Изворни код странице Диференцијална једначина

[[Датотека:Elmer-pump-heatequation.png|мини|350px|Визуализација трансфера топлоте у кућишту пумпе, формирана решавањем [[Топлотна једначина|топлотне једначине]]. [[Топлота]] се интерно генерише у кућишту, а до хлађења долази на границама, чиме се остварује [[стабилно стање]] дистрибуције температуре.]]

'''Диференцијална једначина''' је свака [[једначина]] у којој се појављује независна [[Променљива (математика)|променљива]] (''<math>x</math>.''), непозната [[Функција (математика)|функција]] те променљиве (''<math>y(x)</math>.'') и изводи или диференцијали те непознате функције<ref>[http://www.rgf.bg.ac.rs/predmet/RO/II%20semestar/Matematika%20II/Predavanja/M2_RO_DJ.pdf Предавања, Рударско-геолошки факултет] {{Wayback|url=http://www.rgf.bg.ac.rs/predmet/RO/II%20semestar/Matematika%20II/Predavanja/M2_RO_DJ.pdf |date=20131203002232 }}, Приступљено 30.11.2013.</ref>. По дефиницији, ''редом'' диференцијалне једначине се назива највиши ред извода у тој једначини. Општи облик диференцијалне једначине ''n''-тог реда је:
:<math>F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0\,</math>;

Диференцијална једначина' је [[једначина]] која изражава везу између независне [[Променљива (математика)|променљиве]], непознате [[Функција (математика)|функције]] и њених извода: -{F(x, y, y',y'',..., y<sup>(n)</sup>) = 0}-. Највиши ред извода у тој једначини се назива ред диференцијалне једначине. На пример -{y"+ ky³ = 0}- је диференцијална једначина другог реда. Најпростија диференцијална једначина је првог реда, у експлицитном облику то је -{y' = f (x)}-.

Свака функција која идентички задовољава диференцијалну једначину зове се решење или интеграл те једначине. Опште решење треба да идентички задовољава дату диференцијалну једначину, и облика је -{y = φ(x, C<sub>1</sub>, C<sub>2</sub>, ... , C<sub>n</sub>)}-, где су C<sub>1</sub>,...,C<sub>n</sub> произвољне интеграционе константе. Партикуларно решење је свака функција која се добија из општег решења за посебне вредности [[константа|константи]]. Сингуларно решење је оно које идентички задовољава дату једначину, а не налази се у општем решењу. Кад непозната функција зависи од двеју или више променљивих, диференцијалну једначину називамо [[парцијална диференцијална једначина|парцијалном]].

Многе диференцијалне једначине су математички модели разноврсних процеса у природи, друштву, природним и друштвеном и техничким наукама и као такве имају многобројне примене. Теорија диференцијалних једначина и теорија парцијалних диференцијалних једначина су значајне и широко развијене области математике. Њихов посебан део чине диференцијалне једначине [[математичка физика|математичке физике]].

У [[систем диференцијалних једначина|систему диференцијалних једначина]] се јављају две или више функција исте променљиве (односно истих променљивих).

== Решења диференцијалне једначине ==
Решење диференцијалне једначине је свака функција која идентички задовољава ту диференцијалну једначину<ref>[http://www.fonforum.org/download/druga/Matematika_3/Matematika_3-usmeni-prvi_deo_-_by_Maksa.pdf Математика 3], приступљено 30.11.2013.</ref>.
* ''Опште решење диференцијалне једначине'' (први интеграл) је облика <math>y = \varphi(x, C_1, C_2, \ldots, C_n)\,</math>, при чему су ''-{C}-<sub>1</sub>,...,-{C}-<sub>n</sub>'' произвољне константе.
* ''Партикуларно решење диференцијалне једначине'' (партикуларни интеграл) је свака функција која се добија из општег решења за посебне вредности [[константа|константи]]. Партикуларно решење се може одредити из почетних услова.
* ''Сингуларно решење диференцијалне једначине'' (сингуларни интеграл) је оно које идентички задовољава дату једначину, а не налази се у општем решењу.

== Историја ==

Диференцијалне једначине су настале након што су [[Исак Њутн|Њутн]] и [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Лајбниц]] произвели [[инфинитезимални рачун]]. У другом поглављу његовог рада -{"Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum"}- из 1671,<ref>Newton, Isaac. (c.1671). Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series), published in 1736 [Opuscula, 1744, Vol. I. pp. 66].</ref> Исак Њутн наводи три типа диференцијалних једначина: једначине са два извода <math>\dot{x},\dot{y}</math>, једном недиференцираном променљивом <math>x</math>; jednačine sa <math>\dot{x},\dot{y},x</math> и <math>y</math>; и једначине са више од два извода.

Као примери три случаја, дата су решења једначина:
*: <math>\dot{y}\dot{y}=\dot{x}\dot{y}+\dot{x}\dot{x}xx</math>,
*: <math>\dot{y}ax-\dot{x}xy-aa\dot{x}=0</math>, и
*: <math>2\dot{x}-\dot{z}+\dot{y}x=0</math>.

Ови примери и низ других су решени користећи инфинитивне серије. Дискусија нејединствености решења је такође дата.

[[Јакоб Бернули]] је решио [[Бернулијева диференцијална једначина|Бернулијеву диференцијалну једначину]] 1695.<ref>{{Citation |last=Bernoulli| first=Jacob |author-link=  | title=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis |year=1695| journal= Acta Eruditorum }}</ref> Она је [[обична диференцијална једначина]] облика

: <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>

за коју је он одредио коначна решења.<ref>{{Citation |last=Hairer| first=Ernst |last2=Nørsett| first2=Syvert Paul |last3=Wanner| first3=Gerhard | title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems | publisher= Springer-Verlag  | location=Berlin, New York |isbn=978-3-540-56670-0 |year=1993}}</ref>

Историјски, проблем вибрационог влакна као што је [[музички инструмент]] су изучавали [[Жан ле Рон д'Аламбер]], [[Леонард Ојлер]], [[Данијел Бернули]], и [[Жозеф Луј Лагранж]].<ref>[http://homes.chass.utoronto.ca/~cfraser/vibration.pdf {{cite journal|last=Cannon|first=John T.|last2=Dostrovsky|first2=Sigalia|title=The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742|year=1981|volume=  6|series=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |isbn=978-0-387-90626-3|publisher=Springer-Verlag|location=New York|pages=ix + 184 pp.}}] {{cite journal|last=Gray|first=JW|title=Book reviews |journal=Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society |year=1983|volume= 9| issue = 1}} (retrieved 13 Nov 2012).</ref><ref>{{cite journal|first=Gerard F. |last=Wheeler|first2=William P. |last2=Crummett|title=The Vibrating String Controversy |journal= American Journal of Physics |year=1987|volume=55 |issue=1 |doi=10.1119/1.15311 |pages=33-37}}</ref><ref>For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see [http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings] {{Wayback|url=http://www.lynge.com/item.php?bookid=38975&s_currency=EUR&c_sourcepage= |date=20200209023122 }} (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.</ref>{{sfn|Pierce|1989|p=18}} Године 1746, д’Аламбер је открио једнодимензионалну таласну једначину, а током наредне декаде Ојлер је открио тродимензионалну таласну једначину.<ref name="Speiser">{{harvnb|Speiser|Williams|2008|p=191}}</ref>

[[Ојлер–Лагранжова једначина]] је развијена током 1750-их у контексту Ојлерових и Лагранжових изучавања [[Таутохрона крива|таутохроног]] проблема. Ради се о проблему одређивања криве на коју измерена честица пада у фиксну тачку у фиксном временском интервалу, независно од почетне тачке. Лагранж је решио тај проблем 1755. године и послао је решење Ојлеру. Они су заједно даље развили Лагранжов метод и применили га на [[механика|механику]], што је довело до формулације [[Лагранжова механика|Лагранжове механике]].

Фурије је објавио свој рад о [[Пренос топлоте|преносу топлоте]] у -{''Théorie analytique de la chaleur''}- (књизи Аналитичка теорија топлоте),<ref>{{Cite book | last = Fourier | first = Joseph | title = Théorie analytique de la chaleur | publisher = Firmin Didot Père et Fils | year = 1822 | location = Paris | language = French | url = http://books.google.com/books?id= | oclc = 2688081 | access-date = 11. 05. 2017 | archive-date = 10. 02. 2014 | archive-url = https://web.archive.org/web/20140210001406/http://books.google.com/books?id | url-status = dead }}</ref> у којој је базирао своје разматрање на [[Конвективни пренос топлоте|Њутновом закону хлађења]], наиме да је пренос топлоте између два суседна молекула пропорционалан екстремно малим разликама њихових температура. Та књига садржи Фуријеов предлог [[Једначина топлотне проводности|једначине топлотне проводности]] за дифузију топлоте. Та парцијална диференцијална једначина се у данашње време среће у већини наставних планова математичке физике.

== Пример ==
У [[Класична механика|класичној механици]], кретање тела се описује његовом позицијом и брзином у функцији времена. [[Њутнови закони]] омогућавају (за дату позицију, брзину, убрзање и различите силе које делују на тело) динамичко изражавање једне од тих променљивих у облику диференцијалне једначине за непознату позицију тела у функцији времена.

У неким случајевима се та диференцијална једначина (звана [[једначине кретања|једначина кретања]]) може експлицитно решити.

Пример моделовања проблема реалног света користећи диференцијалне једначине је одређивање брзине кугле која пада кроз ваздух, узимајући у обзир гравитацију и отпор ваздуха. Убрзање лопте у смеру Земље је убрзане услед гравитације минус отпор ваздуха. Гравитација се сматра константном, док се за отпор ваздуха узима да је пропорционалан са брзином кугле. То значи да је убрзање кугле, које је извод њене брзине, зависно од брзине (кок је брзина зависна од времена). Одређивање брзине као функције времена се врши решавањем диференцијалне једначине и верификацијом њене валидности.

== Главне теме ==
=== Обичне диференцијалне једначине ===
{{main|Обична диференцијална једначина}}
[[Обична диференцијална једначина]] (-{''ODE''}-) је једначина која садржи функцију једне [[Зависне и независне променљиве|независне променљиве]] и њених извода. Термин „''обична''“ се користи као контраст термину [[парцијална диференцијална једначина]], која може да обухвата више независних променљивих.

Линеарне диференцијалне једначине са решењима која се могу сабирати и множити коефицијентима, су добро дефинисане и изучене, и егзактна решења затвореног облика су добијена. У контрасту с тим, обичне диференцијалне једначине којима недостају адитивна решења су нелинеарне, и њихово решавање је далеко сложеније, пошто се оне ретко могу приказати у облику [[елементарне функције|елементарних функција]] у затвореном облику. Уместо тога, егзактна и аналитичка решења тих једначина се добијају у облику серија или интегралних форми. Графички и [[Нумерички методи за обичне диференцијалне једначине|нумерички]] методи, који се примењују мануелно или уз помоћ рачунара, у многим случајевима могу да произведу приближна решења обичних диференцијалних једначина. Ови приступи се превасходно користе у одсуству егзактних аналитичких решења.

=== Парцијалне диференцијалне једначине ===
{{main|Парцијална диференцијална једначина}}
[[Парцијална диференцијална једначина]] (-{''PDE''}-) је диференцијална једначина која садржи непознате [[Анализа више променљивих|мултиваријабилне функције]] и њихове [[Парцијална диференцијална једначина|парцијалне изводе]]. (То је у контрасту са обичним диференцијалним једначинама, које обухватају функције једне променљиве и њихове деривате.) Парцијалне диференцијалне једначине се користе за формулисање проблема који обухватају функције са више променљивих, и оне се било ручно решавају, или се користе за креирање релевантних [[Рачунарска симулација|рачунарских модела]].

Парцијалне диференцијалне једначине се могу користити за описивање широког опсега различитих феномена као што су [[звук]], [[топлота]], [[електростатика]], [[Класичан електромагнетизам|електродинамика]], [[Динамика флуида|проток флуида]], [[Еластичност (физика)|еластичност]], или [[квантна механика]]. Ове наизглед различите физичке појаве се могу слично формулисати у смислу парцијалних диференцијалних једначина. Као што обичне диференцијалне једначине најчешће описују једнодимензионалне [[динамички систем|динамичке системе]], парцијалне диференцијалне једначине се обично односе на [[мултидимензионални систем|мултидимензионалне системе]]. [[Стокастичке парцијалне диференцијалне једначине]] су генерализација парцијалних диференцијалних једначина.

== Линеарне и нелинеарне једначине ==

Обичне и парцијалне диференцијалне једначине се углавном не класификују као '''линеарне''' и '''нелинеарне'''.
* [[Линеарна диференцијална једначина|Диференцијална једначина је '''линеарна''']] ако су функција и њени деривати првог степена (продукти непознате функције и њених деривата нису дозвољени), мада саме функције могу да буду [[Нонлинеарни систем|'''нелинеарне''']]. Карактеристично својство линеарних једначина је да њихова решења формирају [[афини простор|афини потпростор]] одговарајућег функционалног простора, што доводи до знатно развијеније теорије линеарних диференцијалних једначина. '''Хомогене''' линеарне диференцијалне једначине су даље поткласа чији простор решења је линеарни потпростор, тј. сума било ког сета решења или њиховог производа је такође решење. Коефицијенти непознате функције и њених деривата у линеарној диференцијалној једначини могу да буду (познате) функције независних променљивих. Ако су ти коефицијенти константе онда се говори о '''константном коефицијенту линеарне диференцијалне једначине'''.
* Постоји веома мали број метода за егзактно решавање нелинеарних диференцијалних једначина. Они који су познати су типично зависни од тога да ли једначина има специфичне [[Симетрија|симетрије]]. Нелинеарне диференцијалне једначине могу да испоље веома комплексно понашање на дужим временским распонима, попут [[Теорија хаоса|хаоса]]. Чак и фундаментална питања постојања, јединствености, и проширивости решења нелинеарних диференцијалних једначина, и поседовање иницијалних и граничних вредности су тешки проблеми у случају нелинеарних једначина. Кад решења постоје у специјалним случајевима, то се сматра значајним напретком у математичкој теорији (-{cf.}- [[Навијер–Стоксово постојање и глаткост]]). Међутим, ако је диференцијална једначина коректно формулисана репрезентација смисленог физичког процеса, онда се очекује да постоји решење.<ref>{{Cite book|last=Boyce|first=William E.|last2=DiPrima|first2=Richard C.
 |authorlink =
 | title = Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems|publisher=John Wiley & Sons
 | series =
 | volume =
 | edition = 4th
 |year=1967
 | location =|pages=3
 | language =
 | url =
 | doi =
 | id =|isbn= 
 | mr =
 | zbl =
 | jfm = }}</ref>

Линеарне диференцијалне једначине се често јављају као [[линеаризација|апроксимације]] нелинеарних једначина. Те апроксимације су једино валидне под ограниченим условима. На пример, једначина хармонијског осцилатора је апроксимација нелинеарне једначине клатна, која је валидна само за мале амплитуде осцилације.

=== Примери ===

У првој групи примера, -{''u''}- је непозната функција од -{''x''}-, а -{''c''}- и -{''ω''}- су познате константе.
* Нехомогена обична диференцијална једначина првог реда са константним коефицијентом:

:: <math> \frac{du}{dx} = cu+x^2. </math>
* Хомогена обична диференцијална једначина другог реда:

: <math> \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. </math>
* Хомогена обична диференцијална једначина другог реда са линеарним константним коефицијентом, која описује [[хармонички осцилатор]]:

:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. </math>
* Нехомогена нелинеарна обична диференцијална једначина првог реда:

:: <math> \frac{du}{dx} = u^2 + 4. </math>
* Нелинеарна (због синусне функције) обична диференцијална једначина другог реда која описује кретање [[клатно|клатна]] дужине -{''L''}-:

:: <math> L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sin u = 0. </math>

У следећој групи примера, непозната функција -{''u''}- зависи од две променљиве -{''x''}- и -{''t''}- или -{''x''}- и -{''y''}-.
* Хомогена линеарна парцијална диференцијална једначина првог реда:

:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. </math>
* Хомогена линеарна парцијална диференцијална једначина другог реда елиптичког типа са константним коефицијентом, [[Лапласова једначина]]:

:: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. </math>
* Нелинеарна диференцијална једначина трећег реда, [[Кортевег де Вријева једначина]]:

:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. </math>

== Постојање решења ==

Решавање диференцијалних једначина се разликује од решавања [[алгебарска једначина|алгебарских једначина]]. Њихова решења често нису јасна. Међутим кад су решења јединствена или бар постоје, она су обично од знатног интереса.

За проблеме са иницијалном вредношћу првог реда, лако се може утврдити да ли јединствено решење постоји. За било коју тачку <math>(a,b)</math> у -{xy}--равни, дефинише се правоугаони регион <math>Z</math>, тако да су <math>Z = [l,m]\times[n,p]</math> и <math>(a,b)</math> у <math>Z</math>. Ако је дата диференцијална једначина <math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = g(x,t)</math> и иницијални услов <math>x(t_{0}) = x_{0}</math>, онда постоји јединствено решење за ту иницијалну вредност проблема, ако су <math>g(x,t)</math> и <math>\frac{\partial g}{\partial x}</math> непрекидни на <math>Z</math>. То јединствено решење постоји на неком интервалу са центром у <math>a</math>.

Међутим, то је једино корисно код проблема иницијалне вредности првог реда. Претпоставимо да имамо проблем линеарне иницијалне вредности н-тог реда:

:<math>
f_{n}(x)\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} + \cdots + f_{1}(x)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x} + f_{0}(x)y = h(x)
</math>
тако да
:<math>
y(x_{0})=y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, y''(x_{0}) = y''_{0}, \cdots
</math>

За сваку <math>f_{n}(x)</math> вредност различиту од нуле, ако су <math>\{f_{0},f_{1},\cdots\}</math> и <math>g</math> непрекидне на неком интервалу који садржи <math>x_{0}</math>, <math>y</math> је јединствено и постоји.<ref>{{Cite book|last=Zill|first=Dennis G.|title=A First Course in Differential  quations |year=2001|url=https://archive.org/details/firstcourseindif0000zill_c8x0|publisher=Brooks/Cole |isbn=978-0-534-37388-7|edition=5th}}</ref>

== Сродни концепти ==
* [[Диференцијална једначина закашњења]] ({{jez-eng|delay differential equation}} - -{DDE}-) је једначина функције једне променљиве, обично '''времена''', у којој је дериват функције у датом времену дат у облику вредности функције у ранијим временима.
* [[Стохастичка диференцијална једначина]] (-{SDE}-) је једначина у којој је непознати квантитет [[стохастички процес]] и једначина обухвата неки непознати стокастички процес, на пример, [[Винеров процес]] у случају једначина дифузије.
* [[Алгебарска диференцијална једначина]] (-{DAE}-) је диференцијална једначина која се састоји од диференцијалних и алгебарских чланова, датих у имплицитној форми.

== Веза са једначинама разлика ==

Теорија диференцијалних једначина је блиско сродна са [[једначине разлика|једначинама разлика]], у којима координате попримају дискретне вредности, и однос обухвата вредности непознате функције или функција и вредности оближњих координата. Многи методи за израчунавање нумеричких решења диференцијалних једначина или студирање вредности диференцијалних једначина обухватају апроксимацију решења диференцијалне једначине решењем кореспондирајуће једначине разлика.

== Примена и везе са другим областима ==
=== Општа примена ===
Изучавање диференцијалних једначина је широко поље у [[чиста математика|чистој]] и [[примењена математика|примењеној математици]], [[физика|физици]], и [[инжењерство|инжињерству]]. Све те дисциплине се баве својствима диференцијалних једначина различитих типова. Чиста математика има фокус на постојању и јединствености решења, док примењена математика наглашава ригорозно доказивање методима за апроксимацију решења. Диференцијалне једначине имају важну улогу у моделовању практично сваког физичког, техничког, или биолошког процеса, од небеских кретања, до дизајна мостова, до интеракција између неурона. Диференцијалне једначине као што су оне које се користе за решавање проблема у реалном животу нису увек директно решиве, тј. немају решења [[решење затворене-форме|затворене форме]]. Уместо тога могу се наћи апроксимативна решења користећи [[Нумеричке методе за обичне диференцијалне једначине|нумеричке методе]].

Многи фундаментални закони [[физика|физике]] и [[хемија|хемије]] се могу формулисати као диференцијалне једначине. У [[биологија|биологији]] и [[економија|економији]], диференцијалне једначине се користе за [[математички модел|моделовање]] понашања комплексних система. Математичка теорија диференцијалних једначина је првобитно развијена заједно са наукама из којих су једначине потекле и у којима су резултати нашли примену. Међутим, разноврсни проблеми, који понекад долазе из сасвим различитих научних поља, могу да произведу идентичне диференцијалне једначине. Кад год до тога дође, математичка теорија иза тих једначина се може сматрати уједињујућим принципом различитих феномена. На пример, пропагација светла и звука у атмосфери, и таласа на површини језера. Сви ти процеси се могу описати истом [[парцијална диференцијална једначина|парцијалном диференцијалном једначином]] другог реда, [[таласна једначина|таласном једначином]], што нам омогућава да мислимо о светлу и звуку као формама таласа, које су сличне таласима на води. Провођење топлоте, описано теоријом коју је развио [[Жозеф Фурије]], се подвргава једној другој парцијалној диференцијалној једначини другог реда, [[једначина топлоте|једначини топлоте]]. Испоставља се да се многи процеси [[дифузија|дифузије]], мада су наизглед различити, могу описати истом једначином; [[Модел Блек–Шоулза|Блек–Шоулзова]] једначина из области финансија је на пример сродна са једначином топлоте.

=== Физика ===
;Класична механика
Докле год је сила која делује на честицу позната, [[Њутнови закони|Други Њутнов закон]] је довољан за описивање њеног кретања. Кад су независне релације за сваку силу која делује на честицу познате, оне се могу заменити у Њутновом другом закону, чиме се добија [[обична диференцијална једначина]], која се назива ''једначина кретања''.

;Електродинамика
[[Максвелове једначине]] су скуп [[парцијална диференцијална једначина|парцијалних диференцијалних једначина]] које, заједно са законом [[Лоренцова сила|Лоренцове силе]], формирају основ [[класичан електромагнетизам|класичне електродинамике]], класичне [[оптика|оптике]], и [[електрична кола|електричних кола]]. Та поља су у основи модерних електричних и комуникационих технологија. Максвелове једначине описују начин на који се [[електрично поље|електрична]] и [[магнетно поље|магнетна поља]] генеришу и мењају једно друго, као и њихове промене посредством [[наелектрисање|наелектрисања]] и [[електрична струја|струја]]. Оне носе име шкотског физичара и математичара [[Јамес Цлерк Маxwелл|Максвела]], који је објавио првобитну форму тих једначина у периоду између 1861. и 1862.

;Општа релативност
[[Ајнштајнове једначине поља]] (-{EFE}- - {{jez-eng|Einstein field equations}}; такође познате као "Ајнштајнове једначине") су скуп од десет [[парцијална диференцијална једначина|парцијалних диференцијалних једначина]] у [[Алберт Еинстеин|Ајнштајновој]] [[општа теорија релативности|општој теорији релативности]] која описује [[основне интеракције|фундаменталну интеракцију]] [[гравитација|гравитације]] као резултат [[Закривљеност|закривљења]] [[простор-време|просторвремена]] [[материја|материјом]] и [[енергија|енергијом]].<ref name="ein">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |authorlink= |title=The Foundation of the General Theory of Relativity |journal=Annalen der Physik |volume=354 |issue=7 |year=1916 |publisher= |url=http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_GRelativity_1916.pdf |format=[[PDF]] |id= |accessdate= |bibcode=1916AnP...354..769E |pages=769 |archive-date=15. 11. 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20151115215202/http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_GRelativity_1916.pdf |url-status= }}</ref> Ајнштајн ју је првобитно објавио 1915.<ref name="Ein1915">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |authorlink=Albert Einstein |date=25. 11. 1915 |title=Die Feldgleichungen der Gravitation |journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |url=http://nausikaa2.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.x.cgi?dir=6E3MAXK4&step=thumb |accessdate=12. 09. 2006 |archive-date=27. 10. 2016 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161027044950/http://nausikaa2.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.x.cgi?dir=6E3MAXK4 |url-status=dead |pages=844-847 }}</ref> као [[тензорска једначина|тензорску једначину]], у којој је -{'''EFE'''}- једнака локалном закривљењу просторвремена (израђеног као [[Ајнштајнов тензор]]) дејством локалне енергије и [[Моменат|момента]] унутар тог просторвремена (израђеног у облику [[тензор енергије стреса|тензора енергије стреса]]).{{sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=916}}

;Квантна механика
У квантној механици, аналог Њутновог закона је [[Шредингерова једначина]] (парцијална диференцијална једначина) квантног система (обично атома, молекула, и субатомских честица било да су слободне, везане, или локализоване). Она није једноставна алгебарска једначина, него општа [[линеарна диференцијална једначина|линеарна]] [[парцијална диференцијална једначина]], која описује временску еволуцију система [[таласна функција|таласних функција]] (које се такође називају "функције стања").<ref name="Griffiths2004">{{harvnb|Griffiths|2004|pp=1–2}}</ref>

;Друге важне једначине
* [[Ојлер–Лагранжова једначина]] у класичној механици
* [[Хамилтонијан|Хамилтонове једначине]] у класичној механици
* [[Радиоактивност|Радиоактивни распад]] у [[нуклеарна физика|нуклеарној физици]]
* [[Њутнов закон хлађења]] у [[термодинамика|термодинамици]]
* [[Таласна једначина]]
* [[Једначина топлоте]] у [[термодинамика|термодинамици]]
* [[Лапласова једначина]], која дефинише [[хармонијска функција|хармонијске функције]]
* [[Поизонова једначина]]
* [[Геодезијска линија|геодезијска једначина]]
* [[Навијер–Стокесова једначина]] у [[динамика флуида|динамици флуида]]
* [[Једначина дифузије]] у [[стокастички процес|стокастичким процесима]]
* [[Једначина конвекционе дифузије]] у [[динамика флуида|динамици флуида]]
* [[Каучи–Риманова једначина]] у [[комплексна анализа|комплексној анализи]]
* [[Поизон–Болтцманова једначина]] у [[молекулска динамика|молекулској динамици]]
* [[Једначине плитке воде]]
* [[Универзална диференцијална једначина]]
* [[Лорензов атрактор|Лорензове једначине]] чија решења манифестују хаотични проток.

=== Биологија ===
;Једначине предатора и плена
[[Једначина Лотка–Волтера|Једначине Лотка–Волтера]], такође познате као једначине предатора и плена, су пар нелинеарних диференцијалних једначина првог реда које се фреквентно користе за описивање [[динамички систем|динамике]] [[Системска биологија|биолошких система]] у којима две врсте интерагују, једна као предатор, а друга као плен.
;Друге важне једначине
* [[Верхулстова једначина]] – раст биолошке популације
* [[Вон Берталанффy|Фон Берталанфијев модел]] – биолошки индивидуални раст
* [[Динамика репликације]] – присутна у теоретској биологији
* [[Хоџкин–Хукслијев модел]] – неуронски акциони потенцијали

=== Хемија ===
;Једначина брзине
''Закон брзине'' или [[једначина брзине]] [[хемијска реакција|хемијске реакције]] је диференцијална једначина која повезује [[брзина хемијске реакције|брзину реакције]] са концентрацијама или притисцима реактаната и константним параметрима (нормално коефицијентима брзине и парцијалним [[ред реакције|редовима реакције]]).<ref>[http://goldbook.iupac.org/R05141.html IUPAC Gold Book definition of rate law]. See also: According to [[Међународна унија за чисту и примењену хемију|IUPAC]] Compendium of Chemical Terminology.</ref> Да би се одредила брзина реакције за специфични систем комбинује се брзина реакције са [[баланс масе|балансом масе]] система.<ref>Kenneth A. Connors ''Chemical Kinetics, the study of reaction rates in solution'', 1991, VCH Publishers.</ref>

=== Економија ===
;Важније једначине
* Кључна једначина [[Солоу–Свонов модел|Солоу–Своновог модела]] је: <math>\frac{\partial k(t)}{\partial t} = s [k(t)]^\alpha - \delta k(t)</math>
* [[Black–Scholes|Блак–Шолесова -{''PDE''}-]]
* [[Малтусијанов модел раста]]
* [[Сетијев модел|Видал–Волфов модел оглашавања]]

== Види још ==
* [[Систем диференцијалних једначина]]
* [[Рикатијева једначина]]
* [[Клероова једначина]]
* [[Лапласова једначина]]
* [[Комплексна диференцијална једначина]]
* [[Егзактна диференцијална једначина]]
* [[Почетни услови]]
* [[Интегрална једначина|Интегралне једначине]]
* [[Нумерички методи]]
* [[Пикард–Линделофова теорема]] о постојању и јединствености решења

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book| ref=harv|last=Griffiths|first=David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004|isbn=978-0-13-111892-8|pages=1-2}}
* {{Cite book| ref=harv|last=Misner|first=Charles W. |authorlink=  |last2=Thorne|first2=Kip S. |authorlink2=  |last3=Wheeler|first3=John Archibald |authorlink3= |year=1973|title= Gravitation |url=https://archive.org/details/gravitation0000misn|publisher= W. H. Freeman |location=San Francisco |isbn=978-0-7167-0344-0 |postscript= }}
* {{Cite book| ref=harv|last=Speiser|first=David|last2=Williams|first2=Kim|title=Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800: Essays by David Speiser|url=https://books.google.com/books?id=9uf97reZZCUC&pg=PA191|year=2008|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-7643-8564-4|pages=191}}
* {{Cite book| ref=harv|last=Boyce|first=William E.|last2=DiPrima|first2=Richard C. |authorlink = | title = Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems|publisher=John Wiley & Sons | series = | volume = | edition = 4th |year=1967 | location =| language = | url = | doi = | id =|id=| mr = | zbl = | jfm = |pages=3 }}
* {{Cite book| ref=harv|last=Pierce|first=Allan D.|title=Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications|url=https://books.google.com/books?id=D8GqhULfKfAC&pg=PA18|year=1989|publisher=Acoustical Society of America|isbn=978-0-88318-612-1|pages=18}}
* {{Cite book| ref=harv|last=Zill|first=Dennis G.|title=A First Course in Differential  quations | year=2001| url=https://archive.org/details/firstcourseindif0000zill_c8x0|publisher=Brooks/Cole |isbn=978-0-534-37388-7|edition=5th}}
* -{P. Abbott and H. Neill, ''Teach Yourself Calculus'', 2003 pages 266-277}-
* -{P. Blanchard, R. L. Devaney, G. R. Hall, ''Differential Equations'', Thompson,}- 2006
* -{E. A. Coddington and N. Levinson, ''Theory of Ordinary Differential Equations'', McGraw-Hill,}- 1955
* -{E. L. Ince, ''Ordinary Differential Equations'', Dover Publications,}- 1956
* -{W. Johnson, [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=abv5010.0001.001 ''A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations''], John Wiley and Sons, 1913, in [http://hti.umich.edu/u/umhistmath/ University of Michigan Historical Math Collection]}-
* {{Cite book| ref=harv| last =Polyanin | first =A. D.| last2 =Zaitsev| first2 =V. F.|title=Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)|location=|publisher=Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton|year=2003|isbn=978-1-58488-297-8|pages=}}-
* -{R. I. Porter, ''Further Elementary Analysis'', 1978, chapter XIX Differential Equations}-
* {{Cite book| ref=harv| last=Teschl| given = Gerald|authorlink= | title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher=American Mathematical Society| place = [[Провиденс|Providence]]|year=2012|isbn=978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
* -{D. Zwillinger, ''Handbook of Differential Equations (3rd edition)'', Academic Press, Boston, 1997.}-
* G. H. Golub, J. M. Ortega: ''Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik''. Heldermann Verlag, Lemgo. {{page|year=1995|isbn=978-3-88538-106-8|pages=}}
* G. Oberholz: ''Differentialgleichungen für technische Berufe – vierte Auflage''. Verlag Anita Oberholz, Gelsenkirchen. {{page|year=1995|isbn=978-3-9801902-4-4|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv|author=P.J. Olver|title=Equivalence, Invariants and Symmetry|publisher=Cambridge Press|year=1995|id=|pages=}}.
* L. Papula: ''Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2''. Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden. {{page|year=2001|isbn=978-3-528-94237-3|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv|author=H. Stephani|title=Differential Equations: Their Solution Using Symmetries.| url=https://archive.org/details/differentialequa0000step|location=Edited by M. MacCallum|publisher=Cambridge University Press|year=1989|id=|pages=}}.
* -{Benker, H.: "Differentialgleichungen mit MATHCAD und MATLAB", Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 2005.}-
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Differential equations}}
* -{[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/video-lectures/ Lectures on Differential Equations] {{Wayback|url=http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03-differential-equations-spring-2010/video-lectures/ |date=20130506041719 }} [[Масачусетски технолошки институт|MIT]] Open CourseWare Videos}-
* -{[http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/de.aspx Online Notes / Differential Equations] Paul Dawkins, Lamar University}-
* -{[http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Differential Equations], S.O.S. Mathematics}-
* -{[https://web.archive.org/web/20160927225307/http://publicliterature.org/tools/differential_equation_solver/ Differential Equation Solver] Java applet tool used to solve differential equations.}-
* -{[http://www.fioravante.patrone.name/mat/u-u/en/differential_equations_intro.htm Introduction to modeling via differential equations] Introduction to modeling by means of differential equations, with critical remarks.}-
* -{[http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=ode Mathematical Assistant on Web] Symbolic ODE tool, using Maxima}-
* -{[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm Exact Solutions of Ordinary Differential Equations]}-
* -{[http://www.hedengren.net/research/models.htm Collection of ODE and DAE models of physical systems] {{Wayback|url=http://www.hedengren.net/research/models.htm |date=20081219003453 }} MATLAB models}-
* -{[http://www.jirka.org/diffyqs/ Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers] An introductory textbook on differential equations by Jiri Lebl of UIUC}-
* -{[http://www.khanacademy.org/math/differential-equations Khan Academy Video playlist on differential equations ] Topics covered in a first year course in differential equations.}-
* -{[https://web.archive.org/web/20130607120716/http://math.rareinfos.com/category/courses/solutions-differential-equations/homogeneous-linear-systems/ MathDiscuss Video playlist on differential equations ]}-

{{Математичка анализа}}
{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Математичка анализа]]
[[Категорија:Једначине]]
[[Категорија:Диференцијалне једначине|*]]