Изворни код странице Ваљак (геометрија)

'''Ваљак''' или '''цилиндар''' (од грчке речи kýlindros — котрљати, ваљати) је конвексно [[геометријско тело]]. Може се дефинисати помоћу једне [[елипса|елипсе]] и [[дуж]]и у [[простор]]у. Уколико се једно теме дате дужи постави у центар дате елипсе, а елипса [[непрекидна функција|непрекидно]] умножава дуж ње, добијено тело ће бити управо ваљак. Притом су радијуси ове елипсе такође ''радијуси'' ваљка, дужина дате дужи је ''дужина изводнице'' ваљка, а растојање између равни којима припадају две најудаљеније елипсе ''висина ваљка''. [[Права (линија)|Права]] којој припада дата дуж се назива ''оса ваљка''. Елипса од које је развој тела кренуо се назива ''база ваљка''. [[Површ]] која ограничава ваљак, када му се одузму две елипсе са центрима у теменима дате дужи, се зове ''омотач ваљка''.

Уколико је оса ваљка [[ортогоналност|нормална]] на базу ваљка, тело се зове ''прави ваљак'', код кога су дужине изводнице и висине једнаке. У супротном се ради о ''косом ваљку'', чија је изводница увек дужа од висине. Зависно од тога да ли је база права елипса или круг, ваљак се зове ''елиптични'', односно ''кружни'' ваљак.

== Особине ваљка ==
[[Слика:Circular cylinder rh.svg|мини|усправно|десно|Прави кружни ваљак]]
[[Слика:Elliptic cylinder abh.svg|мини|усправно|десно|Коси кружни ваљак]]
Као геометријско тело, ваљак има своју [[површина|површину]] и [[запремина|запремину]].

=== Површина ваљка ===
Површина ваљка (''-{P}-'') се одређује као збир површине омотача ваљка и двострука површина његове базе. Површина омотача се одређује као производ дужина обима базе и изводнице ваљка. Општа формула за површину ваљка гласи:
:<math>P = 2P(B) + P(M)\,</math>
При чему ''-{P(B)}-'' представља површину базе, а ''-{P(M)}-'' површину омотача ваљка. Површина омотача је већ описана као:
:<math>P(M) = O(B) \cdot l = 2r\pi \cdot l</math>
При чему треба водити рачуна да код правог ваљка важи и ''-{h=l}-''. Код косих ваљака изводница не мора увек бити дата експлицитно. Могуће ју је израчунати помоћу дужине висине (''-{h}-'') и једног угла. Обично је то угао између базе и осе ваљка, или његов комплемент, тј. угао између нормале на базу и осе ваљка. Тако се могу издвојити две формуле:
:<math>h = l \cdot \sin\alpha</math>, илити <math>l = \frac{h}{\sin\alpha}</math>
:<math>h = l \cdot \cos (\pi / 2 - \alpha)</math>, или <math>l = \frac{h}{\cos (\pi / 2 - \alpha)}</math>

=== Запремина ваљка ===
Запремина ваљка (''-{V}-'') се одређује као производ ''површине базне елипсе'' и ''висине ваљка''. Њена општа формула би гласила:
:<math>V = B \cdot h</math>
Где ''-{B}-'' представља површину базе, а ''-{h}-'' висину ваљка. Висина ваљка није увек дата експлицитно, и може се одредити помоћу дужине изводнице и једног угла, као што је то описано у претходном заглављу.

=== Изведене формуле ===
Ознаке су: ''-{r}-'' за полупречник кружне базе, ''-{h}-'' за висину ваљка, ''-{l}-'' за дужину изводнице и ''α'' за угао између базе и осе ваљка.

За '''прави кружни ваљак''':
:<math>P = 2P(B) + P(M) = 2(r^2\pi) + 2r\pi \cdot h = 2r\pi \left (r + h \right )</math>
:<math>V = P(B)\cdot h = (r^2\pi)\cdot h </math> 

За '''коси кружни ваљак''':
:<math>P = 2P(B) + P(M) = 2(r^2\pi) + Oel\cdot l,</math>
:<math>O_{el}=\pi\cdot\left[3\left(a+b\right)-\sqrt{\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)} \right]</math>
Обим елипсе у равни нормалној на осу ваљка, израчунава се помоћу бесконачног реда, са претходно израчунатим полуосама елипсе у зависности од угла нагиба ваљка.
:<math>V = r^2 \pi \cdot h = r^2 \pi \cdot l \sin \alpha</math>

== Пресеци ваљка ==
'''Пресек ваљка''' и равни може бити крива другог реда, правоугаоник, квадрат или ромб, што зависи од тога како је постављена раван у односу на основу и осу ваљка.
'''Крива другог реда''': '''елипса''', ако раван сече ваљак између основа и под углом је у односу на њих, '''парабола''', ако истовремено сече омотач и базу ваљка.

== Примери ==

'''Пример 1:'''

:Израчунати запремину правог кружног ваљка ако његова површина износи <math>P = 2 \pi m^2</math>, а висина му је три пута већа од полупречника.
:'''Решење:'''
:Ако се однос задат у услову задатка (<math>h = 3 \cdot r</math>) примени у образац за рачунање површине правог ваљка добија се:
::<math>P = 2r\pi \cdot (r + h)= 2r\pi \cdot (r + 3 \cdot r)=2r\pi \cdot 4r =8r^2\pi</math>
:Ако се полупречник изрази преко познатих величина:
::<math>r^2 = \frac {P} {8\pi} = \frac {2 \pi m^2} {8\pi}= \frac {1} {4} m^2</math>
::<math>r = \frac {1} {2} m</math>, <math>h = \frac {3} {2} m</math>
:Заменом добијених вредности за полупречник и висину у образац за запремину добија се:
::<math>V = r^2\pi\cdot h = (\frac {1} {2} m)^2\pi \cdot \frac {3} {2} m = \frac {3} {8} \pi m^3</math>
'''Пример 2:'''
:Израчунати површину шупљег ваљка чија висина износи <math>h = 10 cm</math>, полупречник спољашњег ваљка износи  <math>r_1 = 6 cm</math>, а унутрашњег <math>r_2 = 4 cm</math>.
:'''Решење:'''
:Тражена површина је збир омотача спољашњег и унутрашњег ваљка и разлике површина њихових база (кружни прстен):
::<math>P = M_1 + M_2 + B_1 - B_2</math>
::<math>P = 2r_1 \pi \cdot h + 2r_2 \pi \cdot h + r_1^2\pi - r_2^2 \pi = \pi \cdot (2 \cdot h \cdot (r_1 + r_2)  + (r_1^2 - r_2^2))</math>
:Заменом задатих вредности добија се:
::<math>P = \pi \cdot (2 \cdot 10 \cdot (6 + 4) cm^2 + (6^2 - 4^2) cm^2)= \pi \cdot (200 + (36 - 16)) cm^2= 220 \pi cm^2</math>
'''Пример 3:'''

:Ако је осни пресек правог ваљка [[квадрат]] површине <math>P_k</math> израчунати површину ваљка.

:'''Решење:'''

:Ако је осни пресек ваљка квадрат, то значи да је висина ваљка (h) једнака његовом пречнику (2r), односно страници квадрата (a):
::<math>h = 2r = a</math>

:Површина квадрата изражена преко његове странице (a) је:
:<math>P_k = a^2 </math>
:Површина ваљка:
:<math>P_v = 2r\pi \cdot(r + h)= a \pi (\frac a 2 + a)= \frac {3} {2}  a ^2 \pi= \frac {3} {2} \pi P_k</math>

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Cylinders}}

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Геометријска тела]]
[[Категорија:Еуклидова геометрија чврстих тела]]
[[Категорија:Елементарни облици]]