Изворни код странице Болцманова константа

[[Датотека:Zentralfriedhof Vienna - Boltzmann.JPG|мини|десно|250п|Болцманов надгробни споменик на којем је уклесана формула (на врху) која повезује вероватноћу и ентропију. Болцманова константа има централну улогу у повезивању та два наизглед независна концепта.]]

'''Болцманова константа''' (''k'' или''k<sub>B</sub>'') је [[физичка константа]] којом се повезују [[температура]] и [[енергија]].<ref name=Feynman1Ch39-10>{{cite book |author=Richard Feynman |title=The Feynman Lectures on Physics Vol I |publisher=Addison Wesley Longman |year=1970 |isbn=978-0-201-02115-8 |url=https://feynmanlectures.caltech.edu/I_39.html}}</ref>

Име је добила по аустријском физичару [[Лудвиг Болцман|Лудвигу Болцману]], који је значајно допринео развоју [[статистичка механика|статистичке механике]] у којој ова константа има централну улогу. Њена експериментално одређена вредност у [[Међународни систем јединица|СИ]] јединицама је (2002. године [[CODATA]]) износи:

:&nbsp; <math>k = \  1,380 6505(24) \cdot 10^{-23} </math> [[Џул|Ј]]/[[Келвин|К]]

::<math> = \  8,617 343(15) \cdot 10^{-5} </math> [[електронволт|eV]]/К.

Цифре у загради представљају неизвесност, [[стандардна девијација|стандардну девијацију]] на последње две саопштене цифре. Фактор конверзије између вредности саопштених у различитим јединицама је [[Количина елементарног наелектрисања|наелектрисање електрона]]:


:''q'' = 1,602 176 53(14) x 10<sup>-19</sup> [[Кулон (јединица)|кулона]] по електрону.

== Физички значај ==
Болцманова константа ''k'' успоставља везу између макроскопске и микроскопске физике. Макроскопски може се успоставити гасна температурска скала која се мења пропорционално производу притиска ''P'' и запремине ''V'' извесне количине идеалног гаса:

:<math>P V \propto T</math>


Увођење Болцманове константе претвара ово у формулу о ''микроскопским'' особинама молекула,

:<math>P V = N k T \,</math>

где је ''N'' број гасних молекула у посматраном узорку идеалног гаса а ''k'' је Болцманова константа. Одавде следи да је ''kT'' карактеристична величина микроскопске физике везана за један молекул а са димензијама енергије. Може се схватити и као производ притиска и запремине '''једног''' молекула.

Нумеричка вредност константе ''k'' нема неки посебан значај јер зависи од начина начина на који смо изабрали да меримо температуру - у [[келвин]]има, јединици која је заснована на макроскопским физичким особинама воде. Међутим, фундаментални значај има карактеристична енергија, ''kT'' на одређеној температури. Нумеричком вредношћу константе ''k'' утврђује се фактор конверзије за мапирање те карактеристичне микроскопске енергије ''E'' у макроскопски дефинисану температурну скалу ''T = E/k''. Да смо за изражавање собне температуре уместо 300 -{K}- (27 °C или 80&nbsp;[[фаренхајт|°F]]), изабрали да кажемо да је тада ''kT'' 4,14 х 10<sup>-21</sup> J, или 0,026 [[електронволт|eV]], тада би Болцманова константа била једноставно неименовани број 1.

У принципу, вредност Болцманове константе пропорционалности у џулима по келвинима би могла да се израчуна ''од нуле'', а не да се мери, коришћењем дефиниције келвина у смислу физичких својстава воде. Међутим, ово извођење и израчунавање није тривијално.

(Белешка: [[једначина стања идеалног гаса]] може такође да се напише као
:<math>P V = n R T \, </math>
где је ''n = N / N<sub>A</sub>'', број молекула подељен [[Авогадров број|Авогадровим бројем]], дакле, количина материје мерена у [[мол (јединица)|моловима]], а ''R = N<sub>A</sub> &times; k'', Болцманова константа помножена Авогадровим бројем, која се назива [[универзална гасна константа]]. Баратати моловима је много практичније када се ради о свакодневним количинама супстанце у лабораторији.)

== Улога у еквипартицији енергије ==
Принцип еквипартиције енергије тврди да се енергија равномерно (екви-) раздељује (-партиција) међу свим облицима кретања (тачније [[степени слободе (механика)|степенима слободе]]). Дакле, у термодинамичком систему на [[апсолутна температура|апсолутној температури]] ''T'', топлотна енергија сваког степена слободе је реда величине ''kT/2'' (т. ј, око 2,07 x 10<sup>-21</sup> J, или 0,013 eV на собној температури.

=== Примена у једноставној термодинамици гасова ===
У [[класична механика|класичној]] [[статистичка механика|статистичкој механици]], предвиђа се да овај просек важи за хомогене [[идеални гас|идеалне гасове]]. Монатомични идеални гасови имају 3 степена слободе по атому, што одговара трима просторним правцима, што даје термалну енергију од ''1,5kT'' по атому. Ово врло добро одговара експерименталним подацима. Термална енергија може да се користи за израчунавање [[квадратна средња вредност|квадратне средње вредности]] <!-- [[root mean square]] --> брзине атома, која је обрнуто пропорционална квадратном корену [[релативна атомска маса|атомске масе]]. Квадратне средње вредности брзина на собној температури ово тачно осликавају, јер вредности иду од 1.370 -{m/s}- за [[хелијум]], до 240 -{m/s}- за [[ксенон]].

Из кинетичке теорије може да се покаже да је за идеални гас просечан притисак ''P'' дат као:

:<math> P = \frac{1}{3}\frac{N}{V} m {\overline{v^2}}</math>

Заменом да је просечна транслациона кинетика

:<math> \frac{1}{2}m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k T </math>

се добија

:<math> P = \frac{N}{V} k T </math>

и тако се опет добија једначина стања идеалног гаса.

Једначина стања идеалног гаса такође прилично добро важи и за молекуларне гасове; али је форма топлотног капацитета компликованија, јер молекули поседују унутрашње степене слободе, као и три степена слободе за кретање молекула као целине. Диатомични гасови, на пример, поседују укупно око 5 степени слободе по молекулу.

== Улога у Болцмановом фактору ==
Општије, системи у еквилибријуму са резервоаром топлоте на температури ''-{T}-'' имају вероватноће заузимања стања са енергијом ''-{E}-'' уз тежински фактор који одговара [[Болцманов фактор|Болцмановом фактору]]:

:<math>p \propto \exp{\frac{-E}{kT}} </math>

Поново, енергијска величина ''-{kT}-'' овде има централни значај.

Последице овога укључују (осим додатка резултату за идеалне гасове), на пример [[Аренијусова једначина|Аренијусову једначину]] једноставне [[хемијска кинетика|хемијске кинетике]].

== Улога у дефиницији ентропије ==
У статистичкој механици, [[ентропија]] ''-{S}-'' изолованог система у [[термодинамички еквилибријум|термодинамичком еквилибријуму]] је дефинисана као [[природни логаритам]] од -{W}-, броја различитих микроскопских стања доступних систему уз дата макроскопска ограничења (као што је фиксирана укупна енергија, ''-{E}-''):

:<math>S = k \, \ln W.</math>

Ова једначина која повезује микроскопске детаље система (преко Ω) са његовим макроскопским стањем (преко ентропије, ''-{S}-''), је централна идеја статистичке механике. Од такве је важности да је угравирана на [[Лудвиг Болцман|Болцмановом гробу]].

Константа пропорционалности, ''-{k}-'' се јавља да би учинила статистичку механичку ентропију једнаку класичној термодинамичкој ентропији Клаузија:

:<math>\Delta S = \int \frac{dQ}{T}</math>

Уместо тога би могла да се изабере другачије скалирана ентропија у микроскопском смислу, тако да

:<math>{S^{\,'} = \ln \Omega} \; ; \; \; \; \Delta S^{\,'} = \int \frac{\mathrm{d}Q}{kT}.</math>

Ово би била природнија форма; и овако скалирана ентропија тачно одговара Шеноновој [[информациона ентропија|информационој ентропији]], што би одстранило много непотребне конфузије између ове две.

Карактеристична енергија, ''-{kT}-'' би онда била топлота неопходна да повећа скалирану ентропију за један -{[[nat (информација)|nat]]}-.

== Улога у физици полупроводника ==
Код [[полупроводник]]а, однос између тока [[електрична струја|електричне струје]] и [[електростатички потенцијал|електростатичког потенцијала]] дуж [[p-n раскрсница]] зависи од карактеристичне волтаже која се назива '''термалном волтажом''', у ознаци ''V''<sub>''T''</sub>. Термална волтажа зависи од апсолутне температуре ''T'' (у келвинима):

:<math> V_T  =  { kT \over q }</math>

где је ''q'' величина електричног наелектрисања (у кулонима) на електрону. На собној температури (''T'' ≈ 300 -{K}-), вредност термалне волтаже износи приближно 26 миливолти.

== Болцманова константа у Планковим јединицама ==
Планков систем [[природна јединица|природних јединица]] је систем конструисан тако да је Болцманова константа једнака 1. То даје:

:<math>{ E = \frac{1}{2} T } \ </math>

као просечну кинетичку енергију молекула гаса по степену слободе; и чини да се дефиниција термодинамичке ентропије поклапа са дефиницијом информационе ентропије:

:<math> S = - \sum p_i \ln p_i </math>

Вредност изабрана за [[Планкова температура|Планкову јединицу температуре]] је она која одговара енергији [[Планкова маса|Планкове масе]] –a запањујућих [[1 E30 K|1.41679{{e|32}} K]].

== Историја ==

Болцманова константа је добила име по свом аустријском откривачу из 19. века, [[Ludwig Boltzmann|Лудвигу Болцману]]. Иако је Болцман први пут повезао ентропију и вероватноћу 1877. године, релација никада није била изражена специфичном константом све док [[Max Planck|Макс Планк]] није први пут увео {{mvar|k}} и дао прецизнију вредност за њу ({{val|1.346|e=−23|u=J/K}}, око 2,5% ниже од данашње вредности), у свом извођењу [[Planck's law|закона о зрачењу црног тела]] 1900–1901.<ref name="Planck01">{{citation|first=Max |last=Planck |author-link=Max Planck |title=Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum |journal=[[Annalen der Physik|Ann. Phys.]] |year=1901 |volume=309 |issue=3 |pages=553–63 |doi=10.1002/andp.19013090310 |bibcode=1901AnP...309..553P |doi-access=free }}. English translation: {{cite web|url=http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Planck-1901/Planck-1901.html |url-status=dead |title=On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum |archive-url=https://web.archive.org/web/20081217042934/http://dbhs.wvusd.k12.ca.us/webdocs/Chem-History/Planck-1901/Planck-1901.html |archive-date=2008-12-17 }}</ref> Пре 1900. године, једначине које су укључивале Болцманове факторе нису биле написане коришћењем енергија по молекулу и Болцманове константе, већ коришћењем облика [[gas constant|гасне константе]] {{mvar|R}}, и макроскопских енергија за макроскопске количине супстанце. Иконични сажети облик једначине {{math|1=''S'' = ''k'' ln ''W''}} на Болцмановом надгробном споменику је заправо Планкова заслуга, а не Болцманова. Планк је заправо представио ову константу у истом делу као и његову [[Planck constant|епонимну {{mvar|h}}]].<ref>{{Cite journal|last=Gearhart|first=Clayton A.|title=Planck, the Quantum, and the Historians|url=http://link.springer.com/10.1007/s00016-002-8363-7|journal=Physics in Perspective|language=en|date=2002|volume=4|issue=2|page=177|doi=10.1007/s00016-002-8363-7|bibcode=2002PhP.....4..170G |s2cid=26918826 |issn=1422-6944}}</ref>

Године 1920, Планк је написао у свом [[Nobel Prize|Нобеловом]] предавању:<ref name="PlanckNobel">{{citation | first = Max | last = Planck | author-link = Max Planck | title = The Genesis and Present State of Development of the Quantum Theory (Nobel Lecture) | url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1918/planck-lecture.html | date = 2 June 1920}}</ref>
{{quotation|Ова константа се често назива Болцмановом константом, иако је, колико ја знам, сам Болцман никада није увео – необично стање ствари, које се може објаснити чињеницом да Болцман, како се види из његових повремених изјава, никада није размишљао о могућности спровођења тачног мерења константе.}}

Ово „необично стање ствари“ илустровано је позивањем на једну од великих научних расправа тог времена. У другој половини деветнаестог века било је великих неслагања око тога да ли су атоми и молекули стварни или су једноставно [[heuristic|хеуристичко]] средство за решавање проблема. Није било сагласности да ли су ''хемијски'' молекули, мерени [[atomic weight|атомским тежинама]], исти као ''физички'' молекули, мерени [[kinetic theory of gases|кинетичком теоријом]]. Планково предавање из 1920. даље наводи:<ref name="PlanckNobel" />
{{quotation|Ништа не може боље да илуструје позитиван и ужурбан темпо напретка који је уметност експериментатора остварила у протеклих двадесет година, од чињенице да је од тада откривен не само један, већ велики број метода за мерење масе молекула са практично истом тачношћу као што је постигнута за планету.}}

Године 2017, најтачније мере Болцманове константе добијене су акустичном гасном термометријом, којом се помоћу микроталасне и акустичне резонанције одређује брзина звука једноатомног гаса у триаксијалној елипсоидној комори.<ref>{{cite journal|last1=Pitre|first1=L|last2=Sparasci|first2=F|last3=Risegari|first3=L|last4=Guianvarc’h|first4=C|last5=Martin|first5=C|last6=Himbert|first6=M E|last7=Plimmer|first7=M D|last8=Allard|first8=A|last9=Marty|first9=B|title=New measurement of the Boltzmann constant by acoustic thermometry of helium-4 gas|journal=Metrologia|date=1 December 2017|volume=54|issue=6|pages=856–873|doi=10.1088/1681-7575/aa7bf5|last10=Giuliano Albo|first10=P A|last11=Gao|first11=B|last12=Moldover|first12=M R|last13=Mehl|first13=J B|bibcode=2017Metro..54..856P|hdl=11696/57295|s2cid=53680647|url=http://pdfs.semanticscholar.org/d37f/9e1d416196493f3d8a8c14290cdeb3b3ba43.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20190305132022/http://pdfs.semanticscholar.org/d37f/9e1d416196493f3d8a8c14290cdeb3b3ba43.pdf|url-status=dead|archive-date=5 March 2019}}</ref><ref>{{cite journal|last1=de Podesta|first1=Michael|last2=Mark|first2=Darren F|last3=Dymock|first3=Ross C|last4=Underwood|first4=Robin|last5=Bacquart|first5=Thomas|last6=Sutton|first6=Gavin|last7=Davidson|first7=Stuart|last8=Machin|first8=Graham|title=Re-estimation of argon isotope ratios leading to a revised estimate of the Boltzmann constant|journal=Metrologia|date=1 October 2017|volume=54|issue=5|pages=683–692|doi=10.1088/1681-7575/aa7880|bibcode=2017Metro..54..683D|s2cid=125912713 |url=http://eprints.gla.ac.uk/142135/1/142135.pdf}}</ref> Овај деценијски напор предузет је различитим техникама у неколико лабораторија;{{efn|Independent techniques exploited: acoustic gas thermometry, dielectric constant gas thermometry, johnson noise thermometry. Involved laboratories cited by CODATA in 2017: [[Laboratoire national de métrologie et d'essais|LNE]]-[[Conservatoire national des arts et métiers|Cnam]] (France), [[National Physical Laboratory (United Kingdom)|NPL]] (UK), [https://www.inrim.it/ INRIM] (Italy), [[Physikalisch-Technische Bundesanstalt|PTB]] (Germany), [[National Institute of Standards and Technology|NIST]] (USA), [http://en.nim.ac.cn/ NIM] (China).}} то је један од камена темељаца редефинисања основних јединица СИ из 2019. На основу ових мерења, [[CODATA]] је препоручио {{Val|1.380649|e=−23|u=J/K}} као коначну фиксну вредност Болцманове константе која ће се користити за [[International System of Units|Међународни систем јединица]].<ref>{{Cite journal|last1=Newell|first1=D. B.|last2=Cabiati|first2=F.|last3=Fischer|first3=J.|last4=Fujii|first4=K.|last5=Karshenboim|first5=S. G.|last6=Margolis|first6=H. S.|last7=Mirandés|first7=E. de|last8=Mohr|first8=P. J.|last9=Nez|first9=F.|title=The CODATA 2017 values of h, e, k, and N A for the revision of the SI|url=http://stacks.iop.org/0026-1394/55/i=1/a=L13|journal=Metrologia|language=en|date=2018|volume=55|issue=1|pages=L13|doi=10.1088/1681-7575/aa950a|issn=0026-1394|bibcode=2018Metro..55L..13N|doi-access=free}}</ref>

== Вредност у различитим јединицама ==
{|  class="wikitable"
|-
! Вредност {{mvar|k}}
! Јединице
! Коментари
|-
| {{val|1.380649|e=−23}} || [[joule|J]]/[[kelvin|K]] || [[СИ]] по дефиницији, J/K = m<sup>2</sup>⋅kg/(s<sup>2</sup>⋅K) у СИ основним јединицама
|-
| {{val|8.617333262|e=−5}} || [[electronvolt|eV]]/K || {{NoteTag|name=9digits|The value is exact but not expressible as a finite decimal; approximated to 9 decimal places only.}}
|-
| {{val|2.083661912|e=10}} || [[Hertz|Hz]]/K || ({{math|''k''/''h''}}) <ref group=note name=9digits/>
|-
| {{val|1.380649|e=-16}} || [[erg]]/K || [[Centimetre–gram–second system of units|CGS]] систем, 1&nbsp;[[erg]] = {{val|1|e=−7|u=J}}
|-
| {{val|3.297623483|e=−24}} || [[Calorie|cal]]/K || <ref group=note name=9digits/> 1&nbsp;[[calorie|калорија]] = {{val|4.1868|u=J}}
|-
| {{val|1.832013046|e=−24}} || cal/[[Rankine scale|°R]] || <ref group=note name=9digits/>
|-
| {{val|5.657302466|e=−24}} || [[Foot-pound force|ft&thinsp;lb]]/°R || <ref group=note name=9digits/>
|-
| {{val|0.695034800}} || [[Wavenumber|cm<sup>−1</sup>]]/K || ({{math|''k''/(''hc'')}}) <ref group=note name=9digits/>
|-
|{{val|3.166811563|e=−6}}
|''E''<sub>h</sub>/K
|(''E''<sub>h</sub> = [[hartree|хартри]])
|-
| {{val|1.987204259|e=−3}} || [[kcal]]/([[mole (unit)|mol]]⋅K) || ({{math|''kN''<sub>A</sub>}}) <ref group=note name=9digits/>
|-
| {{val|8.314462618|e=−3}} || kJ/(mol⋅K) || ({{math|''kN''<sub>A</sub>}}) <ref group=note name=9digits/>
|-
| {{val|−228.5991672}} || [[Decibel|dB]](W/K/Hz) || {{math|10 log<sub>10</sub>(''k''/(1 W/K/Hz))}},<ref group=note name=9digits/> користи се за прорачуне [[thermal noise|топлотног шума]]
|-
| {{val|1.536179187|e=-40}} || kg/K || {{math|''k''/''c''<sup>2</sup>}}, где је ''c'' [[speed of light|брзина светлости]]<ref>{{cite web | url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?kkg | title=CODATA Value: Kelvin-kilogram relationship }}</ref>
|}

=== Природне јединице ===

Болцманова константа обезбеђује мапирање од карактеристичне микроскопске енергије {{mvar|E}} на макроскопској температурној скали {{math|1=''T'' = {{sfrac|''E''|''k''}}}}. У фундаменталној физици, ово пресликавање се често поједностављује коришћењем [[natural units|природних јединица]] за постављање {{mvar|k}} на јединицу. Ова конвенција значи да температуре и количине енергије имају исте [[Dimension (physics)|димензије]].<ref name=Kalinin/><ref>{{cite book |last1=Kittel |first1=Charles |last2=Kroemer |first2=Herbert |title=Thermal physics |url=https://archive.org/details/thermalphysics0000kitt |date=1980 |publisher=W.H. Freeman |location=San Francisco |isbn=0716710889 |pages=[https://archive.org/details/thermalphysics0000kitt/page/41 41] |edition=2nd |quote=We prefer to use a more natural temperature scale [...] the fundamental temperature has the units of energy.}}</ref> Конкретно, СИ јединица келвин постаје сувишна, јер се дефинише у смислу џула као {{math|1= 1 K = {{val|1.380649|e=-23|u=J}}}}.<ref>{{cite journal |last1=Mohr |first1=Peter J |last2=Shirley |first2=Eric L |last3=Phillips |first3=William D |last4=Trott |first4=Michael |title=On the dimension of angles and their units |journal=Metrologia |date=1 October 2022 |volume=59 |issue=5 |pages=053001 |doi=10.1088/1681-7575/ac7bc2|arxiv=2203.12392|bibcode=2022Metro..59e3001M |doi-access=free}}</ref> Са овом конвенцијом, температура је увек дата у јединицама енергије, а Болцманова константа није експлицитно потребна у формулама.<ref name=Kalinin>{{citation | doi = 10.1007/s11018-005-0195-9 |author1=Kalinin, M |author2=Kononogov, S | title = Boltzmann's Constant, the Energy Meaning of Temperature, and Thermodynamic Irreversibility | journal = Measurement Techniques | pages = 632–36 | volume = 48 | issue = 7 | year = 2005|s2cid=118726162 }}</ref>

== Напомене ==
{{notelist}}
{{NoteFoot}}

== Референце ==
{{reflist|}}

== Литература ==
{{Литература|}}
* {{cite journal|author=Peter J. Mohr, and Barry N. Taylor |title=CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 1998 |journal=Rev Mod Phys |date=April 2000|volume=72|issue=2|pages=}}.

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commons category|Boltzmann constant}}
* [http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_draft_ch2.pdf Draft Chapter 2 for SI Brochure, following redefinitions of the base units] (prepared by the Consultative Committee for Units)
* [https://www.sciencedaily.com/releases/2011/09/110920075520.htm Big step towards redefining the kelvin: Scientists find new way to determine Boltzmann constant]
* [http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?eqk|search_for=Boltzmann Boltzmann's constant CODATA value] at [[NIST]]


{{Научници чија се имена користе у физичким константама}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Статистичка механика]]
[[Категорија:Термодинамика]]
[[Категорија:Физичке константе]]
[[Категорија:Физичка хемија]]
[[Категорија:Фундаменталне константе]]