Изворни код странице Квадрат

{{друго значење3|Квадрат (алгебра)}}
[[Датотека:Square-marked.svg|220п|мини|десно|Квадрат]]
[[Датотека:Opisani i upisani krug.svg|мини|десно|220п|Полупречник описаног и уписаног круга код квадрата]]

'''Квадрат''' је [[математика|математички]] појам присутан у [[геометрија|геометрији]] и [[алгебра|алгебри]]. У геометрији је то геометријска фигура у равни састављена од једнаке четири странице и угла. Он је правилан [[четвороугао]], [[паралелограм]].<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Square.html|title=Square| last = Weisstein| first = Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date = 12. 12. 2017.}}</ref> [[Теме]]на се означавају великим словима '''A''', '''B''', '''C''', '''D''', страница малим словом ''а'', [[дијагонала]] малим словом ''d''. То је једини [[regular polygon|правилан многоугао]] чији су [[Internal and external angle|унутрашњи]] угао, [[central angle#Central angle of a regular polygon|централни]] угао и [[Internal and external angle|спољашњи]] угао једнаки (90°), а чије су [[дијагонала|дијагонале]] једнаке по дужини.<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Square|url=https://mathworld.wolfram.com/Square.html|access-date=2020-09-02 |website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref>

== Особине квадрата ==

Особине квадрата су:<ref>{{cite book|author=Zalman Usiskin and Jennifer Griffin|title=The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition|location=|publisher=Information Age Publishing|year=2008|isbn=978-1-59311-695-8|pages=59}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/MATH7200/ProblemSet1.3.html|title=Problem Set 1.3|website=jwilson.coe.uga.edu|access-date = 12. 12. 2017.}}</ref>
* све странице су једнаке
* сви [[угао|углови]] су прави
* дијагонале су једнаке, полове се и секу под [[угао#Врсте углова|правим углом]]
* дужина дијагонале је <math>d = a \sqrt {2}</math>
* [[обим]] квадрата је <math>O = 4 \cdot a</math>
* [[површина]] квадрата је <math>P = a^2 = \frac {d^2} {2}</math>
* полупречник уписаног [[круг]]а је <math>r = \frac {a} {2}</math>, а полупречник описаног је <math>R =\frac {\ {d}} {2}  </math>

=== Обим и површина ===
[[Image:Five Squared.svg|150px|right|thumb|Површина квадрата је производ дужине његових страница.]]

Обим квадрата чије четири странице имају дужину <math>\ell </math> је
: <math>P=4\ell </math>

а [[површина]] ''A'' је
: <math>A=\ell^2.</math><ref name=":0" />

Пошто је четири на квадрат једнако шеснаест, квадрат четири са четири има површину једнаку његовом периметру. Једини други четвороугао са таквим својством је правоугаоник три са шест.

У [[антика|класично доба]], други степен је описан у смислу површине квадрата, као у горњој формули. То је довело до употребе термина ''[[квадрат (алгебра)|квадрат]]'' да значи подизање на други степен.

Површина се такође може израчунати коришћењем дијагонале 'd'' према
: <math>A=\frac{d^2}{2}.</math>

У смислу [[Opisan krug|полупречника]] круга ''R'', површина квадрата је
: <math>A=2R^2;</math>

пошто је површина круга <math>\pi R^2,</math> квадрат испуњава <math>2/\pi \approx 0.6366</math> његовог [[opisan krug|описаног круга]].<ref>{{cite journal|first=N.|last=Megiddo|title=Linear-time algorithms for linear programming in '''R'''<sup>3</sup> and related problems|journal=SIAM Journal on Computing|volume=12|issue=4|pages=759–776|year=1983|doi=10.1137/0212052|s2cid=14467740}}</ref>

У смислу [[opisana, upisana i spolja pripisana kružnica|радијуса]] ''r'', површина квадрата је
: <math>A=4r^2;</math>

стога је површина [[opisana, upisana i spolja pripisana kružnica|уписаног круга]] <math> \pi/4 \approx 0.7854</math> површине квадрата.

Пошто је то [[regular polygon|правилан многоугао]], квадрат је четвороугао најмањег периметра који обухвата дату област. Двоструко, квадрат је четвороугао који садржи највећу површину унутар датог периметра.<ref>Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.</ref> Заиста, ако су ''A'' и ''P'' површина и обим затворени четвороуглом, онда важи следећа [[изопериметријски проблем|изопериметријска неједнакост]]:<ref>{{cite journal|last=Blåsjö|first=Viktor|title=The Evolution of the Isoperimetric Problem|journal=Amer. Math. Monthly|volume=112|issue=6|year=2005|pages=526–566|doi=10.2307/30037526|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/the-evolution-of-the-isoperimetric-problem|jstor=30037526}}</ref>
: <math>16A\le P^2</math>
са једнакошћу ако и само ако је четвороугао квадрат.

=== Друге чињенице ===

* Дијагонале квадрата су <math>\sqrt{2}</math> (око 1,414) пута дужине странице квадрата. Ова вредност, позната као [[квадратни корен из 2|квадратни корен од 2]] или Питагорина константа,<ref name=":0" /> била је први број за који је доказано да је [[ирационалан број|ирационалан]].
* Квадрат се такође може дефинисати као [[паралелограм]] са једнаким дијагоналама које деле углове.
* Ако је фигура правоугаоник (прави углови) и ромб (једнаке дужине ивица), онда је она квадрат.
* Квадрат има већу површину од било ког другог четвороугла са истим обимом.<ref>{{Cite web|url=http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html|title=Vagn Lundsgaard Hansen|last=1999|first=Martin Lundsgaard Hansen, thats IT (c)|website=www2.mat.dtu.dk|access-date=2017-12-12}}</ref>
* [[square tiling|Квадратна плочица]] је једна од три [[Tiling by regular polygons|правилне плочице]] на равни (остале су [[једнакостранични троугао]] и [[шестоугао|правилан шестоугао]]).
* Квадрат је у две породице политопа у две димензије: [[hypercube|хиперкоцка]] и [[cross-polytope|укрштени политоп]]. [[Schläfli symbol|Шлафлијев симбол]] за квадрат је&nbsp;{4}.
* Квадрат је веома симетричан објекат. Постоје четири линије [[Reflection symmetry|рефлексијске симетрије]] и има [[rotational symmetry|ротациону симетрију]] реда 4 (кроз 90°, 180° и 270°). Његова [[група симетрије]] је [[dihedral group|диедрална група]] &nbsp;D<sub>4</sub>.
* Квадрат се може [[Inscribed figure|уписати]] у било који правилан многоугао. Једини други полигон са овим својством је [[једнакостранични троугао]].
* Ако уписани круг квадрата ''ABCD'' има додирне тачке ''E'' на ''AB'', ''F'' на ''BC'', ''G'' на ''CD'', и ''H'' на ''DA'', онда за било коју тачку ''P'' на уписаној кружници важи,<ref>{{Cite web|url=http://gogeometry.com/problem/p331_square_inscribed_circle.htm|title=Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS.|website=gogeometry.com|access-date=2017-12-12}}</ref>
::<math> 2(PH^2-PE^2) = PD^2-PB^2.</math>
* Ако је <math>d_i</math> растојање од произвољне тачке у равни до ''i''-тог темена квадрата и <math>R</math> је [[opisan krug|полупречник]] круга квадрата, онда је<ref>Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", [[Forum Geometricorum]] 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf {{Wayback|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf |date=20201106015327 }}</ref>
:: <math>\frac{d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4}{4} + 3R^4 = \left(\frac{d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}{4} + R^2\right)^2.</math>
* Ако су <math>L</math> и <math>d_i</math> растојања од произвољне тачке у равни до средишта квадрата и његова четири темена респективно, онда је<ref name=Mamuka >{{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2020|title=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids |journal= Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|doi= |arxiv= 2010.12340|url= https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065}}</ref>
::<math>d_1^2 + d_3^2 = d_2^2 + d_4^2 = 2(R^2+L^2)</math>
: и
::<math> d_1^2d_3^2 + d_2^2d_4^2 = 2(R^4+L^4), </math>
: где је <math>R</math> полупречник круга квадрата.

== Координате и једначине ==
[[File:Square equation plot.svg|thumb|right|<math>|x| + |y| = 2</math> приказано на ''[[декартов правоугли координатни систем|картезијанским координатама]]''.]]

Координате за [[Vertex (geometry)|темена]] квадрата са вертикалним и хоризонталним страницама, са центром у координатном почетку и са дужином странице 2 су (±1,&nbsp;±1), док унутрашњост овог квадрата чине све тачке (''x''<sub>i</sub>, ''y''<sub>i</sub>) са {{nowrap|−1 < ''x''<sub>''i''</sub> < 1}} и {{nowrap|−1 < ''y''<sub>''i''</sub> < 1}}. Једначина
:<math>\max(x^2, y^2) = 1</math>

одређује границу овог квадрата. Ова једначина значи „''x''<sup>2</sup> или ''y''<sup>2</sup>, које год је веће, једнако је 1.” [[Opisan krug|Полупречник]] круга овог квадрата (полупречник круга повучен кроз врхове квадрата) је половина дијагонале квадрата и једнак је <math>\sqrt{2}.</math> Тада [[opisan krug|описани круг]] има једначину
:<math>x^2 + y^2 = 2.</math>

Алтернативно, једначина
:<math>\left|x - a\right| + \left|y - b\right| = r.</math>

такође се може користити за описивање границе квадрата са [[Координате|координатама]] центра (''a'', ''b''), и хоризонталним или вертикалним полупречником ''r''. Квадрат је стога облик [[лопта (геометријско тело)|тополошке лопте]] према [[Taxicab_geometry|L<sub>1</sub>]] метрици удаљености.

== Види још ==
* [[Правоугаоник]]
* [[Ромб]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{citation|last=Martin|first=George Edward|doi=10.1007/978-1-4612-5680-9|isbn=0-387-90636-3|mr=718119|at=Theorem 12.1, page 120|publisher=Springer-Verlag|series=Undergraduate Texts in Mathematics|title=Transformation geometry|url=https://books.google.com/books?id=gevlBwAAQBAJ&pg=PA120|year=1982}} 
* {{Cite web|title=Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram|url=https://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html|access-date=2020-09-02|website=Mathsisfun.com}}
* {{Cite web|url=https://www.cuemath.com/geometry/sum-of-angles-in-a-polygon/|title=Sum of Angles in a Polygon|website=Cuemath|access-date=22 June 2022}}
* {{cite journal |first1=G. |last1=Keady |first2=P. |last2=Scales |first3=S. Z. |last3=Németh |title=Watt Linkages and Quadrilaterals |journal=[[The Mathematical Gazette]] |volume=88 |issue=513 |year=2004 |pages=475–492 |doi=10.1017/S0025557200176107 |s2cid=125102050 |url=http://www.m-a.org.uk/jsp/index.jsp?lnk=620 }}
* {{cite journal |first=A. K. |last=Jobbings |title=Quadric Quadrilaterals |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1997-07_81_491/page/220 |journal=The Mathematical Gazette |volume=81 |issue=491 |year=1997 |pages=220–224 |doi=10.2307/3619199 |jstor=3619199 }}
* {{cite journal |first=R. A. |last=Beauregard |title=Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides |url=https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2009-01_40_1/page/17 |journal=College Mathematics Journal |volume=40 |issue=1 |year=2009 |pages=17–21 |doi=10.1080/07468342.2009.11922331 |s2cid=122206817 }}
* {{cite book |first=R. |last=Hartshorne |title=Geometry: Euclid and Beyond |publisher=Springer |year=2005 |pages=429–430 |isbn=978-1-4419-3145-0 }}
* {{citation | last = Josefsson | first = Martin | journal = Forum Geometricorum | pages = 17–21 | title = Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf | volume = 13 | year = 2013 | accessdate = 17. 07. 2022 | archive-date = 24. 03. 2024 | archive-url = https://web.archive.org/web/20240324101323/http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf | url-status =  }}
* {{citation | last = Josefsson | first = Martin | journal = Forum Geometricorum | pages = 13–25 | title = Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf | volume = 12 | year = 2012 | accessdate = 17. 07. 2022 | archive-date = 05. 12. 2020 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201205213638/http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf | url-status =  }}
* {{cite journal|author1=Leonard Mihai Giugiuc|author2=Dao Thanh Oai|author3=Kadir Altintas|title=An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral|journal=International Journal of Geometry|volume=7|date=2018|pages=81–86|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2018/04/81-86.pdf|format=PDF}}
* {{cite journal |last=Josefsson |first=Martin |title=Properties of equidiagonal quadrilaterals |journal=Forum Geometricorum |volume=14 |year=2014 |pages=129–144 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html |access-date=17. 07. 2022 |archive-date=05. 06. 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240605032351/https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html |url-status= }}
* {{cite web|url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|format=PDF|title=Inequalities proposed in ''Crux Mathematicorum'' (from vol. 1, no. 1 to vol. 4, no. 2 known as "Eureka")|website=Imomath.com|access-date=1. 3. 2022.}}
* {{cite book |last1=Alsina |first1=Claudi |last2=Nelsen |first2=Roger |title=Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics |url=https://archive.org/details/charmingproofsjo0000alsi |publisher=Mathematical Association of America |year=2010 |pages=[https://archive.org/details/charmingproofsjo0000alsi/page/114 114], 119, 120, 261 |isbn=978-0-88385-348-1 }}
* {{cite web|url=https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2010/May10/TechPaperMiller.pdf|format=PDF|title=Centroid of a quadrilateral|author=John Boris Miller|website=Austmd.org.au|access-date=1. 3. 2022.|archive-date=17. 07. 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220717213118/https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2010/May10/TechPaperMiller.pdf|url-status=}}<
* {{Cite book|title=Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads|last=Chen|first=Evan|publisher=Mathematical Association of America|year=2016|isbn=9780883858394|location=Washington, D.C. }}
* {{citation | last = David | first = Fraivert | journal = [[The Mathematical Gazette]] | pages = | title = Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral | volume = 103 | year = 2019| issue = 557 | doi = 10.1017/mag.2019.54  }}
* {{citation | last = David | first = Fraivert | journal = Journal for Geometry and Graphics | pages = | title = A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles | url = http://www.heldermann.de/JGG/JGG23/JGG231/jgg23002.htm | volume = 23 | year = 2019}}
* {{citation | last = David | first = Fraivert | journal = [[Forum Geometricorum]] | pages = 509–526 | title = Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf | volume = 17 | year = 2017 | accessdate = 17. 07. 2022 | archive-date = 05. 12. 2020 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201205215507/http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf | url-status =  }}
* {{cite journal|last=Josefsson|first=Martin|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201305.pdf|format=PDF|title=Characterizations of Trapezoids|journal=Forum Geometricorum|volume=13|date=2013|pages=23–35|access-date=17. 07. 2022|archive-date=16. 06. 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20130616225118/http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201305.pdf|url-status=}}
* {{cite journal |first1=M. P. |last1=Barnett |first2=J. F. |last2=Capitani |title=Modular chemical geometry and symbolic calculation |journal=International Journal of Quantum Chemistry |volume=106 |issue=1 |pages=215–227 |year=2006 |doi=10.1002/qua.20807 |bibcode=2006IJQC..106..215B }}
* {{cite journal |last=Hamilton |first=William Rowan |url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Gauche/Gauche1.pdf |title=On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis Respecting the Inscription of "Gauche" Polygons in Surfaces of the Second Order |journal=Proceedings of the Royal Irish Academy |volume=4 |year=1850 |pages=380–387 }}
* {{cite journal |first1=Alexander |last1=Borisov |first2=Mark |last2=Dickinson |first3=Stuart |last3=Hastings |title=A Congruence Problem for Polyhedra |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2010-03_117_3/page/232 |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=117 |date=March 2010 |issue=3 |pages=232–249 |doi=10.4169/000298910X480081 |arxiv=0811.4197 |s2cid=8166476 }}
* {{cite web |first=Alexa |last=Creech |title=A Congruence Problem |url=http://146.163.152.131/teaching/projects/creech_final.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20131111162553/http://146.163.152.131/teaching/projects/creech_final.pdf |archive-date=11. 11. 2013. }}
* {{cite book |author=[[Franco P. Preparata]] |author2= [[Michael Ian Shamos]] | title = Computational Geometry – An Introduction |url=https://archive.org/details/computationalgeo0000prep | publisher = [[Springer-Verlag]]| year = 1985 | isbn = 0-387-96131-3 | id = 1st edition: ; 2nd printing, corrected and expanded, 1988}}
* {{cite book|last=Whitworth|first=William Allen|title=Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions|publisher=Deighton, Bell, and Co.|year=1866|page=[https://archive.org/details/trilinearcoordin00whituoft/page/n241/mode/2up 199]|url=https://archive.org/details/trilinearcoordin00whituoft}}
* {{Cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | year=1973 | title=Regular Polytopes | publisher=Dover | place=New York | edition=3rd | title-link=Regular Polytopes (book) }}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Други пројекти
| commons     = Squares (geometry)
| wikispecies = 
| wiktionary  = Квадрат
| wikiversity = 
| wikibooks   = 
| wikisource  = 
| wikiquote   = 
| wikinews    = 
}}
* -{[http://www.elsy.at/kurse/index.php?kurs=Rectangle+and+Square&status=public Animated course (Construction, Circumference, Area)]}-
* {{mathworld | urlname = Square | title = Square}}
* -{[http://www.mathopenref.com/square.html Definition and properties of a square] With interactive applet}-
* -{[http://www.mathopenref.com/squarearea.html Animated applet illustrating the area of a square]}-

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Четвороуглови]]
[[Категорија:Алгебра]]
[[Категорија:Елементарни облици]]