Изворни код странице Децимала

'''Децимала''' или '''фракција''' ненегативног реалног броја <math>x</math>, <math>frac(x)</math> је вишак који остане од [[Цео број|целог броја]]. Ако је тај цео број дефинисан као највећи цео број који није већи од <math>x</math> и називамо га целим делом броја <math>x</math> (<math>\lfloor x\rfloor</math>), његова децимала се може записати као 

<math>\operatorname {frac}(x) = x - \lfloor x \rfloor,\; x > 0.</math> 

За позитиван број записан у конвенционалном позиционом бројевном систему (као што је бинарни или декадни), његова децимала одговара цифрама које се налазе након [[Децимални сепаратор|децималног сепаратора]]. 

== За негативне бројеве ==
У случају негативних бројева, међутим, постоје различити супротстављени начини проширења функције фракционог дела броја: дефинише се или на исти начин као и за позитивне бројеве, тј. као <math>\operatorname{frac}(x) = x - \lfloor x \rfloor</math><ref>{{Cite book|url=https://www.worldcat.org/oclc/29357079| title = Concrete mathematics : a foundation for computer science| last = Graham| first = Ronald L.|year=1994| publisher = Addison-Wesley| others = Knuth, Donald Ervin, 1938-, Patashnik, Oren.| |isbn=978-0-201-55802-9| edition=2.| location = Reading, Mass.| oclc = 29357079|pages=}}</ref> или као део броја који је десно од децималног сепаратора, <math>\operatorname{frac} (x)=|x|-\lfloor |x| \rfloor</math><ref>{{Cite book|url=https://global.oup.com/academic/product/a-dictionary-of-computing-9780199234011?cc=us&lang=en&| title = A Dictionary of Computing|year=2008| publisher = Oxford University Press|isbn = 9780199234011| edition=6.| location = Oxford, New York}}</ref>, или парном функцијом<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/FractionalPart.html| title = Fractional Part| last = Weisstein| first = Eric W.| website = mathworld.wolfram.com| language = en| accessdate=26. 09. 2018}}</ref>

<math>\operatorname{frac} (x)=\begin{cases}
x - \lfloor x \rfloor & x \ge 0 \\
x - \lceil x \rceil & x < 0
\end{cases}</math>

где је <math>\lceil x\rceil</math> најмањи цео број који није мањи од <math>x</math>. Због тога можемо добити, на пример, три различите вредности за децимални дие само једног <math>x</math>: узмимо -1,3, његов децимални део ће бити 0,7 према првој дефиницији, 0,3 према другој дефиницији и -0,3 према трећој дефиницији, чији се резултат може добити и на директан начин употребом

<math>\operatorname{frac} (x)= x - \lfloor |x| \rfloor \cdot \sgn(x)</math>.

== Јединствено разлагање на целе и децималне делове ==
По првој дефиницији, сви [[Реалан број|реални бројеви]] могу бити записани у облику <math>n+r</math>, где је <math>n</math> број лево од децималног сепаратора, а преостали децимални део <math>r</math> је ненегативни реалан број мањи од један. Ако је <math>x</math> позитиван [[рационалан број]], онда се децимални део <math>x</math> може изразити у облику <math>p/q</math>, где су <math>p</math> и <math>q</math> цели бројеви и важи <math>0\leq p<q</math>. На пример, узмимо да је x = 1,05, онда је децимални део x 0,05 и може се изразити као 5/100 = 1/20.

== Однос са верижним разломцима ==
Сваки реалан број може се суштински јединствено представити као [[верижни разломак]], односно као збир његовог целог дела и [[Реципрочна вредност|реципрочне вредности]] његовог децималног дела који је написан као збир ''његовог'' целог дела и ''његовог'' децималног дела, и тако даље.

== Референце ==
{{reflist}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Аритметика]]
[[Категорија:Бројеви]]