Изворни код странице Златни пресек

[[Датотека:Golden ratio line2.svg|мини|250px|<math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}</math>]]
[[Датотека:SimilarGoldenRectangles.svg|мини|250px|[[Златни правоугаоник]]<ref>{{Cite book|last=Posamentier|first=Alfred S.|authorlink1=Alfred S. Posamentier|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=The Glorious Golden Ratio|url=https://books.google.com/books?id=Gw-lqvE6fNgC|year=2011|publisher=[[Prometheus Books]]|isbn=9-781-61614-424-1|page=[https://books.google.com/books?id=Gw-lqvE6fNgC&pg=PT11 11]}}</ref> (у ружичастом) са дужом страном <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> и краћом страном side <span style="color:red;">'''''b'''''</span>, када је постављен поред квадрата дужине <span style="color:blue;">'''''a'''''</span>, произвешће геометријску сличност златног правоугаоника са дужом страном <span style="color:green;">'''''a + b'''''</span> и краћом страном <span style="color:blue;">'''''a'''''</span>. Ово илуструје однос <math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi</math>.]]

У [[математика|математици]] две величине су у '''златном''' односу, ако је однос између две величине једнак односу суме те две вредности наспрам веће вредности. Слика на десној страни илуструје геометријски однос. Алгебарски, за количине ''a'' и ''b'' и ''a''&nbsp;>&nbsp;''b''&nbsp;>&nbsp;0,

:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \varphi,</math>
грчко слово [[Фи (слово)|фи]] (<math>\varphi</math> или <math>\phi</math>) представља константу. Њена вредност је:

:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.6180339887\ldots.</math> {{OEIS2C|id=A001622}}<!-- МОЛИМ - НЕМОЈТЕ ДОДАВАТИ ДОДАТНЕ ЦИФРЕ!-->

Златни однос има и назив '''златни пресек''' (латински: ''sectio aurea'').<ref name="livio">{{Cite book|last = Livio|first=Mario|year=2002|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number|publisher=Broadway Books|location=New York|isbn=978-0-7679-0815-3|url=https://books.google.com/books?id=w9dmPwAACAAJ}}</ref><ref name="dunlap">Richard A Dunlap, ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers'', World Scientific Publishing, 1997</ref>. Остали називи укључују '''крајња и средња размера'''<ref name="Elements 6.3">Euclid, ''[http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic/ Elementi]'', Knjiga 6, Definicija 3.</ref>, '''екстремни однос''', '''средишњи пресек''', '''златна пропорција''', и '''златни број'''.<ref>Jay Hambidge, ''Dynamic Symmetry: The Greek Vase'', New Haven CT: Yale University Press, 1920</ref><ref>William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, ''Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference'', Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003</ref><ref name = "Pacioli">Pacioli, Luca. ''[[De divina proportione]]'', Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.</ref> ''' Sectio divina''' ''лат.'' (''изговор:'' секцио дивина). Божанствени пресјек.<ref name="Мљечаница">Вујаклија М, Лексикон страних речи и израза, Просвета, Београд, 1954. г.</ref> Овај однос дужи примјењен на предметима, сликама итд. изазива посебан естетски доживљај – допадање, па отуда и назив „Божански пресјек“.<ref name=" Мљечаница " />

Златни однос се појављује у неким шаблонима у природи, укључујући phyllotaxis (спирално ређање листова) и у другим деловима биљака.

[[Математичар]]и још од [[Еуклид]]а су проучавали својства златног односа, укључујући појављивање у димензијама правилног [[петоугао|петоугла]] и у златном правоугаонику, који може да се подели у [[квадрат]] и још један правоугаоник истог односа.

== Историја ==
Теорија златног пресека започета је у антици, а свој процват имала је у ренесанси када су уметници, математичари, физичари и астролози тражили савршенство у композицијама познатих структура.

Херодот (484. - 424. п. н. е.) је записао: „Један египатски свештеник говорећи о облику Кеопсове пирамиде споменуо ми је да је квадрат над њеном висином једнак површини бочног троугла.”
[[Датотека:Mathematical Pyramid.svg|десно|мини|250px|Математичка пирамида]]

<math>v= 	\frac{a}{2}\sqrt{\varphi}</math>

<math>b= 	\frac{a}{2}\sqrt{\varphi +2}</math>

<math>\alpha =\operatorname{arctg}\sqrt{\varphi}</math>

<math>\beta =\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{\varphi}{2}}</math>

Грчки кипар Фидије у -{V}- веку п. н. е. применио је златни пресек у дизајну својих скулптура и градњи Партенона. Платон (грчки филозоф, -{V}- i -{IV}- век пне) у „Тимотеју” описује пет правилних геометријских тела као основу хармоничне структуре света. Златни пресек игра кључну улогу у димензијама и обликовању неких од ових тела. Питагорејци (око 500. године п. н. е.) долазе до једног од најважнијих открића у математици: дијагонала и страница квадрата (правилног петоугла) су несамерљиве.
[[Датотека:Pentagono con triangolo aureo.svg|desno|мини|250px|Златни троугао унутар златног троугла]]
<math>\frac{d}{a_5}= \varphi</math>

Грчки математичар [[Еуклид]] први је овај број уочио и математички изразио. Око 300 година п. н. е. написао је књигу „[[Еуклидови Елементи|Елементи]]” у којој наводи прву забележену дефиницију златног пресека.

Дата дужина се може поделити тако да правоугаоник обухваћен целом дужином и једним одсечком, буде једнак квадрату на другом одсечку.

<math>a(a-x)=x^2</math>

<math>x^2+ax-a^2=0</math>

<math>x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}a</math>

Сва знања старих Грка објединио је римски архитекта [[Марко Витрувије]] у делу -{''De architectura libri decem''}- или ''Десет књига о архитектури'', посвећеном императору Августу. Писао је о симетрији храмова, а њихове пропорције упоређује с размерама човечијег тела. Витрувије је уцртао људско тело у кружницу, што је касније поново интерпретирао [[Леонардо Да Винчи]]. [[Luca Pacioli|Лука Пачоли]] (1446–1510) штампао је у Венецији 1509. дело -{''De divina proportione''}-, које је имало велики утицај и након којег златни пресек доживљава праву ренесансу. У њему описује хармонијске особине „божанске размере”. Књигу је илустровао Леонардо да Винчи.

[[Martin Ohm|Мартин Ом]] је 1835. године у другом издању уџбеника -{''Die reine Elementar - Mathematik''}- (Чиста елементарна математика) први пут користи термин златни пресек. Ознаку <math>\varphi</math> је 1909. предложио амерички математичар Марк Бар у част славног старогрчког кипара Фидије (480–430. п. н. е.)

== Прорачун ==
{| class="wikitable" style="float:right" cellpadding=5
| colspan="2" align="center" | {{Ирационалан број|Ирационални бројеви}}
|-
|[[Бинарни систем|Бинарни]]
| 1.1001111000110111011...
|-
| [[Декадни систем|Декадни]]
| 1.6180339887498948482... {{OEIS2C|id=A001622}}
|-
| [[Хексадецимални систем|Хексадецимални]]
| 1.9E3779B97F4A7C15F39...
|-
| [[Верижни разломак]]
| <math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}</math>
|-
| [[Алгебарски број|Алгебарски облик]]
| <math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
|-
| [[Ред (математика)|Бесконачни ред]]
| <math>\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}</math><br />
|}

Две величине ''a'' и ''b'' су у ''златном односу'' ''φ'' ако

:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.</math>

Један метод за проналажење вредности φ је са решавањем леве стране. Упрошћавањем разломка и заменом у b/a = 1/φ,

:<math>\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}.</math>

Стога је,

:<math> 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi. </math>

Множењем са ''φ'' даје

:<math>\varphi + 1 = \varphi^2</math>

које може да се изрази као

:<math>{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.</math>

Коришћењем формуле за решавање [[квадратна једначина|квадратне једначине]], добијају се два решења:
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots</math>

и

:<math>\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.6180\,339887\dots</math>

Зато што је ''φ'' однос између две позитивне вредности, ''φ'' је увек позитивна вредност:

:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots</math>.

== Алгебра ==

=== Ирационалност ===
Златни однос је [[ирационалан број]]. Испод су два кратка доказа o ирационалности:

==== Контрадикција изразу у најнижој вредности ====
[[Датотека:Whirling squares.svg|мини|Да је φ [[рационалан број]], онда би био омер странама правоугаоника са целим странама (правоугаоник који обухвата цео дијаграм). Али би такође био и однос целобројних страна мањег правоугаоника (десни део дијаграма) добијен брисањем квадрата. Секвенца смањења целобројне вредности дужине странице формиране брисањем квадрата не може вечно трајати јер цели бројеви имају доње границе, стога φ не може бити рационалан.|344x344п]]

Подсетимо се да:

: целина је дужи део плус краћи део;
: целина је дужи део као што је дужи део на краћи део.

Ако целину именујемо са ''n'' а дужи део са ''m'', онда друга изјава постаје:

: ''n'' је према ''m'' исто као што је ''m'' према ''n''&nbsp;−&nbsp;''m'',

или, алгебарски

: <math> \frac nm = \frac{m}{n-m}.\qquad (*) </math>

Тврдити да је ''φ'' рационалан значи да је ''φ'' однос ''n''/''m'' где су ''n'' и ''m'' цели бројеви. Можемо рећи и да ''n''/''m'' имају најниже вредности и да су ''n'' и ''m'' позитивни бројеви. Али ако је разломак ''n''/''m'' у најнижим вредностима, онда се идентитет обележава са (*) за горњу једначину ''m''/(''n''&nbsp;−&nbsp;''m'') која и даље поседује најниже вредности. То је контрадикција која произлази из тврдње да је ''φ'' рационалан.

==== Извод из ирационалности броја √5 ====
Још један кратак доказ — вероватно познатији — где ирационалност златног односа користи [[затвореност (математика)|затвореност]] рационалних бројева код сабирања и множења. Ако је <math>\textstyle\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> рационалан, онда је и <math>\textstyle2\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) - 1= \sqrt{5}</math> такође рационалан, што је противречно чињеници да је квадратни корен од не-[[квадрат (алгебра)|квадрата]] [[природан број|природног броја]] ирационалан.

=== Најмањи полином ===
Златни однос је такође и [[алгебарски број]] а чак и алгебарски цео број (комплексан број који је корен унарног полинома). Најмањи полином гласи:

:<math>x^2 - x - 1</math>

Због члана са степеном 2, овај полином у ствари има два корена, и друга вредност је сродник златном односу.

=== Сродник златног пресека ===
Друга корена вредност најмањег полинома x<sup>2</sup> - x - 1 је

:<math>-\frac{1}{\varphi}=1-\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.61803\,39887\dots.</math>

Апсолутна вредност ове количине (≈ 0.618) одговара дужини односа у обрнутом смеру (дужина краће стране у односу на дужу страну, ''b/a''), понекад позната под именом ''сродник златног пресека''.<ref name="MathWorld GR Conjugate">{{MathWorld|title=Golden Ratio Conjugate|urlname=GoldenRatioConjugate}}</ref> Означава се великим словом фи ('''<math>\Phi</math>'''):

:<math>\Phi = {1 \over \varphi} = \varphi^{-1} = 0.61803\,39887\ldots.</math>

== Види још ==
* [[Златни правоугаоник]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book | ref = harv|last = Livio|first=Mario|year=2002|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number|publisher=Broadway Books|location=New York|isbn=978-0-7679-0815-3|url=https://books.google.com/books?id=w9dmPwAACAAJ}}
* {{Cite book | ref = harv | last = Livio | first = Mario | authorlink = Mario Livio | title = The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number | url = https://books.google.com/books?id=bUARfgWRH14C | origyear = 2002 | edition = First trade paperback | year = 2003 | publisher = [[Random House|Broadway Books]] | location = New York City | isbn = 978-0-7679-0816-0 }}
* {{Cite book | ref = harv | last = Stakhov | first = Alexey P. | authorlink1 = Alexey Stakhov | last2 = Olsen | first2 = Scott | title = The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science | url = https://books.google.com/books?id=K6fac9RxXREC | year = 2009 | publisher = [[World Scientific Publishing]] | location = Singapore | isbn = 978-981-277-582-5 }}
* {{Cite book | ref = harv | last = Doczi | first = György | title = The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture
| origyear = 1981 | year = 2005 | publisher = Shambhala Publications
| location = Boston
| isbn = 1-59030-259-1
}}
* {{Cite book | ref = harv | last = Huntley | first = H. E. | title = The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty
| url =https://archive.org/details/divineproportion0000hunt_o2w9| year = 1970 | publisher = Dover Publications
| location = New York
| isbn = 0-486-22254-3
}}
* {{Cite book | ref = harv | last = Joseph | first = George G. | title = The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics
| origyear = 1991
| url =https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose
| edition = New | year = 2000 | publisher = Princeton University Press
| location = Princeton, NJ
| isbn = 0-691-00659-8
}}
* {{Cite book | ref = harv | last = Sahlqvist | first = Leif | title = Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design
| edition = 3rd Rev. | year = 2008 | publisher = BookSurge
| location = Charleston, SC
| isbn = 1-4196-2157-2
}}
* {{Cite book | ref = harv | last = Schneider | first = Michael S. | title = A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science
| url =https://archive.org/details/beginnersguideto0000schn| year = 1994 | publisher = HarperCollins
| location = New York
| isbn = 0-06-016939-7
}}
* {{Cite book | ref = harv | last = Scimone | first = Aldo | title = La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica | year = 1997 | publisher = Sigma Edizioni
| location = Palermo
| isbn = 978-88-7231-025-0
}}
* {{Cite book | ref = harv | last = Walser | first = Hans
| others = Peter Hilton trans. | title = The Golden Section
| origyear = ''Der Goldene Schnitt'' 1993
| url =https://archive.org/details/goldensection0000wals_w8v9| year = 2001 | publisher = The Mathematical Association of America
| location = Washington, DC
| isbn = 0-88385-534-8
}}
* {{Cite book| ref = harv | last=Olsen|first=Scott|title=The Golden Section: Nature's Greatest Secret|year=2006|publisher=Wooden Books|location=Glastonbury|isbn=978-1-904263-47-0|page=[https://books.google.com/books?id=RxFdDwAAQBAJ&lpg=PP3&pg=PA3 3]}}
* Van Mersbergen, Audrey M., ''Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic'', ''Communication Quarterly'', Vol. 46, 1998 ("a 'Golden Rectangle' has a ratio of the length of its sides equal to 1:1.61803+. The Parthenon is of these dimensions.")
* {{cite web |last=Livio |first=Mario |authorlink=Mario Livio |url=https://www.math.ksu.edu/~cjbalm/Quest/Breakouts/GR.pdf |title=The Golden Ratio in Art: Drawing heavily from The Golden Ratio |accessdate=11. 9. 2019 |p=6 |archive-date=05. 11. 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191105021058/https://www.math.ksu.edu/~cjbalm/Quest/Breakouts/GR.pdf |url-status= }}
* Le Corbusier, ''The Modulor'', p. 35, as cited in Padovan, Richard, ''Proportion: Science, Philosophy, Architecture'' (1999), p. 320. Taylor & Francis. {{page|year=|isbn=978-0-419-22780-9|pages=}}: "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section".
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commons category|Golden ratio}}
* {{springer|title=Golden ratio|id=p/g044570}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ "Golden Section"] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* [http://photoinf.com/Golden_Mean/Eugene_Ilchenko/GoldenSection.html Golden Section in Photography: Golden Ratio, Golden Triangles, Golden Spiral]
* {{MathWorld|title=Golden Ratio|urlname=GoldenRatio}}
* {{cite web|url=http://www.physorg.com/news180531747.html |title=Researcher explains mystery of golden ratio |work=[[PhysOrg]] |date=21. 12. 2009}}.
* {{cite web | url = http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/phi.html| title = The Golden section ratio: Phi| last = Knott| first = Ron| date = }} Information and activities by a mathematics professor.
* [https://web.archive.org/web/20071105084747/http://www.contracosta.cc.ca.us/math/pentagrm.htm The Pentagram & The Golden Ratio]. Green, Thomas M. Updated June 2005. Archived November 2007. Geometry instruction with problems to solve.
* {{cite arXiv |first=Robert P. |last=Schneider |eprint=1109.3216 |title=A Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers |class=math.HO |year=2011}} Proves formulas that involve the golden mean and the [[Euler totient]] and [[Möbius function]]s.
* [http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_05_07.html The Myth That Will Not Go Away] {{Wayback|url=http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_05_07.html |date=20201112034625 }}, by [[Keith Devlin]], addressing multiple allegations about the use of the golden ratio in culture.

{{Алгебарски бројеви}}
{{Ирационалан број}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Златни пресек| ]]
[[Категорија:Константе]]
[[Категорија:Теорија визуелне уметности]]