Изворни код странице Комутативна алгебра

У [[апстрактна алгебра|апстрактној алгебри]], '''комутативна алгебра''' проучава [[комутативни прстен|комутативне прстене]], њихове [[идеал (теорија прстена)|идеале]], и [[модуларна аритметика|модуле]] над таквим прстенима. И [[алгебарска геометрија]] и [[алгебарска теорија бројева]] су засноване на комутативној алгебри.<ref>{{Citation | last=Christensen | first=Lars Winther | first2=Janet | last2=Striuli | first3=Oana | last3=Veliche | title=Growth in the minimal injective resolution of a local ring | journal=Journal of the London Mathematical Society | series=Second Series | volume=81 | issue=1 | pages=24–44 |year=2010| doi=10.1112/jlms/jdp058 | arxiv=0812.4672| s2cid=14764965}}</ref><ref>{{Citation | last=Eisenbud | first=David | author1-link=David Eisenbud | title=Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | isbn=978-0-387-94268-1 | mr=1322960 |year=1995| volume=150}}</ref> Битни примери комутативних прстена укључују [[полиномијални прстен|полиномијалне прстене]] и [[алгебарски цео број|алгебарске целе бројеве]].

Комутативна алгебра је главни технички алат у локалном проучавању [[шема (математика)|шема]].

Проучавање прстена који нису обавезно комутативни је познато као [[некомутативна алгебра]]; она укључује [[теорија прстена|теорију прстена]], [[теорија репрезентације|теорију репрезентације]], и теорију [[Банахова алгебра|Банахових алгебри]].

== Преглед ==

Комутативна алгебра је у суштини проучавање прстенова који се јављају у [[algebraic number theory|алгебарској теорији бројева]] и [[algebraic geometry|алгебарској геометрији]].

У алгебарској теорији бројева, прстенови [[algebraic integer|алгебарских целих бројева]] су [[Dedekind ring|Дедекиндови прстенови]], који стога чине важну класу комутативних прстенова. Разматрања везана за [[modular arithmetic|модуларну аритметику]] довела су до идеје прстена за [[valuation ring|процену вредности]]. Ограничење [[algebraic field extension|проширења алгебарског поља]] на подпрстенове довело је до појмова [[integral extension|интегралних екстензија]] и [[integrally closed domain|интегрално затворених домена]], као и до појма [[Ramification (mathematics)|гранања]] екстензије валуационих прстенова.

Појам [[localization of a ring|локализације прстена]] (посебно локализација у односу на [[prime ideal|примарни идеал]], локализација које се састоје у инвертовању једног елемента и [[total quotient ring|укупног количника прстена]]) је једна од главних разлика између комутативне алгебре и теорије некомутативних прстенова. То доводи до важне класе комутативних прстенова, [[local ring|локалних прстенова]] који имају само један [[maximal ideal|максимални идеал]]. Скуп примарних идеала комутативног прстена природно је опремљен [[topological space|топологијом]], топологијом [[Zariski topology|Зариски]]. Сви ови појмови се широко користе у алгебарској геометрији и основни су технички алати за дефинисање теорије шема, генерализације алгебарске геометрије коју је увео [[Grothendieck|Гротендик]].

Многи други појмови комутативне алгебре су пандани геометријских појмова који се јављају у алгебарској геометрији. Ово је случај [[Krull dimension|Крулове димензије]], [[primary decomposition|примарне декомпозиције]], [[regular ring|регуларних прстенова]], [[Cohen–Macaulay ring|Коен–Маколијевих прстенова]], [[Gorenstein ring|Горенштајнових прстенова]] и многих других појмова.

== Историја ==

Предмет, прво познат као [[ideal theory|теорија идеала]],<ref>{{Citation |last=Huneke| first=Craig | last2=Swanson | first2=Irena | author2-link=Irena Swanson | title=Integral closure of ideals, rings, and modules | url=http://people.reed.edu/~iswanson/book/index.html | publisher=[[Cambridge University Press]] | location=Cambridge, UK | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | isbn=978-0-521-68860-4 | mr=2266432 |year=2006| volume=336 | accessdate=23. 07. 2022 | archive-date=15. 11. 2019 | archive-url=https://web.archive.org/web/20191115053353/http://people.reed.edu/~iswanson/book/index.html | url-status=}}</ref> започет је радом [[Richard Dedekind|Ричарда Дедекинда]] о [[Ideal (ring theory)|идеалима]], који је и сам заснован на ранијим радовима [[Ernst Kummer|Ернста Кумера]] и [[Leopold Kronecker|Леополда Кронекера]]. Касније је [[David Hilbert|Дејвид Хилберт]] увео термин ''прстен'' да би генерализовао ранији термин ''бројни прстен''. Хилберт је увео апстрактнији приступ да замени конкретније и рачунарски оријентисане методе засноване на стварима као што су [[complex analysis|комплексна анализа]] и класична [[invariant theory|теорија инваријанта]].<ref>{{Citation | last=Dieudonné | first=Jean A. |author1-link = Jean A. Dieudonné| last2=Carrell | first2=James B. | title=Invariant theory, old and new | doi=10.1016/0001-8708(70)90015-0 |year=1970| journal=[[Advances in Mathematics]] | issn=0001-8708 | volume=4 | pages=1–80 | mr=0255525| doi-access=free }} Reprinted as {{Citation | last=Dieudonné | first=Jean A. | last2=Carrell | first2=James B. | title=Invariant theory, old and new | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | isbn=978-0-12-215540-6 | doi=10.1016/0001-8708(70)90015-0 |year=1971| mr=0279102 | journal=[[Advances in Mathematics]] | volume=4 | pages=1–80| doi-access=free}}</ref><ref>{{Citation | last=Dolgachev | first=Igor | title=Lectures on invariant theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | isbn=978-0-521-52548-0 | doi=10.1017/CBO9780511615436 |year=2003| volume=296 | mr=2004511}}</ref><ref>{{Citation | last=Grace|first= J. H.|last2= Young|first2= Alfred | title=The algebra of invariants | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press |year=1903|url=https://archive.org/details/algebraofinvaria00graciala}}</ref> Заузврат, Хилберт је снажно утицао на [[Emmy Noether|Еми Ноетер]], која је многе раније резултате преиначила у смислу [[ascending chain condition|стања узлазног ланца]],<ref>Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.6, Prop. 1.1.4.</ref><ref>Fraleigh & Katz (1967), p. 366, Lemma 7.1</ref><ref>{{harvnb|Jacobson|2009|p=142}} and 147</ref> сада познатог као Нетеров услов. Друга важна прекретница био је рад Хилбертовог ученика [[Emanuel Lasker|Емануела Ласкера]], који је увео примарне идеале и доказао прву верзију [[Lasker–Noether theorem|Ласкер-Нотерове теореме]].<ref>{{harvs|txt|authorlink=Grete Hermann|first=Grete |last=Hermann|year= 1926|pg=89}}</ref><ref>{{Cite book|editor1-last=Ciliberto|editor1-first=Ciro|editor2-last=Hirzebruch|editor2-first=Friedrich|editor3-last=Miranda|editor3-first=Rick|editor4-last=Teicher|editor4-first=Mina|editor4-link= Mina Teicher |title=Applications of Algebraic Geometry to Coding Theory, Physics and Computation|year=2001|publisher=Springer Netherlands|location=Dordrecht|isbn=978-94-010-1011-5|url=https://www.springer.com/us/book/9781402000041|language=en}}</ref><ref>{{cite journal|title=Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale|last=Hermann| first=G. |journal=Mathematische Annalen|volume=95|year=1926|url=https://eudml.org/doc/159153|language=de|doi=10.1007/BF01206635|pages=736-788}}</ref>

Главна фигура одговорна за рађање комутативне алгебре као зрелог субјекта био је [[Wolfgang Krull|Волфганг Крул]],<ref>{{Citation | last=Krull | first=Wolfgang | author1-link= Wolfgang Krull | title=Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III | journal=Math. Z. |year=1937| pages=745–766 | doi = 10.1007/BF01160110}}</ref><ref>{{Citation | last=Zariski | first=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | title=Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0 | journal=Amer. J. Math. |year=1940| volume=62 | pages=187–221 | doi=10.2307/2371447}}</ref><ref>{{Citation | last=Zariski | first=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | title=The concept of a simple point of an abstract algebraic variety | journal=Trans. Amer. Math. Soc. |year=1947| volume=62 | pages=1–52 | doi=10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1| doi-access=free}}</ref> који је увео основне појмове [[Localization of a ring|локализације]] и [[Completion (ring theory)|комплетирања]] прстена, као и [[regular local ring|регуларних локалних прстенова]]. Он је успоставио концепт [[Krull dimension|Крулове димензије]] прстена,{{sfn|Atiyah|Macdonald|1969|p=123|loc=Theorem 11.22}} прво за Нетерове прстенове пре него што је наставио да прошири своју теорију на опште [[valuation ring|вредновање прстенова]] и [[Krull ring|Крулове прстенове]]. До данас, [[Krull's principal ideal theorem|теорема Крулових главних идеала]] се широко сматра најважнијом темељном теоремом у комутативној алгебри. Ови резултати су утрли пут за увођење комутативне алгебре у алгебарску геометрију, идеја која би револуционирала овај други предмет.

Велики део савременог развоја комутативне алгебре ставља нагласак на [[module (mathematics)|модуле]]. Оба идеала ''R''-алгебре прстена и ''R''-алгебре су посебни случајеви ''R''-модула, тако да теорија модула обухвата и теорију идеала и теорију [[ring extensions|проширења прстена]]. Иако је већ био у зачетку у [[Leopold Kronecker|Кронекеровом]] раду, савремени приступ комутативној алгебри који користи теорију модула се обично приписује [[Wolfgang Krull|Крулу]] и [[Emmy Noether|Нотеру]].<ref>{{Citation| last=Krull | first=Wolfgang | title=Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen | journal=Mathematische Zeitschrift | volume=28 | issue=1 | doi=10.1007/BF01181179 | pages=481–503| year=1928}}</ref>

== Главни алати и резултати ==

=== Нетерови прстенови ===
{{Main|Нетерови прстенови}}

У [[mathematics|математици]], тачније у области [[Abstract algebra|модерне алгебре]] познате као [[Ring (mathematics)|теорија прстенова]], ''Нетеров прстен'', названи по [[Emmy Noether|Еми Нетер]], је прстен у којем сваки непразан скуп [[ideal (ring theory)|идеала]] има максимални елемент. Еквивалентно, прстен је Нетеров ако задовољава [[ascending chain condition|услов узлазног ланца]] на идеалима; то јест, с обзиром на било који ланац:<ref name=":0">{{harvnb|Lam|2001|pp=19}}</ref>
:<math>I_1\subseteq\cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq\cdots</math>

постоји ''n'' такво да:
:<math>I_{n}=I_{n+1}=\cdots</math>

Да би комутативни прстен био Нетеров, довољно је да је сваки примарни идеал прстена коначно генерисан. (Овај резултат је заслуга [[I. S. Cohen|И. С. Кохена]].)

Појам Нетеровог прстена је од фундаменталног значаја у комутативној и у некомутативној теорији прстена, због улоге коју има у поједностављивању идеалне структуре прстена. На пример, прстен [[integer|целих бројева]] и [[polynomial ring|полиномски прстен]] над [[Field (mathematics)|пољем]] су Нетерови прстенови, и према томе, такве теореме као што су [[Lasker–Noether theorem|Ласкер–Нетерова теорема]], [[Krull intersection theorem|Крулова теорема пресек]]а и [[Hilbert's basis theorem|Хилбертова теорема основе]] важе за њих. Штавише, ако је прстен Нетеров, онда он задовољава [[descending chain condition|услов опадајућег ланца]] на ''[[prime ideal|простим идеалима]]''. Ово својство сугерише дубоку теорију димензија за Нетерове прстенове почевши од појма [[Krull dimension|Крулове димензије]].

=== Хилбертова теорема основа ===
{{Main|Хилбертова теорема основа}}
{{math theorem|Ако је ''R'' леви (односно десни) [[Noetherian ring|Нетеров прстен]], онда је [[polynomial ring|полиномски прстен]] ''R''[''X''] такође леви (односно десни) Нетеров прстен.}}

Хилбертова теорема основа има неке непосредне последице:
* Индукцијом се може показати да је <math>R[X_0, \dotsc, X_{n-1}]</math> такође бити Нетеров.
* Пошто се било која [[affine variety|афина варијанта]] над <math>R^n</math> (тј. локусни скуп колекције полинома) може написати као локус идеала <math>\mathfrak a\subset R[X_0, \dotsc, X_{n-1}]</math> и даље као локус његових генератора, те следи да је свака афина варијанта локус коначног броја полинома – тј. пресек коначног броја [[hypersurface|хиперповршина]].
* Ако је <math>A</math> коначно генерисана <math>R</math>-алгебра, онда се зна да је <math>A \simeq R[X_0, \dotsc, X_{n-1}] / \mathfrak a</math>, где је <math>\mathfrak a</math> идеалан. Основна теорема имплицира да <math>\mathfrak a</math> мора бити коначно генерисано, рецимо <math>\mathfrak a = (p_0, \dotsc, p_{N-1})</math>, тј. <math>A</math> је [[Glossary of ring theory#Finitely presented algebra|коначно представљено]].

=== Примарна декомпозиција ===
{{Main|Примарна декомпозиција}}

За идеал ''Q'' прстена се каже да је ''[[Primary ideal|примаран]]'' ако је ''Q'' [[proper subset|прави]] и кад год је ''xy'' ∈ ''Q'', или ''x'' ∈ ''Q'' или ''y<sup>n</sup>'' ∈ ''Q'' за неки позитиван цео број ''n''. У '''Z''', примарни идеали су управо идеали облика (''p<sup>e</sup>'') где је ''p'' прост, а ''e'' позитиван цео број. Дакле, примарна декомпозиција (''n'') одговара репрезентацији (''n'') као пресека коначног броја примарних идеала.<ref>{{Citation| doi=10.2307/2372273| last=Curtis | first=Charles | title=On Additive Ideal Theory in General Rings | jstor=2372273 |year=1952| journal=American Journal of Mathematics | volume=74 | issue=3 | pages=687–700| publisher=The Johns Hopkins University Press}}</ref>

''[[Lasker–Noether theorem|Ласкер-Нетерова теорема]]'', овде дата, може се посматрати као извесна генерализација основне аритметичке теореме:<ref>{{Citation | last=Noether | first=Emmy | author1-link=Emmy Noether | title=Idealtheorie in Ringbereichen |year=1921| journal=[[Mathematische Annalen]] | volume=83 | issue=1 | doi=10.1007/BF01464225 | pages=24–66| url=https://zenodo.org/record/1428306}}</ref>

{{math theorem|name=Ласкер-Нетерова теорема
|math_statement= Нека је ''R'' комутативни Нетеров прстен и нека је ''I'' идеал ''R''. Тада се ''I'' може написати као пресек коначног броја примарних идеала са различитим [[Radical of an ideal|радикалима]]; стога је:
: <math>I=\bigcap_{i=1}^t Q_i</math>

са ''Q<sub>i</sub>'' примаран за свако ''i'' и Rad(''Q<sub>i</sub>'') ≠ Rad(''Q<sub>j</sub>'') за ''i'' ≠ ''j''. Штавише, ако је:
: <math>I=\bigcap_{i=1}^k P_i</math>

је декомпозиција ''I'' са Rad(''P<sub>i</sub>'') ≠ Rad(''P<sub>j</sub>'') за ''i'' ≠ ''j'', а обе декомпозиције ''I'' су ''иредундантне'' (што значи да нема одговарајућег подскупа било {''Q''<sub>1</sub>, ..., ''Q<sub>t</sub>''} или {''P''<sub>1</sub>, ..., ''P<sub>k</sub>''} који даје пресек једнак ''I''), ''t'' = ''k'' и (након евентуалног пренумерисања ''Q<sub>i</sub>'') Rad(''Q<sub>i</sub>'') = Rad(''P<sub>i</sub>'') за свако ''i''.}}

За било коју примарну декомпозицију ''I'', скуп свих радикала, односно скуп {Rad(''Q''<sub>1</sub>), ..., Rad(''Q<sub>t</sub>'')} остаје исти према Ласкер-Нотеровој теореми. У ствари, испоставља се да је (за Нетеров прстен) сет управо [[associated prime|придруживач]] модула ''R''/''I''; односно скуп свих [[annihilator (ring theory)|анихилатора]] ''R''/''I'' (гледаних као модул над ''R'') који су прости.

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book| ref=harv|editor1-last=Ciliberto|editor1-first=Ciro|editor2-last=Hirzebruch|editor2-first=Friedrich|editor3-last=Miranda|editor3-first=Rick|editor4-last=Teicher|editor4-first=Mina|editor4-link= Mina Teicher |title=Applications of Algebraic Geometry to Coding Theory, Physics and Computation|year=2001|publisher=Springer Netherlands|location=Dordrecht|isbn=978-94-010-1011-5|url=https://www.springer.com/us/book/9781402000041|language=en}}
* [[Michael Atiyah]] & [[Ian G. Macdonald]], ''[[Introduction to Commutative Algebra]]'', Massachusetts: Addison-Wesley Publishing, 1969.
* [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki, Nicolas]], ''Commutative algebra. Chapters 1--7''. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. {{page|year=|isbn=3-540-64239-0|pages=}}
* [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki, Nicolas]], ''Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9''. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. {{page|year=|isbn=978-3-540-33942-7|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv|last=Eisenbud|first=David|author-link=David Eisenbud| title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry | location=New York | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=150 |year=1995| mr=1322960 | isbn=0-387-94268-8 | no-pp=true |pages=xvi+785}}
* Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod. {{page|year=2001|isbn=2-10-005779-0|pages=}}
* Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhause{{page|year=|isbn=0-8176-3065-1|pages=1985, }}
* Matsumura, Hideyuki, ''Commutative algebra''. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. {{page|year=|isbn=0-8053-7026-9|pages=}}
* {{cite book|last=Matsumura|first=Hideyuki|title=Commutative Ring Theory|location=Second edition. Translated from the Japanese. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, UK |publisher=Cambridge University Press|year=1989|isbn=0-521-36764-6|pages=}}
* [[Masayoshi Nagata|Nagata, Masayoshi]], ''Local rings''. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers a division of John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 pp.
* Miles Reid, ''[[Undergraduate Commutative Algebra]] (London Mathematical Society Student Texts)'', Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
* [[Jean-Pierre Serre]], ''Local algebra''. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: ''Algèbre locale, multiplicités'') Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. {{ISBN|3-540-66641-9}} 
* Sharp, R. Y., ''Steps in commutative algebra''. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. {{ISBN|0-521-64623-5}} 
* [[Oscar Zariski|Zariski, Oscar]]; [[Pierre Samuel|Samuel, Pierre]], ''Commutative algebra''. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.
* {{citation  | last = Anderson | first = Frank W. |author2=Fuller, Kent R.  |title=Rings and categories of modules   |series=[[Graduate Texts in Mathematics]]   |volume=13   |edition=2   |publisher=Springer-Verlag  |place=New York   |year=1992|pages=x+376   |isbn=0-387-97845-3  |mr=1245487 |doi=10.1007/978-1-4612-4418-9}}
* [[Nicolas Bourbaki]], Commutative algebra
* {{cite journal|last1    = Formanek| first= Edward
| author1-link=Edward W. Formanek|last2 =  Jategaonkar| first2 = Arun Vinayak
| date      = 1974
| title     = Subrings of Noetherian rings
| url       = https://www.ams.org/journals/proc/1974-046-02/S0002-9939-1974-0414625-5/home.html
| journal   = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
| volume    = 46
| issue     = 2
| pages     = 181–186
| doi       = 10.2307/2039890
| doi-access= free
}}
* {{Citation|last=Hotta|first=Ryoshi|last2=Takeuchi|first2=Kiyoshi|last3=Tanisaki|first3=Toshiyuki|title=D-modules, perverse sheaves, and representation theory|series=Progress in Mathematics|volume=236|publisher=Birkhäuser|year=2008|isbn=978-0-8176-4363-8|mr=2357361|doi=10.1007/978-0-8176-4523-6|
zbl=1292.00026}}
* {{Cite book| ref=harv|title = A first course in noncommutative rings|last = Lam|first = Tsit Yuen|author-link=Tsit Yuen Lam|publisher = Springer|year = 2001|isbn = 0387951830|location = New York|pages = 19|edition=2nd|series= Graduate Texts in Mathematics|volume= 131|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|mr=1838439 }}
* Chapter X of {{Lang Algebra|edition=3}}
* {{Citation | last=Matsumura | first=Hideyuki | title=Commutative Ring Theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | edition=2nd | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-36764-6 | year=1989}}
* {{Citation |last=Hochster| first=Melvin | title=Homological conjectures, old and new | journal=Illinois J. Math. | volume=51 | issue=1 |year=2007| pages=151–169 | doi=10.1215/ijm/1258735330| doi-access=free }}
* {{Citation | doi=10.2307/1969205 | last=Jacobson | first=Nathan | author1-link=Nathan Jacobson | title=Structure theory of algebraic algebras of bounded degree |year=1945| journal=[[Annals of Mathematics]] | issn=0003-486X | volume=46 | issue=4 | pages=695–707 | jstor=1969205}}
* {{Citation | last=Lyubeznik |first=Gennady | chapter=A survey of problems and results on the number of defining equations | title=Representations, resolutions and intertwining numbers | pages=375–390 |year=1989| zbl=0753.14001}}
* {{Citation | last=Pinter-Lucke | first=James | title=Commutativity conditions for rings: 1950–2005 | doi=10.1016/j.exmath.2006.07.001 |year=2007| journal=Expositiones Mathematicae | issn=0723-0869 | volume=25 | issue=2 | pages=165–174| doi-access=free }}
* {{Citation | last=Atiyah | first=Michael | author1-link=Michael Atiyah | last2=Macdonald | first2=I. G. | author2-link=Ian G. Macdonald | title=Introduction to commutative algebra | publisher=Addison-Wesley Publishing Co. | year=1969 }}
* {{Citation | last=Balcerzyk | first=Stanisław | last2=Józefiak | first2=Tadeusz | title=Commutative Noetherian and Krull rings | publisher=Ellis Horwood Ltd. | location=Chichester | series=Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications | isbn=978-0-13-155615-7 | year=1989}}
* {{Citation | last=Balcerzyk | first=Stanisław | last2=Józefiak | first2=Tadeusz | title=Dimension, multiplicity and homological methods | publisher=Ellis Horwood Ltd. | location=Chichester | series=Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications.  | isbn=978-0-13-155623-2 | year=1989}}
* {{Citation | last=Kaplansky | first=Irving | author1-link=Irving Kaplansky | title=Commutative rings | publisher=[[University of Chicago Press]] | edition=Revised | mr=0345945 | year=1974}}
* {{Citation | last=Nagata | first=Masayoshi | author1-link=Masayoshi Nagata | title=Local rings | publisher=Interscience Publishers  | series=Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics | isbn=978-0-88275-228-0 |year=1975| mr=0155856 | orig-year=1962 | volume=13 | pages=xiii+234}}
* {{Citation | last=Zariski | first=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | last2=Samuel | first2=Pierre | author2-link=Pierre Samuel | title=Commutative Algebra I, II | publisher= D. van Nostrand, Inc. | location=Princeton, N.J. | series=University series in Higher Mathematics | year=1958–60}} ''(Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)''
* {{Citation | last=Eisenbud | first=David | author1-link= David Eisenbud | title=Commutative algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94268-1|mr=1322960 |year=1995| volume=150 | doi=10.1007/978-1-4612-5350-1}}, esp. section 3.3.
*{{citation|title=Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale|first=Grete |last=Hermann|url=https://eudml.org/doc/159153
|language=de
|journal=Mathematische Annalen
|volume =95|year= 1926|doi=10.1007/BF01206635
|pages=736–788}}. English translation in Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
*{{citation| first=E. |last=Lasker|title=Zur Theorie der Moduln und Ideale|journal=  Math. Ann. |volume=60  |year=1905|pages= 19–116|doi=10.1007/BF01447495|url=https://zenodo.org/record/2052447}}
*{{springer|id=P/p074450|first=V.T.|last= Markov|title=Primary decomposition}}

{{Литература крај}}

{{Области математике}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Комутативна алгебра|*]]