'', круг полупречника ''-{r<sub>k</sub>}-'' са центром у тачки ''-{(r<sub>c</sub>,φ)}-'' може да се дефинише као:
:<math>r^2 - 2r\cdot r_c \cos(\theta - \varphi) + {r_c}^2 \leq {r_k}^2.\, </math>
:<math>\theta \in \left [ 0,2\pi \right), r \geq 0</math>

Нагиб круга може да се изрази следећом формулом:
:<math>y' = - \frac{x}{y}.</math>

Сви кругови су [[сличност|слични]]; као последица, обим круга и његов полупречник су [[пропорција|пропорционални]], као што су његова [[површина]] и квадрат полупречника. Константа пропорционалности је 2[[пи|&pi;]] и &pi;, редом. Другим речима:
* Обим круга = <math>2\pi r.\,</math>
* Површина круга = <math>\pi r^2.\,</math><ref>{{citation|title=Journey into Mathematics: An Introduction to Proofs|series=Dover Books on Mathematics|first=Joseph J.|last=Rotman|publisher=Courier Dover Publications|year=2013|isbn=9780486151687|page=44|url=https://books.google.com/books?id=6QDCAgAAQBAJ&pg=PA44-IA52}}.</ref>

Формула за површину круга може да се изведе из формула за обим круга и површину [[троугао|троугла]] на следећи начин. Замислите правилни [[шестоугао]] подељен на једнаке троуглове, са њиховим врховима у центру шестоугла. Површина шестоугла може да се нађе у формули површине троугла, тако што се сабирају дужине основица свих троуглова, множе се дужином висине троуглова (дужина од средине основице до центра) и деле са 2. Ово је апроксимација површине круга. Онда замислите исту ситуацију, али са осмоуглом и апроксимација ће бити мало ближа површини круга. Како се правилни многоугао са све више страница дели на троуглове, то се и површина многоугла све више ближи површини круга. У [[гранична вредност|лимесу]], збир свих основица се приближава обиму 2&pi;-{''r''}-, а висина троуглова се приближава полупречнику -{''r''}-. Када се помноже обим и полупречник и поделе са два, добија се површина &pi;''-{r}-''&sup2;.

== Особине ==
[[Датотека:Circle - STC-sr.svg|десно|300п|Тетива, сечица и тангента круга]]
[[Датотека:Circle slices-sr.svg|десно|300п|Лук, исечак и одсечак круга]]

[[Права (математика)|Права]] која сече кружницу у две тачке је [[сечица]] или [[секанта]], а права која додирује круг у једној тачки је [[тангента]]. Тангенте су увек под правим углом са полупречницима, сегментима који спајају центар са тачком на кружници, чија се дужина поклапа са дефиницијом од изнад. Део сечице ограничен кругом се зове [[тетива (геометрија)|тетива]], а најдужа тетива је она које пролази кроз центар и зове се [[пречник]] или дијаметар и чине га два [[полупречник]]а. Површина дела круга одсеченог тетивом се назива [[кружни одсечак]].

Могуће је наћи највећи број јединствених одсечака које стварају тангенте између тачака на кружници.

Ако је познат само круг (или његов део), онда његов центар може да се конструише на следећи начин: узму се две не-[[паралелан|паралелне]] тетиве, конструишу се кружне линије на њиховим средиштима и пронађе се пресечна тачка тих линија. Полупречник таквог парцијалног круга може да се израчуна из дужине (-{L}-) тетиве и удаљености (-{D}-) од средишта тетиве до најближе тачке на кругу по разним формулама, укључујући:

(из математичког извођења)
:<math>r= \frac {(L/2)^2+D^2} {2D}</math>

(из математичког извођења)
:<math>{\mbox{r}}={{L}\over{\sin\pi-2\tan^{-1}({{L}\over{D}})}}.</math>
[[Датотека:ArcIllustrateChordDimentions.svg|Илустрација тетиве]]

Део обима ограничен са два полупречника се зове [[лук (геометрија)]], а површина (тј. кришка диска) у оквиру тих полупречника и лука се зове [[кружни исечак]]. Однос дужине лука и полупречника дефинише [[угао]] између два полупречника у [[радијан]]има.

Формула за дужину кружног лука (где је &alpha; централни угао над луком):
:<math>l={{r \pi \alpha}\over{180^\circ}}</math>

Формула за површину кружног исечка:
:<math>P={{r^2 \pi \alpha}\over{360^\circ}}</math>

Сваки [[троугао]] може да има више кругова: [[описан круг|описани круг]] који садржи сва три темена троугла, [[уписан круг|уписани круг]] који је унутар троугла и додирује све три странице, три [[спољашњи круг|спољашња круга]] који су ван троугла и додирују једну страницу и наставке друге две и [[ојлерова кружница|круг девет тачака]] који садржи разне важне тачке троугла. [[Талесова теорема]] наводи да ако се три темена троугла налазе на кругу где је једна страна троугла пречник круга, онда је супротни угао од те странице [[угао|прав]].

За сваке три различите тачке које леже у равни, а истовремено не леже на правој, постоји тачно један круг чија кружница садржи те тачке (то је заправо описани круг троугла којег дефинишу те тачке). За три одређене тачке <(''-{x}-''<sub>1</sub>,''-{y}-''<sub>1</sub>), (-{x}-<sub>2</sub>,''-{y}-''<sub>2</sub>), (-{x}-<sub>3</sub>,''-{y}-''<sub>3</sub>)>, једначина овог круга је приказана на једноставан начин користећи [[матрица (математика)|матричну]] [[детерминанта|детерминанту]]:

<math>
\det\begin{bmatrix}
x   & y   & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end{bmatrix} = 0.
</math>

Круг је врста пресека купе, са нултим ексцентрицитетом. У [[топологија|топологији]] све просте затворене криве су [[хомеоморфизам|хомеоморфне]] круговима, а реч круг се често примењује на њима као последица. Тродимензионални аналог кругу је [[лопта]] (тело) или [[сфера]] (површ).

[[Квадратура круга]] се односи на (немогући) задатак конструисања, за дати круг, [[квадрат]]а са једнаком површином користећи само [[Конструкције лењиром и шестаром|лењир и шестар]]. [[Квадратура круга Тарског]] је, насупрот, задатак дељења круга на коначно много делова и спајања тих делова да би се сачинио квадрат исте површине. Због [[Аксиома избора|аксиоме избора]], ово је заиста могуће.

Тродимензионална тела чији су пресеци у неким равнима кругови укључују [[лопта|лопте]], [[сфероид]]е, [[Ваљак (геометрија)|ваљке]] и [[Купа (геометрија)|купе]].

== Види још ==
* [[Јединични круг]]
* [[Декартова теорема]]
* [[Однос обима и пречника круга]]
* [[Пи]]

== Спољашње везе ==
* [http://agutie.homestead.com/files/clifford1.htm Клифордове теореме о кругу]
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Munching/circle.shtml Манчинг о круговима]

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Геометрија]]