Изворни код странице Вијетова формула

{{Забуна|Вијетове формуле}}
[[Датотека:Viète's formula.png|мини|Вијетова формула, одштампана у шестој књизи Вијетовог ''Variorum de rebus mathematicis responsorum'' (1593) ]]

У [[Математика|математици]], '''Вијетова формула''' ({{јез-франц|formule de Viète}}) је следећи [[Бесконачност|бесконачни]] [[Множење|производ]] уклопљених [[Radikal celog broja|радикала]] који представљају двоструку [[Реципрочна вредност|реципрочну вредност]] [[Математичка константа|математичке константе]] [[Пи|''{{Pi}}'']]:
<math display="block">\frac2\pi = \frac{\sqrt 2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}2 \cdots</math>
Она се такође може представити овако:
<math display="block">\frac2\pi = \prod_{n=1}^{\infty} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}</math>[[Формула]] је названа по [[Франсоа Вијет|Франсоа Вијету]], који ју је објавио [[1593]].<ref name=":0">{{Cite book|url=https://archive.org/details/historyofpipi0000beck/mode/2up|title=A History of {{Pi}}|last=Beckmann|first=Petr|publisher=The Golem Press|year=1971|isbn=0-911762-12-4|edition=2.|location=Boulder|pages=94–95|language=ен|mr=0449960|ref=harv}}</ref> Као првој формули [[Европа|европске]] математике која представља бесконачни процес,<ref name=":1">{{Cite book|url=https://books.google.rs/books?id=iShKAIKrCSoC|title=Trigonometric Delights|last=Maor|first=Eli|publisher=Princeton University Press|year=2013|isbn=978-0-691-15820-4|location=Princeton|pages=50, 140|language=ен|ref=harv}}</ref> може јој се признати прави смисао [[Гранична вредност|граничне вредности]]<ref name=":2">{{Cite book|title=The Number {{Pi}}|last=Eymard|first=Pierre|last2=Lafon|first2=Jean-Pierre|publisher=American Mathematical Society|year=2004|isbn=0-8218-3246-8|location=Providence|pages=44–46|language=ен|translator-last=Wilson|translator-first=Stephen S.|chapter=2.1. Viète's infinite product|mr=2036595|ref=harv|chapter-url=https://books.google.rs/books?id=qZcCSskdtwcC&pg=PA44&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}</ref> и означити почетком [[Математичка анализа|математичке анализе]]. Она има линеарну [[Конвергенција#Математика|конвергенцију]] и може се користити за израчунавање ''{{Pi}}'',<ref name=":3">{{Cite journal|last=Kreminski|first=Rick|date=2008|title=<i>{{Pi}}</i> to Thousands of Digits from Vieta’s Formula|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2008-06_81_3/page/201|journal=Mathematics Magazine|language=en|volume=81|issue=3|pages=201–207|doi=10.1080/0025570X.2008.11953549|jstor=27643107|ref=harv}}</ref> али су се и раније и садашње методе показале прецизнијим. Такође се користила за рачунање понашања система опруга и маса<ref name=":4">{{Cite journal|last=Cullerne|first=J. P.|last2=Goekjian|first2=M. C. Dunn|date=децембар 2011|title=Teaching wave propagation and the emergence of Viète’s formula|url=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0031-9120/47/1/87|journal=Physics Education|language=en|volume=47|issue=1|pages=87–91|doi=10.1088/0031-9120/47/1/87|ref=harv}}</ref> и као пример појма статистичке независности.

Формула се може извести сабијањем производа или [[Обим|обима]] или [[Површина|површине]] уклопљених [[Многоугао|многоуглова]] који конвергирају у [[круг]]. Алтернативно, поново коришћење [[Тригонометријски идентитети|формуле половине угла]] из [[Тригонометрија|тригонометрије]] доводи до уопштене формуле коју је открио [[Леонард Ојлер]] и у којој је Вијетова формула специјални случај. Много сличних формула које садрже уклопљене корене или бесконачне производе сада су познате.

== Значај ==
Франсоа Вијет ([[1540]]–[[1603]]) је био [[Француска|француски]] [[адвокат]], [[Државни савет|државни саветник]] двојице [[Списак француских владара|француских краљева]] и [[математичар]] [[аматер]]. Он је ову формулу објавио 1593. године у шестој књизи свог дела ''Variorum de rebus mathematicis responsorum''. У то време су методе за заокругљивање ''{{Pi}}'' (у принципу) арбитрарне прецизности дуго биле познате. Вијетова сопствена метода може се тумачити као варијација [[Архимед|Архимедове]] идеје за заокругљивање обима круга обимом комплексног многоугла<ref name=":0" /> коју је он користио да дође до приближне вредности{{Sfn|Beckmann|1971|p=67}}
<math display="block">\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}.</math>Објављивањем своје методе у виду формуле Вијет је формулисао први познати случај бесконачног производа у математици<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=HlOVuklrQPAC&pg=PA165&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Maths for the Mystified: An Exploration of the History of Mathematics and Its Relationship to Modern-day Science and Computing|last=de Smith|first=Michael J.|publisher=Matador|year=2006|isbn=978-1-905237-81-4|location=Leicester|pages=165|language=ен|ref=harv}}</ref><ref name=":5">{{Cite journal|last=Moreno|first=Samuel G.|last2=García-Caballero|first2=Esther M.|date=2013|title=On Viète-like formulas|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0021904513001159|journal=Journal of Approximation Theory|language=en|volume=174|pages=90–112|doi=10.1016/j.jat.2013.06.006|mr=3090772|ref=harv}}</ref> и први пример конкретне формуле за тачну вредност ''{{Pi}}''.<ref name=":6">{{Cite journal|last=Morrison|first=Kent E.|date=1995|title=Cosine Products, Fourier Transforms, and Random Sums|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1995-10_102_8/page/716|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=102|issue=8|pages=716–724|arxiv=math/0411380|doi=10.2307/2974641|jstor=2974641|mr=1357488|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=UrSnNeJW10YC&pg=PA15&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator|last=Oldham|first=Keith B.|last2=Myland|first2=Jan C.|last3=Spanier|first3=Jerome|publisher=Springer|year=2009|isbn=978-0-387-48806-6|location=New York|pages=15|language=en|doi=10.1007/978-0-387-48807-3|ref=harv}}</ref> Као прво представљање броја у виду резултата бесконачног процеса уместо коначне рачунице,<ref>Врло слични бесконачни тригонометријски [[Ред (математика)|редови]] за ''{{Pi}}'' појавили су се раније у [[Индијска математика|индијској математици]], у делу [[Мадхава из Сангамаграме|Мадхаве из Сангамаграме]] (око 1340–1425), али дуго времена нису били познати у Европи. Види: {{Cite book|title=Mathematics in India|last=Plofker|first=Kim|publisher=Princeton University Press|year=2009|isbn=978-0-691-12067-6|location=Princeton and Oxford|pages=221–234|language=ен|chapter=7.3.1. Mādhava on the circumference and arcs of the circle|chapter-url=https://books.google.rs/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA221&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}</ref> Ели Маор истиче да Вијетова формула означава почетак математичке анализе,<ref name=":1" /> а Џонатан Борвајн њену појаву назива „буђењем [[Модерна|модерне]] математике“.<ref name=":7">{{Cite book|title=From Alexandria, Through Baghdad|last=Borwein|first=Jonathan M.|publisher=Springer|year=2014|isbn=978-3-642-36735-9|editor-last=Sidoli|editor-first=Nathan|location=Berlin & Heidelberg|pages=531–561|language=ен|chapter=The life of Pi: From Archimedes to ENIAC and beyond|doi=10.1007/978-3-642-36736-6_24|ref=harv|editor-last2=Van Brummelen|editor-first2=Glen|chapter-url=https://www.carma.newcastle.edu.au/jon/pi-2010.pdf|access-date=09. 12. 2023|archive-date=07. 03. 2011|archive-url=https://web.archive.org/web/20110307162612/https://www.carma.newcastle.edu.au/jon/pi-2010.pdf|url-status=unfit}}</ref>

Користећи своју формулу Вијет је израчунао ''{{Pi}}'' са прецизношћу од девет [[Цифра|цифара]].<ref name=":3" /> Међутим, то није била најтачнија приближна вредност ''{{Pi}}'' у то време, јер је [[Персијско царство|персијски]] математичар [[Gijasudin Džamšid ibn Masud ibn Mahmud Tabib Kašani|Џамшид Ал Каши]] [[1424|1424.]] године израчунао ''{{Pi}}'' са прецизношћу од девет сексагезималних и 16 децималних цифара.<ref name=":7" /> Недуго након што је Вијет објавио своју формулу, [[Лудолф ван Цојлен]] је искористо методу сличну Вијетовој да израчуна 35 цифара ''{{Pi}}'', што је објављено тек након ван Цојленове смрти [[1610]].<ref name=":7" /> 

Поред свог математичког и [[Историја|историјског]] значаја, Вијетова формула се може искористити за објашњење [[Дисперзија (физика)|различитих брзина таласа различитих фреквенција]] у бескрајном ланцу [[опруга]] и [[маса]] и за појаву ''{{Pi}}'' у ограничавајућем понашању тих брзина.<ref name=":4" /> Уз то, извођење ове формуле као производа [[Интеграл|интеграла]] укључених у Радемахеров систем, једнаког интегралима производа истих [[Функција (математика)|функција]], пружа добар пример за појам статистичке независности.<ref name=":9">{{Cite book|title=Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory|last=Kac|first=Mark|publisher=John Wiley & Sons for the Mathematical Association of America|year=1959|location=New York|pages=1–12|language=ен|chapter=Chapter 1: From Vieta to the notion of statistical independence|mr=0110114|ref=harv}}</ref> 

== Тумачење и конвергенција ==
Вијетова формула се може поново написати и схватити као гранични израз<ref name=":2" />
<math display="block">\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n \frac{a_i}{2} = \frac2\pi</math>
где је
<math display="block">\begin{align} a_1 &= \sqrt{2} \\ a_n &= \sqrt{2+a_{n-1}}. \end{align}</math>За сваки избор <math>n</math>, израз у граници је коначни производ, а како се <math>n</math> арбитрарно повећава ти коначни производи добијају вредности које се арбитрарно блиско приближавају вредности Вијетове формуле. Вијет је своје дело написао много пре него што су се појмови граница и детаљни докази конвергенције развили у математици; први доказ да та граница постоји није дат све до дела Фердинанда Рудија из 1891.<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|last=Rudio|first=Ferdinand|date=1891|title=Ueber die Convergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung|trans-title=О конвергенцији једног специјалног развоја производа што потиче од Вијете|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN599415665_0036|journal=Historisch-litterarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik|language=de|volume=36|pages=139–140|jfm=23.0263.02|ref=harv}}</ref>

[[File:comparison_pi_infinite_series.svg|thumb|upright=1.5|Поређење конвергенције Вијетове формуле ({{red|'''×'''}}) и неколико историјских бесконачних редова за {{pi}}. {{math|''S<sub>n</sub>''}} је приближна вредност пошто је узет члан {{mvar|n}}. Сваки наредни спорендни случај увећава осенчану област хоризонтално 10 пута.]]


Стопа конвергенције границе одређује број чланова израза који су потребни за постизање тачности датог броја цифара. У Вијетовој формули, број чланова и цифара је пропорционалан: производ првих <math>n</math> чланова у граници даје израз за ''{{Pi}}'' који је једнак приближно 0.6<math>n</math> цифара.<ref name=":3" /><ref>{{Cite journal|last=Osler|first=Thomas J.|date=2007|title=A simple geometric method of estimating the error in using Vieta's product for π|url=|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|language=en|volume=38|issue=1|pages=136–142|doi=10.1080/00207390601002799|ref=harv}}</ref> Ова стопа конвергенције се веома повољно пореди са Волисовим производом, каснијој формули бесконачног производа за ''{{Pi}}''. Иако је Вијет искористио своју формулу да израчуна ''{{Pi}}'' са прецизношћу од само девет цифара, измењена верзија његове формуле се користила за израчунавање стотине хиљада цифара ''{{Pi}}''.<ref name=":3" />

== Сродне формуле ==
Вијетова формула се може добити као специјалан случај sinc-функције која се више од једног века касније<ref name=":0" /> често приписивала Леонарду Ојлеру:<ref>{{Cite book|title=Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae|last=Euler|first=Leonhard|year=1738|volume=9|pages=222–236|language=la|translator-last=Polaski|translator-first=Thomas W.|chapter=De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi|trans-chapter=О различитим методама за изражавање квадратуре круга граничним бројевима|ref=harv|chapter-url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/74/}} Види последњу формулу. Иста формула се налази и у {{Cite book|title=Opuscula Analytica|last=Euler|first=Leonhard|year=1783|volume=1|pages=345–352|language=la|translator-last=Bell|translator-first=Jordan|chapter=Variae observationes circa angulos in progressione geometrica progredientes|trans-chapter=Различита запажања о угловима који се развијају у геометријским прогресијама|arxiv=1009.1439|ref=harv|chapter-url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/561/}} Види формулу у нумерисаном параграфу 3.</ref><math display="block">\frac{\sin x}{x} = \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{8} \cdots</math>Заменом {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|{{pi}}|2}}}} у овој формули добија се:<ref>{{Cite book|url=https://eponym.ru/BookImages/1320/DXKW3V83K1BRAGBYA0501DZA5.pdf|title=Euler's pioneering equation: the most beautiful theorem in mathematics|last=Wilson|first=Robin J.|publisher=Oxford University Press|year=2018|isbn=978-0-19-879492-9|edition=1.|location=Oxford|pages=57–58|language=ен|ref=harv}}</ref><math display="block">\frac{2}{\pi} = \cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdots</math>Онда, изражавањем сваког члана производа десно као функцију ранијих чланова, користећи формулу половине угла:<math display="block">\cos\frac{x}{2} = \sqrt\frac{1+\cos x}{2}</math>добија се Вијетова формула.<ref name=":6" /> 

Такође је могуће из Вијетове формуле извести сличну формулу за ''{{Pi}}'' која и даље садржи уклопљене [[Квадратни корен из 2|квадратне корене броја два]], али се множење користи само једном:<ref name=":8">{{Cite journal|last=Servi|first=L. D.|date=2003|title=Nested Square Roots of 2|url=https://www.jstor.org/stable/3647881?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=110|issue=4|pages=326–330|doi=10.2307/3647881|jstor=3647881|mr=1984573|ref=harv}}</ref><math display="block">\pi = \lim_{k\to\infty} 2^{k} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}}}_{k\text{ square roots}},</math>што би се концизније могло написати као<math display="block">\begin{align} \pi &= \lim_{k\to\infty}2^k\sqrt{2-a_k} \\[5px] a_1&=0 \\ a_k&=\sqrt{2+a_{k-1}}. \end{align}</math>Много формула за ''{{Pi}}'' и друге константе попут [[Златни пресек|златног пресека]] сада су познате и оне су сличне Вијетовој по томе што користе или уклопљене радикале или бесконачне производе [[Тригонометријске функције|тригонометријских функција]].<ref name=":5" /><ref name=":8" /><ref>{{Cite journal|last=Nyblom|first=M. A.|date=2012|title=Some closed-form evaluations of infinite products involving nested radicals|url=https://projecteuclid.org/journals/rocky-mountain-journal-of-mathematics/volume-42/issue-2/Some-closed-form-evaluations-of-infinite-products-involving-nested-radicals/10.1216/RMJ-2012-42-2-751.full|journal=Rocky Mountain Journal of Mathematics|language=en|volume=42|issue=2|pages=751–758|doi=10.1216/RMJ-2012-42-2-751|mr=2915517|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Levin|first=Aaron|date=2006|title=A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant|url=|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=113|issue=6|pages=510–520|doi=10.2307/27641976|jstor=27641976|mr=2231136|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Levin|first=Aaron|date=2005|title=A New Class of Infinite Products Generalizing Viète's Product Formula for <i>{{Pi}}</i>|url=|journal=The Ramanujan Journal|language=en|volume=10|issue=3|pages=305–324|doi=10.1007/s11139-005-4852-z|mr=2193382|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Osler|first=Thomas J.|date=2007|title=Vieta-like products of nested radicals with Fibonacci and Lucas numbers|journal=Fibonacci Quarterly|language=en|volume=45|issue=3|pages=202–204|mr=2437033|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Stolarsky|first=Kenneth|date=1980|title=Mapping properties, growth, and uniqueness of Vieta (infinite cosine) products|url=https://projecteuclid.org/journals/pacific-journal-of-mathematics/volume-89/issue-1/Mapping-properties-growth-and-uniqueness-of-Vieta-infinite-cosine-products/pjm/1102779384.full|journal=Pacific Journal of Mathematics|language=en|volume=89|issue=1|pages=209–227|doi=10.2140/pjm.1980.89.209|issn=0030-8730|mr=0596932|ref=harv}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Allen|first=Edward J.|date=1985|title=Continued radicals|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1985-12_69_450/page/261|journal=The Mathematical Gazette|language=en|volume=69|issue=450|pages=261–263|doi=10.2307/3617569|jstor=3617569|ref=harv}}</ref>

== Извођење ==
[[File:Viète nested polygons.svg|thumb|Низ [[Правилни многоугао|правилних многоуглова]], чији је број страница једнак [[Степен двојке|степенима двојке]], уписан је у круг. Односи површина или обима узастопних многоуглова у низу чине чланове Вијетове формуле.]]

Вијет је до своје формуле дошао поређењем површина правилних многоуглова са {{math|2<sup>''n''</sup>}} и {{math|2<sup>''n'' + 1</sup>}} страницама уписаним у круг.<ref name=":0" /><ref name=":1" /> Први члан производа, {{math|{{sfrac|{{sqrt|2}}|2}}}}, јесте однос површина [[Квадрат|квадрата]] и [[Осмоугао|осмоугла]], други је однос површина осмоугла и [[Шеснаестоугао|шеснаестоугла]] итд. Стога се производ телескопира да би дао однос површина квадрата (почетног многоугла у низу) кругу (ограничавајућем примеру {{math|2<sup>''n''</sup>}}-угла). Алтернативно, услови у производу се могу тумачити као односи обима истог низа многоуглова, почевши од односа обима двоугла (полупречник круга убројен два пута) и квадрата, односа обима квадрата и осмоугла итд.<ref>{{Cite journal|last=Rummler|first=Hansklaus|date=1993|title=Squaring the Circle with Holes|url=https://www.jstor.org/stable/2324662?origin=crossref|journal=The American Mathematical Monthly|language=en|volume=100|issue=9|pages=858–860|doi=10.2307/2324662|jstor=2324662|mr=1247533|ref=harv}}</ref>

Другачије извођење је могуће на основу тригонометријских идентитета и Ојлерове формуле. Користећи формулу за дупли угао у више наврата

<math display="block">\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},</math>добијамо доказ [[Математичка индукција|математичком индукцијом]] да је за свако позитивно целобројно <math>n</math>

<math display="block">\sin x = 2^n \sin\frac{x}{2^n}\left(\prod_{i=1}^n \cos\frac{x}{2^i}\right).</math>Члан {{math|2<sup>''n''</sup> sin {{sfrac|''x''|2<sup>''n''</sup>}}}} у граници достиже ''{{mvar|x}}'' док <math>n</math> иде у бесконачност, из чега следи Ојлерова формула. Вијетова формула се може добити из ове формуле заменом {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|{{pi}}|2}}}}.<ref name=":6" /><ref name=":9" />{{clear}}

== Референце ==
{{reflist}}

== Спољашње везе ==
* Шеста књига Вијетовог [https://books.google.com/books?id=7_BCAAAAcAAJ ''Variorum de rebus mathematicis responsorum''] (1593). Формула се налази на другој половини 30. странице.

{{портал бар|Математика}}
{{Добар чланак}}

{{нормативна контрола}}

{{СОРТИРАЊЕ:Вијетова формула}}
[[Категорија:Математичка анализа]]
[[Категорија:Пи]]
[[Категорија:Докази]]
[[Категорија:Низови и редови]]