Изворни код странице Вајлов критеријум за равномерну расподелу

У [[математика|математици]], '''Вајлов критеријум за равномерну расподелу''' даје неопходан и довољан услов за равномерну расподелу „модуло 1" (односно [[цео део|разломљених делова]]) датог [[низ]]а [[реалан број|реалних бројева]] изражен својствима одређених [[експоненцијална сума|експоненцијалних сума]].

Критеријум је први формулисао и доказао [[Немачка|немачки]] математичар [[Херман Вајл]].

==Равномерна расподела модуло 1==
За низ (''x''<sub>''n''</sub>) реалних бројева кажемо да је равномерно расподељен модуло 1 ако је за сваки [[интервал]] (''a'',''b'') унутар интервала [0,1)
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{\#\{1\leq j\leq n:\{x_j\}\in(a,b)\}}n=b-a</math>.
Другим речима, разломљени делови чланова низа (''x''<sub>''n''</sub>) „падају“ у интервал (''a'',''b'') приближно онолико често колико би се могло очекивати када бисмо их бирали насумице: ако је интервал дупло краћи, у њему ће, како одмичемо дуж низа, бити отприлике ''тачно дупло мање'' разломљених делова &#123;''x''<sub>''n''</sub>&#125;. На пример, како је дужина интервала (0,2,&nbsp;0,35) 0,15, односно 15% дужине целог интервала [0,1) (којем припадају сви разломљени делови), то ће, за велике ''N'', врло близу 15% од првих ''N'' вредности &#123;''x''<sub>''n''</sub>&#125; бити између 0,2 и 0,35, и тај постотак постаје све ближи 15% како посматрамо веће вредности ''N''.

Многи низови су равномерно расподељени модуло 1. На пример, [[Херман Вајл]] је доказао да је за свако [[ирационалан број|ирационално]] &theta;, низ
:&theta;, 2&theta;, 3&theta;, &hellip;, ''n''&theta;, &hellip;
равномерно расподељен модуло 1.
{|
|-valign="top"
|[[Слика:sixpoints.png|мини|220п|Првих 6 умножака ирационалног броја &theta;&nbsp;=&nbsp;&radic;(3)/8]]
|[[Слика:uniform.png|мини|220п|Првих 90 умножака ирационалног броја &theta;&nbsp;=&nbsp;&radic;(3)/8]]
|[[Слика:nonuniform.png|мини|220п|Умношци рационалног броја &theta;&nbsp;=&nbsp;1/7]]
<br clear="all" />
|}
Овако дефинисан низ није равномерно расподељен модуло 1 ако је &theta;&nbsp;=&nbsp;''p''/''q'' [[рационалан број]], јер се вредности &#123;''n''&theta;&#125; групишу у ''q'' могућих вредности 0, 1/''q'', 2/''q'', &hellip;, (''q''&minus;1)/''q'' и уопште не узимају вредности у другим интервалима (види слику). Низ бројева у интервалу [0,1) који је равномерно расподељен посебно мора бити [[свуда густ скуп|свуда густ]].

{| align="right" border="0"
|-
| [[Слика:regularordering.png|десно|мини|190п|Први разломци (поредак по величини имениоца)]]
| [[Слика:cantorordering.png|десно|мини|190п|Први разломци (поредак као у Канторовом поступку)]]
|}
Као други пример, низ свих рационалних бројева у интервалу [0,1) поређаних по [[разломак|имениоцима]]
: 0/1,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/2,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/3, 2/3,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/4, 3/4,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/5, 2/5, 3/5, 4/5,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/6,4/6,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7, &hellip;
је такође равномерно расподељен. Међутим, ако те исте бројеве поређамо као у [[Канторов дијагонални поступак|Канторовом дијагоналном поступку]] (према збиру [[разломак|бројиоца]] и имениоца)
: 0/1,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/2,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/3,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/4, 2/3,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/5,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/6, 2/5, 3/4,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/7, 3/5,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/8, 2/7, 4/5,&nbsp;&nbsp;&nbsp;1/9, 3/7, &hellip;
они неће бити равномерно расподељени, јер овај поредак систематски „фаворизује“ мале бројеве (сви разломци се појаве „пре или касније“, али разломак 1/''N'' се појављује далеко пре разломка (''N''&minus;1)/''N''). Оба ова низа разломака су свуда густа, али је само први равномерно расподељен: равномерна расподељеност је јаче својство од густоће.

Питање да ли је дати низ равномерно расподељен модуло 1 је, у пуној општости, веома тешко. Равномерна расподела је предмет изучавања теорије [[диофантске апроксимације|диофантских апроксимација]], али и [[ергодичка теорија|ергодичке теорије]].

==Критеријум==
'''Вајлов критеријум за равномерну расподелу''' гласи:
:''Низ (x<sub>n</sub>) реалних бројева је равномерно расподељен модуло 1 ако и само ако је за сваки [[цео број]] l&nbsp;&ne;&nbsp;0
::<math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^ne^{2\pi ilx_j}=0</math>.

Суме општег облика <math>\sum_{j=1}^ne^{2\pi i f(j)}</math>, као што су суме које се појављују у формулацији Вајловог критеријума, називамо [[експоненцијална сума|експоненцијалним сумама]] (често се користи и назив „тригонометријска сума"). Са друге стране, <math>\frac1n\sum_{j=1}^ne^{2\pi ilx_j}</math> се може видети и као ''l''-ти [[Дискретна Фуријеова трансформација|дискретни Фуријеов коефицијент]] [[скуп]]а &#123;''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, &hellip; ''x''<sub>''n''</sub>&#125;.

Критеријум се доказује тако што се прво показује да се услов да чланови низа „падају“ у одређени интервал (дакле, у којем одређен члан низа „бројимо“ као 1 ако пада у тај интервал и као 0 ако пада ван интервала) са постотком који је дат дужином интервала може заменити одговарајућим „глатким“ условом у којем чланове бројимо са „тежином“ која је дата произвољном [[непрекидна функција|непрекидном функцијом]]. Затим се користи теорема према којој се ова непрекидна функција може произвољно добро униформно апроксимирати [[парцијална сума|парцијалним сумама]] свог Фуријеовог развоја. Модерним језиком речено, овај доказ се наслања на то да су одређени потпростори функција (простор непрекидних функција, простор тригонометријских полинома) свуда густи (у подесном смислу) у скупу свих [[мерљива функција|мерљивих функција]] на [0,1). Вајлов доказ је био један од првих доказа у овом духу који се убрзо постао стандардан метод у [[мера (математика)|теорији мере]] и [[функционална анализа|функционалној анализи]].

{{сакриј|Доказ|
Низ ''x''<sub>''n''</sub> реалних бројева у интервалу [0, 1) је равномерно расподељен ако и само ако за сваку непрекидну функцију ''f''&nbsp;:&nbsp;[0, 1]&nbsp;&rarr;&nbsp;'''C''' важи
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^nf(x_j)=\int_0^1f(x)\,{\mathrm d}x</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(&nbsp;&lowast;&nbsp;)
Услов равномерне расподељености одговара исказу да је горњи услов задовољен за карактеристичну функцију &chi;<sub>(''a'',''b'')</sub> сваког интервала (''a'',&nbsp;''b''). И заиста, ако претпоставимо да (&nbsp;&lowast;&nbsp;) важи за сваку непрекидну функцију ''f'', тада за ма који интервал (''a'',&nbsp;''b'') и произвољно &epsi;&nbsp;&gt;&nbsp;0 можемо наћи непрекидне функције ''f''<sup>&minus;</sup> и ''f''<sup>+</sup> такве да је
:<math>f^{-}\leq \chi_{(a,b)}\leq f^{+}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;и&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>(b-a)-\epsilon\leq\int_0^1f^{-}(x)\,\mathrm{d}x<\int_0^1f^{+}(x)\,\mathrm{d}x\leq b-a+\epsilon</math>.
Прелазећи на [[Лимес супериор и лимес инфериор|горњу, односно доњу граничну вредност]] у неједнакости
:<math>\frac1n\sum_{j=1}^nf^{-}(x_j)\leq\frac1n\sum_{j=1}^n\chi_{(a,b)}(x_j)\leq\frac1n\sum_{j=1}^nf^{+}(x_j)</math>
следи
:<math>(b-a)-\epsilon\leq\int_0^1f^{-}(x)\,\mathrm{d}x\leq\liminf_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^n\chi_{(a,b)}(x_j)</math>
:<math>\leq\limsup_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^n\chi_{(a,b)}(x_j)\leq\int_0^1f^{+}(x)\,\mathrm{d}x<(b-a)+\epsilon</math>.
Ово важи за свако &epsilon;&nbsp;&gt;&nbsp;0; преласком на [[гранична вредност|граничну вредност]] када &epsilon;&nbsp;&rarr;&nbsp;0 следи жељено
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^n\chi_{(a,b)}(x_j)=b-a</math>.
Обрнуто се доказује аналогно. Ако (&nbsp;&lowast;&nbsp;) важи за карактеристичну функцију сваког интервала, он важи и за сваку функцију ''s'' која је коначна [[линеарна комбинација]] таквих карактеристичних функција (тзв. [[проста функција]]). Свака реална функција ''g'' непрекидна на [0, 1] је равномерно непрекидна према [[теорема Хајнеа|теореми Хајнеа]], те тако делећи сегмент [0, 1] на мале делове можемо наћи просте функције ''s''<sup>&minus;</sup> и ''s''<sup>+</sup> такве да је
:<math>s^{-}\leq g\leq s^{+}</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;и&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>s^{+}(x)-s^{-}(x)<\epsilon\,</math>;
тако да затим као горе следи да (&nbsp;&lowast;&nbsp;) вреди и за ''g''.  Напокон, ако је ''f''&nbsp;:&nbsp;[0, 1]&nbsp;&rarr;&nbsp;'''C''' прозвољна непрекидна функција, тада (&nbsp;&lowast;&nbsp;) вреди за Re(''f'') и Im(''f''), па стога и за ''f''.

Ако је услов (&nbsp;&lowast;&nbsp;) задовољен за сваку непрекидну функцију ''f''&nbsp;:&nbsp;[0, 1]&nbsp;&rarr;&nbsp;'''C''', он свакако вреди и за сваки од карактера &chi;<sub>''l''</sub>(''x'')&nbsp;&#061;&nbsp;''e''<sup>2&pi;''ilx''</sup>, што доказује да је услов у Вајловом критеријуму неопходан за равномерну расподелу. Услов је и довољан: наиме, ако (&nbsp;&lowast;&nbsp;) вреди за &chi;<sub>''l''</sub> за свако ''l''&nbsp;&ne;&nbsp;0 (а тривијално је задовољен за свако ''l''&nbsp;&#061;&nbsp;0), онда он важи и за сваку њихову линеарну комбинацију, дакле за сваки [[тригонометријски полином]]. Посебно, како низ парцијалних сума ''f''<sub>''k''</sub> Фуријеовог развоја ма које функције ''f''&nbsp;:&nbsp;[0, 1]&nbsp;&rarr;&nbsp;'''C''' (рецимо) [[глатка функција|класе ''C''<sup>2</sup>]] равномерно конвергира ка ''f'', то бирајући ''k'' тако да важи &#124;&nbsp;''f''(''x'')&nbsp;&minus;''f''<sub>''k''</sub>(''x'')&nbsp;&#124;&nbsp;&lt;&nbsp;&epsilon; следи
:<math>\left|\frac1n\sum_{j=1}^nf(x_j)-\int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x\right|\leq\left|\frac1n\sum_{j=1}^nf_k(x_j)-\int_0^1f_k(x)\,\mathrm{d}x\right|+2\epsilon</math>,
а стога, преласком на горњу граничну вредност када ''n''&nbsp;&rarr;&nbsp;0
:<math>\limsup_{n\to\infty}\left|\frac1n\sum_{j=1}^nf(x_j)-\int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x\right|\leq 2\epsilon</math>.
Како ово важи за свако &epsilon;&nbsp;&gt;&nbsp;0, то (&nbsp;&lowast;&nbsp;) вреди за ''f''. Како у доказу првог дела можемо карактеристичне функције интервала апроксимирати функцијама ''f''<sup>&minus;</sup> и ''f''<sup>+</sup> класе ''C''<sup>2</sup>, то следи да је услов (&nbsp;&lowast;&nbsp;) задовољен за све карактеристичне функције интервала, односно низ (''x''<sub>''n''</sub>) је равномерно расподељен.}}

==Последице==
Значај ове теореме је у томе што је у [[аналитичка теорија бројева|аналитичкој теорији бројева]] (не малом заслугом управо овог критеријума), развијен низ метода за оцену експоненцијалних сума, помоћу којих се у неким случајевима могу оценити експоненцијалне суме придружене Вајловим критеријумом датом низу и показати да оне постају произвољно мале када ''n''&nbsp;&rarr;&nbsp;0. Међу тим методима су [[Вајлов метод разлика]], који је посебно подесан у случајевима када је ''x''<sub>''j''</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''(''j'') за неки полином ''p'', потом [[ван дер Корпутов метод]], метод Виноградова, систематски метод [[експонентски пар|експонентских парова]], или новији метод [[велико решето|великог решета]]. Заправо, Вајлов критеријум и паралелни развој [[кружни метод|кружног метода]] ([[Годфри Харолд Харди|Харди]], [[Џон Едензор Литлвуд|Литлвуд]], [[Сриниваса Рамануџан|Рамануџан]]) довели су до развоја адитивне теорије бројева и, посебно након што је [[Иван Матвејевич Виноградов|Виноградов]] [[1937]]. показао како се могу систематски користити, поставили експоненцијалне суме у матицу аналитичке теорије бројева.

Посебно, за случај ''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;''n''&theta; где је &theta; ирационалан број, Вајлов услов за равномерну расподелу се може директно проверити. Користећи формулу за збир коначне [[геометријска прогресија|геометријске прогресије]],
:<math>\frac1n\sum_{j=1}^ne^{2\pi i lj\theta}=\frac1n\cdot\frac{e^{2\pi il\theta}(1-e^{2\pi i ln\theta})}{1-e^{2\pi i l\theta}}</math>.
Други разломак је ограничен када ''n''&nbsp;&rarr;&nbsp;0, тако да производ тежи нули за свако ''l''&nbsp;&ne;&nbsp;0, што доказује равномерну расподелу. (Наравно, услов није испуњен ако је &theta;&nbsp;=&nbsp;''p''/''q'' рационалан број, јер је количник горње геометријске прогресије ''e''<sup>2&pi;''il''&theta;</sup> једнак 1 ако је ''l'' умножак броја ''q''.)

Доказ равномерне расподеле овог и сродних низова (коју су математичари генерално очекивали) је био основни Вајлов циљ у развоју општег критеријума. Овим је посебно доказао да је овај низ свуда густ. Вајл је доказао да је равномерно расподељен модуло 1 и низ
:&theta;, 2<sup>2</sup>&theta;, 3<sup>2</sup>&theta;, &hellip;, ''n''<sup>2</sup>&theta;, &hellip;&nbsp;,
а Виноградов је успео да докаже равномерну расподелу модуло 1 низа
:2&theta;, 3&theta;, 5&theta;, &hellip;, ''p''<sub>''n''</sub>&theta;, &hellip;
где је 2, 3, 5, &hellip; ''p''<sub>''n''</sub> низ [[прост број|простих бројева]].

==Уопштења==
Директно уопштење Вајловог критеријума се користи за установљавање равномерне расподеле вишедимензионих низова. За низ ''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;(&nbsp;''x''<sub>''n''1</sub>,&nbsp;''x''<sub>''n''2</sub>,&nbsp;&hellip;&nbsp;''x''<sub>''nk''</sub>&nbsp;)&nbsp;&isin;&nbsp;'''R'''<sup>''k''</sup> кажемо да је равномерно расподељен модуло 1 ако за сваки интервал '''I'''&nbsp;=&nbsp;(&nbsp;''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''b''<sub>1</sub>&nbsp;)&nbsp;&times;&nbsp;(&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;''b''<sub>2</sub>&nbsp;)&nbsp;&times;&nbsp;&hellip;&nbsp;&times;&nbsp;(&nbsp;''a''<sub>''k''</sub>,&nbsp;''b''<sub>''k''</sub>&nbsp;) важи
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{\#\{1\leq j\leq n:\{x_j\}\in{\mathbf I}\}}n=\mathrm{Vol}({\mathbf I})</math>.
Овде је посебно свака координата равномерно расподељена модуло 1, али ово својство је много јаче: оно каже да су координате (о којима можемо, на пример, мислити као о различитим обележјима статистичког узорка) равномерно расподељене модуло 1 ''независно'' једна од друге. Вајлов критеријум у овом контексту гласи:
:''Низ'' ''x''<sub>''n''</sub>&nbsp;&isin;&nbsp;'''R'''<sup>''k''</sup> ''је равномерно расподељен модуло 1 ако и само ако је за свако'' ''l''&nbsp;=&nbsp;(&nbsp;''l''<sub>''1''</sub>,&nbsp;''l''<sub>2</sub>,&nbsp;&hellip;&nbsp;''l''<sub>''k''</sub>&nbsp;)&nbsp;&isin;&nbsp;'''Z'''<sup>''k''</sup>&nbsp;&#092;&nbsp;0
::<math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^ne^{2\pi i (l_1x_{j1}+l_2x_{j2}+\cdots+l_kx_{jk})}=0</math>.

==Ако желите да сазнате више==
*Чандрасекхаран, Комараволу: ''Увод у аналитичку теорију бројева''.
**{{en}} -{''Introduction to Analytic Number Theory''}-, {{ISBN|9780387041414}}.
**{{ru}} -{''Введение в аналитическую теорию чисел''}-, [http://ega-math.narod.ru/Books/Chandra.htm].

{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Диофантске апроксимације]]
[[Категорија:Динамички системи]]
[[Категорија:Математичке теореме]]