Изворни код странице Елементарна алгебра

{{Image frame|align=right|width=200|caption=[[Квадратна формула]], која је решење [[quadratic equation|квадратне једначине]] <math>ax^2+bx+c=0</math> где је <math>a\neq0</math>. Овде симболи {{mvar|a,b,c}} представљају произвољне бројеве, а {{mvar|x}} је променљива која представља решење једначине.|content=<math>\overset{}{\underset{}{ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a} } }</math>}}
[[File:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|200px|Дводимензионални график (црвена крива) алгебарске једначине <math>y = x^2 - x - 2</math>]]

'''Елементарна алгебра''' је основна [[алгебра]] коју изучавају ученици са мало или нимало формалног знања из области [[математика|математике]] изузев [[аритметика|аритметике]].<ref>[[Herbert Ellsworth Slaught|H.E. Slaught]] and N.J. Lennes, ''Elementary algebra'', Publ. Allyn and Bacon, 1915, [https://books.google.com/books?id=gLii_eO4dNsC&lpg=PA1&dq=%22Elementary%20algebra%22%20letters&pg=PA1#v=onepage&q&f=false page 1] (republished by Forgotten Books)</ref><ref>Lewis Hirsch, Arthur Goodman, ''Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students'', Publisher: Cengage Learning, 2005, {{ISBN|9780534999728}}, 654 pages, [https://books.google.com/books?id=7hdK4RSub5cC&lpg=PA2&dq=what%20is%20algebra%20for&pg=PA2#v=onepage&q=generalization&f=false page 2]</ref> Док се у аритметици јављају само [[број]]еви и њихове аритметичке операције (попут +, &minus;, &times;, ÷), у алгебри се такође користе симболи (попут ''-{x}-'' и ''-{y}-'', или ''-{a}-'' и ''-{b}-'') за означавање бројева. Ови симболи се називају [[Променљива (математика)|променљиве]]. Оне су корисне јер:
* омогућавају да се генерализације аритметичких [[једначина]] (и [[неједначина]]) изразе у облику закона (као што је <math>a + b = b + a</math> за свако ''-{a}-'' и ''-{b}-''), а ово је први корак у систематском изучавању својстава [[реалан број|реалних бројева]].
* омогућавају позивање на бројеве који нису познати. У контексту проблема, променљива може да представља неку вредност која није позната, али може бити решена кроз формулацију и манипулацију једначинама. 
* омогућавају проучавање математичких односа измећу величина (попут ''ако продаш ''x'' карата, онда ће твој профит износити <math>3x - 10</math> динара'').

У елементарној алгебри, ''[[израз (математика)|израз]]'' може да садржи бројеве, променљиве и аритметичке операције. Следи неколико примера:

:<math>x + 3\,</math>

:<math>y^{2} + 2x - 3\,</math>

:<math>z^{7} + a(b + x^{3}) + 42/y - \pi.\,</math>
У мало напреднијој алгебри, израз може да садржи и [[елементарне функције]].

''[[Једначина]]'' представља тврдњу да су два израза једнака. Неке једначине су тачне за све вредности променљивих које се у њима појављују (на пример <math>a + b = b + a</math>); такве изразе називамо ''[[идентитет (математика)|идентитетима]]''. ''Условне'' једначине су тачне само за неке вредности својих променљивих: <math>x^{2} - 1 = 4.</math> Вредности променљивих које чине да једначина буде тачна се називају ''решењима'' једначине.

== Алгебарска нотација ==
{{main|Математичка нотација}}

Алгебрајска нотација описује правила и конвенције за писање математичких израза, као и терминологију која се користи за разговор о деловима израза. На пример, израз <math style="margin-bottom:8px">3x^2 - 2xy + c</math> има следеће компоненте:

[[File:algebraic equation notation.svg|256px|thumb|center|{{ordered list
| [[Степеновање|Експонент]], 
| [[Coefficient|коефицијент]], 
| [[Сабирање|члан]], 
| [[Operation (mathematics)|оператор]], 
| [[Constant (mathematics)|константа]], {{mvar|x, y}} : [[Variable (mathematics)|променљиве]]s}}]]

''Коефицијент'' је нумеричка вредност, или слово које представља нумеричку константу, која умножава променљиву (оператор је изостављен). ''Члан'' је [[Сабирање|додатак или сабирак]], група коефицијената, променљивих, константи и експонената који се могу одвојити од осталих чланова оператерима плус и минус.<ref>Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, ''Introductory Algebra: An Applied Approach'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{ISBN|9781439046043}}, [https://books.google.com/books?id=MPIWikTHVXQC&lpg=PP1&ots=yG1m9DkIiH&dq=coefficient%20algebra&pg=PA78#v=onepage&q=coefficient%20&f=false page 78]</ref> Слова представљају варијабле и константе. Према конвенцији, слова са почетка абецеде (нпр. <math>a, b, c</math>) обично се користе за представљање [[Математичка константа|константи]], а слова на крају абецеда (нпр. <math>x, y</math> и {{mvar|z}}) се користе за представљање [[Variable (mathematics)|променљивих]].<ref>William L. Hosch (editor), ''The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry'', Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, {{ISBN|9781615302192}}, [https://books.google.com/books?id=ad0P0elU1_0C&lpg=PA71&dq=elementary%20algebra%20letters%20alphabet%20constants%20variables&pg=PA71#v=onepage&q=letters&f=false page 71]</ref> Оне су обично написане курзивом.<ref>James E. Gentle, ''Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics'', Publisher: Springer, 1998, {{ISBN|0387985425}}, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]</ref>

[[Algebraic operation|Алгебарске операције]] раде на исти начин као и [[Аритметика|аритметичке операције]],<ref>Horatio Nelson Robinson, ''New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies'', Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, [https://books.google.com/books?id=dKZXAAAAYAAJ&dq=Elementary%20algebra%20notation&pg=PA7#v=onepage&q=Elementary%20algebra%20notation&f=false page 7]</ref> као што су [[сабирање]], [[одузимање]], [[множење]], [[дељење]] и [[експоненција]],<ref>Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, ''Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach'', Publisher: Cengage Learning, 2007, {{ISBN|9780618851959}}, 1114 pages, [https://books.google.com/books?id=5iXVZHhkjAgC&lpg=PA6&ots=iwrSrCrrOb&dq=operations%20addition%2C%20subtraction%2C%20multiplication%2C%20division%20exponentiation.&pg=PA6#v=onepage&q=operations%20addition,%20subtraction,%20multiplication,%20division%20exponentiation.&f=false page 6]</ref> и примењују се на алгебарске променљиве и појмове. Симболи множења се обично изостављају и подразумевају када нема размака између две променљиве или члана, или када се користи коефицијент. На пример, <math style="margin-bottom:8px">3 \times x^2</math> се записује као <math style="margin-bottom:8px">3x^2</math>, и <math>2 \times x \times y</math> се може записати као <math>2xy</math>.<ref>Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in ''Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook'', Publisher Panpac Education Pte Ltd, {{ISBN|9812738827}}, 9789812738820, [https://books.google.com/books?id=nL5ObMmDvPEC&lpg=PR9-IA8&ots=T_h6l40AE5&dq=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&pg=PR9-IA8#v=onepage&q=%22Algebraic%20notation%22%20multiplication%20omitted&f=false page 68]</ref>

Обично се изрази са највећим степеном ([[Exponentiation|експонентом]]) пишу на левој страни, на пример, <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> се пише лево од {{mvar|x}}. Када је коефицијент један, обично се изоставља (нпр. <math style="margin-bottom:8px">1x^2</math> се пише <math style="margin-bottom:8px">x^2</math>).<ref>David Alan Herzog, ''Teach Yourself Visually Algebra'', Publisher John Wiley & Sons, 2008, {{ISBN|9780470185599}}, 304 pages, [https://books.google.com/books?id=Igs6t_clf0oC&lpg=PA72&ots=Excnhf1AgW&dq=algebra%20coefficient%20one&pg=PA72#v=onepage&q=coefficient%20of%201&f=false page 72]</ref> Исто тако када је експонент (степен) један (нпр. <math style="margin-bottom:8px">3x^1</math> пише се <math style="margin-bottom:8px">3x</math>).<ref>John C. Peterson, ''Technical Mathematics With Calculus'', Publisher Cengage Learning, 2003, {{ISBN|0766861899}}, 9780766861893, 1613 pages, [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&lpg=PA31&ots=NKrtZZ1KDE&dq=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&pg=PA32#v=onepage&q=%22when%20the%20exponent%20is%201%22&f=false page 31]</ref> Када је експонент једнак нули, резултат је увек 1 (нпр. <math style="margin-bottom:8px">x^0</math> се увек преписује у {{mvar|1}}).<ref>Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, ''Algebra for College Students'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{ISBN|9780538733540}}, 803 pages, [https://books.google.com/books?id=-AHtC0IYMhYC&lpg=PP1&ots=kL8erjajyR&dq=algebra%20exponents%20zero%20one&pg=PA222#v=onepage&q=exponents%20&f=false page 222]</ref> Међутим, <math>0^0</math>, које није дефинисано, не би требало да се појављује у изразу, и потребно је обратити пажњу на поједностављивање израза у којима се променљиве могу појавити у експонентима.

== Закони елементарне алгебре ==
* [[Сабирање]] је [[комутативност|комутативна операција]] (збир два броја је исти независно од редоследа у којем их записујемо).
** [[Одузимање]] је операција супротна сабирању.
** Одузимање је исто што и сабирање негативним бројем:
::: <math> a - b = a + (-b). \ </math>
:: Пример: ако <math>5 + x = 3</math> онда <math>x = -2.</math>
* [[Множење]] је комутативна операција.
** [[Дељење (математика)|Дељење]] је операција супротна множењу.
** Поделити један број другим је исто што и помножити га реципрочном вредношћу другог броја:
::: <math> {a \over b} = a \left({1 \over b} \right). </math>
* [[Степеновање]] није комутативна операција.
** Стога степеновање има две супротне операције: [[логаритам|логаритмовање]] и степеновање реципрочним експонентом (на пример [[квадратни корен]]).
*** Примери: ако <math>3^x = 10</math> онда <math>x = \log_3 10 .</math> Ако <math>x^{2} = 10</math> онда <math>x = 10^{1 / 2}.</math>
** Квадратни корен негативних бројева не постоји у систему реалних бројева (Види: [[комплексан број|комплексни бројевни систем]])
* [[Асоцијативност|Асоцијативно]] својство сабирања: <math>(a + b) + c = a + (b + c).</math>
* Асоцијативно својство множења: <math>(ab)c = a(bc).</math>
* [[Дистрибутивност|Дистрибутивно]] својство множења у односу на сабирање: <math>c(a + b) = ca + cb.</math>
* Дистрибутивно својство степена у односу на множење: <math>(a b)^c = a^c b^c .</math>
* Комбиновање експонената: <math> a^b a^c = a^{b+c} .</math>
* Степен степена: <math> (a^b)^c = a^{bc} .</math>

=== Закони једнакости ===
* Ако <math>a = b</math> и <math>b = c</math>, онда <math>a = c</math> ([[транзитивност]] [[једнакост (математика)|једнакости]]).
* <math>a = a</math> ([[рефлексивност]] једнакости).
* Ако <math>a = b</math> онда <math>b = a</math> ([[симетрична релација|симетрија]] једнакости).

=== Други закони ===
* Ако <math>a = b</math> и <math>c = d</math> онда <math>a + c = b + d.</math>
** Ако <math>a = b</math> онда <math>a + c = b + c</math> за свако ''-{c}-'' (адиционо својство једнакости).
* Ако <math>a = b</math> и <math>c = d</math> онда <math>ac</math> = <math>bd.</math>
** Ако <math>a = b</math> онда <math>ac = bc</math> за свако ''-{c}-'' (мултипликативно својство једнакости).
* Ако су два симбола једнака, онда се један може заменити другим по жељи (принцип смене).
* Ако <math>a > b</math> и <math>b > c</math> онда <math>a > c</math> (транзитивност [[неједнакост]]и).
* Ако <math>a > b</math> онда <math>a + c > b + c</math> за свако ''-{c}-''.
* Ако <math>a > b</math> и <math>c > 0</math> онда <math>ac > bc.</math>
* Ако <math>a > b</math> и <math>c < 0</math> онда <math>ac < bc.</math>

== Примери ==
=== Линеарне једначине једне променљиве ===
{{главни чланак|Линеарна једначина}}

Најједноставније једначине су [[линеарна једначина|линеарне једначине]] које имају само једну променљиву. Оне садрже само константне бројеве и једну променљиву без експонента. На пример:

:<math>2x + 4 = 12. \,</math>

Кључна техника је сабирање, одузимање, множење или дељење обе стране једначине истим бројем како би се изоловала променљива са једне стране једначине. Када се променљива изолује, са друге стране једначине остаје вредност променљиве. На пример, одузимањем 4 са обе стране горње једначине се добија:

:<math>2x + 4 - 4 = 12 - 4 \,</math>
што се поједностављује на:
:<math>2x = 8. \,</math>

Дељењем обе стране бројем 2:
:<math>\frac{2x}{2} = \frac{8}{2} \,</math>
се добија решење:
:<math>x = 4. \,</math>

Општи случај,
:<math>ax+b=c\,</math>
има исти формат решења:
:<math>x=\frac{c-b}{a}</math>

=== Квадратне једначине ===
{{главни чланак|Квадратна једначина}}
[[Квадратна једначина|Квадратне једначине]] могу да се изразе у облику -{''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0}-, где је ''-{a}-'' различито од нуле (јер кад би било једнако нули, једначина не би била квадратна већ линеарна). Због овога, квадратна једначина мора да садржи терм ''-{ax}-''<sup>2</sup>. Стога је ''-{a}-'' ≠ 0, па можемо да поделимо једначину са ''-{a}-'' и да преурадимо једначину да има стандардни облик
:<math>x^2 + px = q\,</math>
где је -{''p'' = ''b''/''a'' а ''q'' = &minus;''c''/''a''}-. Решавање овога, процесом допуне до квадрата води до [[квадратна формула|квадратне формуле]]. 

=== Систем линеарних једначина ===
{{главни чланак|Систем линеарних једначина}}
У случају када имамо [[систем линеарних једначина]], попут на пример, две једначине са две непознате, често је могуће наћи решења за обе променљиве које задовољавају обе једначине.

==== Први метод решавања система ====
Пример система линеарних једначина би могао да буде следеће:

:<math>\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,</math>

Множењем израза у другој једначини са 2:

:<math>4x + 2y = 14 \,</math>
:<math>4x - 2y = 2. \,</math>

Сабирањем једначина, добије се:

:<math>8x = 16 \,</math>
што се може поједноставити
:<math>x = 2. \,</math>

Како нам је сада познато да је ''-{x}-'' = 2, могуће је израчунати да је ''-{y}-'' = 3 из било које од две почетне једначине (уметањем ''2'' уместо ''-{x}-''). Комплетно решење овог система је
:<math>\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,</math>
Ово није једини начин да се реши овај систем; могли смо да нађемо ''-{y}-'' пре него што смо нашли ''-{x}-''.

==== Други метод решавања система ====
Други начин за решавање истог система линеарних једначина је коришћење смене.

:<math>\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases} \,</math>

Еквивалент ''y'' се може наћи коришћењем једне од ових једначина. На пример, коришћењем друге:

:<math>2x - y = 1 \,</math>
Одузимањем ''2x'' са обе стране једначине:
:<math>2x - 2x - y = 1 - 2x \,</math>
:<math>- y = 1 - 2x \,</math>
и множењем са -1:
:<math> y = 2x - 1. \,</math>

Коришћењем ове вредности ''-{y}-'' у првој једначини почетног система:

:<math>4x + 2(2x - 1) = 14 \,</math>
:<math>4x + 4x - 2 = 14 \,</math>
:<math>8x - 2 = 14 \,</math>
Додавањем ''2'' са обе стране једначине:
:<math>8x - 2 + 2 = 14 + 2 \,</math>
:<math>8x = 16 \,</math>
што се може поједноставити
:<math>x = 2 \,</math>

Коришћењем ове вредности у обе једначине добија се исто решење као и код претходног метода. 
:<math>\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}\,</math>

Такође, ни ово није једини начин да се реши овај систем; и овде смо могли прво да израчунамо ''-{y}-'' па онда ''-{x}-''.

=== Други типови система линеарних једначина ===
==== Нерешиви системи ====
У горњем примеру, могуће је наћи решење система. Међутим, постоје и системи линеарних једначина које немају решење. Очигледан пример је:

:<math>\begin{cases} x + y = 1 \\ 0x + 0y = 2 \end{cases}\,</math>

Друга једначина у систему нема решење. Стога, систем не може бити решен. 
Међутим, није све незадовољиве системе могуће испрва препознати. Узмимо на пример систем:

:<math>\begin{cases}4x + 2y = 12 \\ -2x - y = -4 \end{cases}\,</math>

Ако покушамо да решимо овај систем (на пример коришћењем метода смене који је горе објашњен), друга једначина након додавања &minus; 2''-{x}-'' на обе стране и множењем са &minus;1, даје:
:<math>y = -2x + 4 \,</math>
А када се ово искористи као вредност ''-{y}-'' у првој једначини:
:<math>4x + 2(-2x + 4) = 12 \,</math>
:<math>4x - 4x + 8 = 12 \,</math>
:<math>8 = 12 \,</math>

Нема преосталих променљивих, а једнакост није тачна. Ово значи да прва једначина не може да да решење за вредност ''-{y}-'' добијену из друге једначине.

==== Неодређени системи ====
Постоје и системи са вишеструким решењима или бесконачним бројем решења, за разлику од система са јединственим решењем (где на пример постоје јединствене вредности за ''-{x}-'' и ''-{y}-'') На пример:

:<math>\begin{cases}4x + 2y = 12 \\ -2x - y = -6 \end{cases}\,</math>

Ако изолујемо ''-{y}-'' у другој једначини:
:<math>y = -2x + 6 \,</math>
И искористимо ову вредност у првој једначини система:
:<math>4x + 2(-2x + 6) = 12 \,</math>
:<math>4x - 4x + 12 = 12 \,</math>
:<math>12 = 12 \,</math>

Ова једнакост је тачна, али нам не даје вредност за ''-{x}-''. Заиста, лако се може проверити (уписивањем неких вредности за ''-{x}-'') да за свако ''-{x}-'' постоји решење, све док је -{''y'' = &minus;2''x'' + 6}-. Постоји бесконачан број решења овог система.

== Види још ==
* [[Бинарна операција]]
* [[Гаусов метод]]
* [[Полином]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература}}
* [[Leonhard Euler]],  '' [[Elements of Algebra]]'', 1770.  English translation [[Tarquin Press]], 2007, {{ISBN|978-1-899618-79-8}}, also online digitized editions<ref>[http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Euler's Elements of Algebra<!-- Bot generated title -->] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |date=13. 4. 2011 }}</ref> 2006,<ref>{{cite web|url=https://books.google.com/books?id=X8yv0sj4_1YC&dq=euler+elements&psp=1|title=Elements of Algebra|first1=Leonhard|last1=Euler|first2=John|last2=Hewlett|first3=Francis|last3=Horner|first4=Jean|last4=Bernoulli|first5=Joseph Louis|last5=Lagrange|date=4. 5. 2018|publisher=Longman, Orme|accessdate=4. 5. 2018|via=Google Books}}</ref> 1822.
* Charles Smith, ''[http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=smit025 A Treatise on Algebra]'', in [http://historical.library.cornell.edu/math Cornell University Library Historical Math Monographs].
* Redden, John. [https://web.archive.org/web/20160610165651/http://catalog.flatworldknowledge.com/bookhub/reader/128?e=fwk-redden-ch01 ''Elementary Algebra'']. Flat World Knowledge, 2011
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Elementary algebra}}

{{Области математике}}
{{Нормативна контрола}}

{{СОРТИРАЊЕ:Елементарна алгебра}}

[[Категорија:Елементарна алгебра|*]]