Изворни код странице Бесконачност

{{друго значење2|Бесконачно}}
[[Датотека:Infinity symbol.svg|мини|десно|250п|Знак за бесконачно у разним фонтовима.]]
'''Бесконачност''' (од лат: ''infinitas'' - неограничено; симбол: <math>\infty</math>) је битан појам у [[математика|математици]], [[филозофија|филозофији]] и [[теологија|теологији]]. Овај појам није искуствен, јер га није могуће видети, опипати или на било који чулни начин спознати; он се обрађује искључиво мисаоним методама.

У филозофији, бесконачно је оно што је без почетка и свршетка, чему се не могу одредити границе, нити се може умски до краја схватити. У теологији, бесконачност је темељна ознака врховног бића ([[Бог]]а), за разлику од створених [[биће|бића]] која су нужно коначна и ограничена. У математици је то количина која није коначна.

У математици, „бесконачност” се обично третира као [[број]] (тј., њиме се пребројавају или мере ствари: „бесконачан број појмова”) али то није иста врста броја као [[природан број|природни]] или [[реалан број|реални]] број.

[[Георг Кантор]] је формализовао многе идеје везане за бесконачност и [[бесконачни скуп|бесконачне скупове]] током касног 19. и раног 20. века. У теорији коју је он развио, постоје бесконачни скупови различитих величина (званих [[кардиналност]]и).<ref>{{Cite book|title=The Princeton Companion to Mathematics|first=Timothy|last=Gowers|first2=June|last2=Barrow-Green|first3=Imre|last3=Leader|publisher=Princeton University Press|year=2008|isbn=978-0-691-11880-2
|pages=616|url=https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160603163923/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|archivedate=03. 06. 2016.|df= }} [https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 Extract of pp. 616] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160501221357/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 |date=01. 05. 2016. }}</ref> На пример, скуп [[Цео број|целих бројева]] је [[Пребројив скуп|пребројиво бесконачан]], док је бесконачни скуп реалних бројева [[Непребројив скуп|непребројив]].<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113 –117}}</ref>

== Бесконачност у филозофији ==
[[Датотека:Ouroboros.png|мини|десно|[[Уробор]]ос, симбол бесконачности у [[алхемија|алхемији]].]]
У филозофији, бесконачно је оно што је неограничено, што иде изван било које утврђене границе.<ref name="Оксфордски филозофски речник">Бесконачност, Оксфордски филозофски речник, Сајмон Блекбурн, Светови. {{page1|publisher=|location=Нови Сад|year=1999|isbn=978-86-7047-303-4|pages=}}</ref> Истраживање овог појма иде уназад барем до [[Зенон из Елеје|Зенона из Елеје]], а математички приступ почиње са [[Еудокс из Книда|Еудоксом из Книда]] (4. век п. н. е.).

У филозофији [[простор]]а и [[време]]на проблеми се појављују са бескрајно малом и са бескрајно великом или неограниченом природом. [[Имануел Кант|Кант]] је у антиномијама тврдио да је немогуће конзистентно посматрање простора или времена као коначног или бесконачног, а то је кључни елемент у његовој идеалистичкој теорији времена и простора као наметнутих непознатој природи од стране наших форми чулности.<ref name="Оксфордски филозофски речник"/>

== Бесконачност у математици ==

Математика се бави величинама и користи се симболима.<ref>{{harvnb|Weyl|2012|pp=17}}</ref> Стога је у математици бесконачност повезана са величинама (и има свој симбол).<ref>{{citation|last=Scott|first = Joseph Frederick
| edition = 2|isbn=978-0-8284-0314-6|pages=24|publisher = [[American Mathematical Society]]|title = The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616–1703)|url= https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C&pg=PA24|year=1981|url-status=live| archiveurl= https://web.archive.org/web/20160509151853/https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C&pg=PA24| archivedate=09. 05. 2016.| df =  }}</ref><ref>{{citation|last=Martin-Löf |first = Per | author-link = Per Martin-Löf
| contribution = Mathematics of infinity|doi = 10.1007/3-540-52335-9_54|location = Berlin | mr = 1064143|publisher = Springer| series = Lecture Notes in Computer Science|title = COLOG-88 (Tallinn, 1988)|volume = 417|year=1990|isbn=978-3-540-52335-2| pages = 146–197}}</ref> У математици постоји бесконачно велика величина, али такође и бесконачно мала величина (што је скоро исто што и нула). У природи бесконачност није реална претпоставка. Чак и када се говори о васиони, говори се о димензијама односно о некаквим границама. Када се говори о суперпроводности, није у питању бесконачно мала отпорност већ толико мала да није мерљива (али ипак постоји и може се исписати бројкама). Када се говори о бесконачности времена, употребљава се израз [[вечност]].<ref>{{harvnb|Toker|1989|pp=159}}</ref>

Бесконачност је један од „тежих“ појмова [[Филозофија|филозофије]], али у математици исти појам и није тако спекулативан.<ref>{{harvnb|O'Flaherty|1986|pp=243}}</ref> Нешто што је бесконачно у математици би требало бити у [[релација (математика)|релацији]] поретка, не сме бити коначно и не сме бити [[противречност|контрадикторно]]. И то је све. Коначни су [[Природан број|природни]], [[цео број|цели]], [[Рационалан број|рационални]] и [[ирационалан број|ирационални број]], дакле сваки [[реалан број]] је коначан, а за [[Комплексан број|комплексне]] не важи релација поретка и ту негде завршава [[спекулација]].

Постоје две врсте бесконачности у математици данас: ''потенцијална'' и ''актуелна''. Потенцијалну бесконачност су увели у математику [[Исак Њутн]] и [[Готфрид Вилхелм Лајбниц]] када су открили [[инфинитезимални рачун]], а актуелну бесконачност су открили [[Георг Кантор]] и [[Јулијус Вилхелм Рихард Дедекинд|Јулијус Вилхелм Ричард Дедекинд]] са открићем [[теорија скупова|теорије скупова]].

=== Потенцијална бесконачност ===

[[Исак Њутн]] је у 17. веку открио да можемо рачунати на низ величина које постају веће од сваког унапред датог броја, и да при томе не упаднемо у контрадикције; своје откриће је назвао [[рачун флуксија]]. Негде у исто време, слично откриће имао је и [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Готфрид Лајбниц]]. Обојица су приметили да се тачки О на Х-оси можемо приближавати са десне стране, узимајући редом бројеве: 0,1 затим 0,01 па 0,001 итд. бесконачан низ корака, све мањих бројева, а да за неко коначно време, тј. за неки коначан број корака не можемо достићи тачну вредност нула. То је област [[инфинитезимални рачун|инфинитезималног рачуна]], на енглеском [[математичка анализа|калкулус]].

=== Актуелна бесконачност ===
[[Датотека:GabrielsHorn.png|мини|десно|[[Гаврилова труба]], фигура која има бесконачну [[површина|површину]], али ограничену [[запремина|запремину]].]]
Актуелна бесконачност је у математику ушла са Г. [[Георг Кантор|Кантором]] и [[Јулијус Вилхелм Рихард Дедекинд|Дедекиндом]] крајем XIX и почетком XX века. Оснивачи [[теорија скупова|теорије скупова]] су приметили да пребројавати нешто значи успоставити [[Функција (математика)|функцију]] бијекцију - обострано једнозначно пресликавање, између скупа [[природан број|природних бројева]] и предмета које бројимо. Када бројимо лоптице у некој кутији, одвојимо прву и кажемо један, затим одвојимо другу и кажемо два, одвојимо трећу - три, итд. док не извадимо последњу лоптицу из кутије. Последњи изговорени број је број лоптица у кутији, јер смо направили [[релација (математика)|релацију]] где са тачно једним од бројева иде тачно једна од лоптица из кутије. Оснивачи теорије скупова су отишли и даље и упоредили су по величини неке познате скупове. Међусобно су упоредили величине скупова [[природан број|природних]], [[цео број|целих]], [[рационалан број|рационалних]] и [[ирационалан број|ирационалних]] бројева. Број елемената скупа назвали су [[кардиналан број|кардинални број]] тог скупа.

==== Пребројавање ====
У време када је откривено [[пребројавање]] већ је била веома развијена [[математичка анализа]], [[Њутн-Лајбницов рачун]], и знало се да не постоји највећи природни број (најмањи је број 1).
# Први од наведених, [[природан број|скуп природних бројева]] {1, 2, 3, ...}, означили су са <math>\mathbb{N}\,</math> и доделили му [[кардиналан број|кардинални број]] [[алеф број|алеф нула]] <math>\aleph_o.\,</math> Приметимо да све што се може бројати редом: први, други, трећи, ... у бескрај, на начин да се у један такав низ могу ставити сви његови елементи, може прогласити скупом са кардиналним бројем алеф нула. За сваки такав скуп кажемо да је ''пребројив скуп''.
# Пребројив скуп је [[цео број|скуп целих бројева]] <math>\mathbb{Z},\,</math> јер га целог можемо поређати у један низ, у којем нема понављања: 0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, .... Приметимо да се овај скуп пребројава спорије, али да то није битно јер природних бројева има довољно. Кардинални број скупа целих бројева је такође алеф нула, тј. <math>kard(\mathbb{Z})=\aleph_o.</math>
# Пребројив је и [[рационалан број|скуп рационалних бројева]], тј. скуп разломака <math>\mathbb{Q}=\left\{\frac{m}{n}|m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\right\}.</math>
# Није пребројив [[ирационалан број|скуп ирационалних бројева]] <math>\mathbb{I}.</math>

Према томе није пребројив нити [[реалан број|скуп реалних бројева]] <math>\mathbb{R},</math> јер је он унија рационалних и ирационалних, који немају међусобно једнаких елемената. Други закључак, оснивачи теорије скупова су нашли најмање две актуелне бесконачности, прву су назвали алеф нула, а друга је [[континуум (математика)|континуум]].

==== Теореме ====

; Теорема 1: Унија пребројиво много пребројивих [[скуп]]ова је пребројива.

[[Датотека:Prebrojivost.gif|мини|Пребројавање пребројивих скупова]]

; Доказ: Елементе пребројивих скупова можемо редати у [[низ]]ове. Елементе првог скупа означимо са <math>X_{11}, X_{12}, X_{13}, ...,</math> другог скупа са <math>X_{21}, X_{22}, X_{23}, ...,</math> трећег са <math>X_{31}, X_{32}, X_{33}, ...</math> Сложимо ове низове у [[матрица (математика)|матрицу]], као на слици десно, и кренимо их пребројавати по споредним дијагоналама. У првој дијагонали, горе лево, имамо само један елеменат <math>X_{11},</math> у другој их имамо два <math>X_{21}, X_{22},</math> итд. у n-тој дијагонали имаћемо тачно n = 1, 2, 3, ... елемената. У свакој од ових дијагонала збир индекса Х-ова биће тачно n+1. Према томе, ако је унапред дат произвољан елеменат, било којег од ових скупова, нпр. <math>X_{kj}</math>, пре свега он се налази у унији, и са друге стране, налази се у n=k+j+1-тој дијагонали, тј. у току пребројавања доћи ће на ред након коначно много корака. Према томе, [[унија (теорија скупова)|унија]] датих скупова је пребројива. Крај доказа.

Посебно, можемо лако израчунати редни број елемента <math>X_{kj}</math> из пребројавања са слике. Рбр. је
: (број свих елемената у претходним дијагоналама) + (бр. елемената у последњој дијагонали) =
: (1 + 2 + 3 + ... + (k+j)) + j = <math>\frac{(k+j)(k+j+1)}{2} + j.</math>

Последица ове теореме је пребројивост скупа [[рационалан број|рационалних бројева]]. Поређамо [[разломак|разломке]] у редове матрице. Слева удесно, одозго надоле, стоје редови: <math>\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1}, ...</math>, затим <math>\frac{2}{1}, \frac{2}{1}, \frac{2}{1}, ...</math>, и тако даље. Овај скуп елемената је пребројив. Затим додамо нулу, и за сваког од ових разломака додамо по још један разломак исте [[апсолутна вредност|апсолутне вредности]] али супротног [[знак]]а. Елементи тако увећаног скупа се такође могу опет поређати, наизменично плус минус, у сличну матрицу. У току тог пребројавања, прескачемо елеменат, разломак чија се вредност понови.

; Теорема 2: Скуп реалних бројева из интервала (0,1) није пребројив.

Број је у овом интервалу, ако је већи од нуле и мањи од један.
; Доказ: [[Доказ]] ћемо извести свођењем на контрадикцију ( [[Георг Кантор|Канторов]] дијагонални поступак). Претпоставимо да је могуће све бројеве из (0,1) поређати у низ, и означимо тај низ са <math>(a_n)</math>, tj. <math>a_1, a_2, a_3...</math> Како се сваки реалан број може написати у облику [[децимални број|децималног]] броја (бесконачног децималног разломка), који може завршавати и бесконачним бројем нула, то је низ:
:: <math>a_1=0, a_{11}a_{12}a_{13}...a_{1n}...</math>
:: <math>a_2=0, a_{21}a_{22}a_{23}...a_{2n}...</math>
:: <math>a_3=0, a_{31}a_{32}a_{33}...a_{3n}...</math>
::...
:: <math>a_m=0, a_{m1}a_{m2}a_{m3}...a_{mn}...</math>
::...
: где је <math>a_{kj}</math> једна од цифара 0, 1, 2, ..., 9. Формирајмо сада [[реалан број]] <math>b=0, b_1b_2b_3...b_n...,</math> где су децималне цифре <math>b_n</math> такође цели бројеви од 0 до 9, и који је очигледно из истог интервала (0,1). По претпоставци, ма како му бирали цифре, овај број би сваки пут морао бити један од бројева из низа <math>(a_n)</math>. Међутим, бираћемо цифре броја <math>b</math> тако да је <math>b_n=1,</math> ако је <math>a_{nn}=0</math> и <math>b_n=0,</math> ако <math>a_{nn} \ne 0.</math> Погледајмо шта смо добили. Добили смо [[број]] b који није једнак ниједном броју низа a, јер се од сваког (нпр. к-тог у низу) разликује бар у једној цифри (к-тој). То је контрадикција са претпоставком да су у датом низу сви реални бројеви интервала (0,1). Крај доказа.

[[Кардиналан број|Кардинални број]] скупа реалних бројева назива се континуум и означава са с и <math>\aleph_0<c</math>. Претпоставка да између алеф нула и континуума нема других кардиналних бројева позната је као ''хипотеза континуума''. Након Кантора, било је покушаја да се она докаже, или оспори, али без успеха, све до [[Курт Гедел|Гедела]] (Gödel) и [[Кохен]]а (Cohen), који су доказали да је она независна од претходне теорије скупова, те да се она може прихватити као аксиома, или једнако одбацити. Ако прихватимо хипотезу континуума, онда уместо с можемо користити ознаку алеф један, тј. <math>\aleph_1.</math>

==== Примери ====

Рекли смо да су два скупа [[логичка еквиваленција|еквивалентна]] ако се између њих може успоставити [[бијекција]], биунивока кореспонденција, односно обострано једнозначно [[функција (математика)|пресликавање]]. Ако су скупови еквивалентни онда имају исти [[кардиналан број|кардинални број]], тј. број елемената. Ако скуп има једнако елемената као скуп природних бројева, онда за тај скуп кажемо да је пребројив и да му је кардинални број алеф нула, тј. <math>\aleph_0</math>.
; Пример 1: Скуп природних бројева еквивалентан је скупу парних бројева.

Јер низ 2, 4, 6, ..., 2''n'', ... можемо пресликати на низ 1, 2, 3, ..., ''n'', ... бијективно.

; Пример 2: Сваки део пребројивог скупа је коначан или пребројив.
; Објашњење: Нека је A пребројив скуп. Чланови скупа А могу се поређати у низ <math>A_1, A_2, A_3...</math>. Нека је <math>B \subseteq A</math> и нека су <math>b_1, b_2...</math> они елементи низа А који су уједно елементи низа B. Ако међу овима не постоји највећи елеменат [[скуп]] B је коначан, у супротном он је пребројив.
; Пример 3: (а) Скуп тачака у равни <math>(\mathbb{Q}^2=\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})</math> чије су координате [[рационалан број|рационални]] [[број]]еви је пребројив;
: (б) Скуп тачака у к-димензионалном [[простор]]у <math>(\mathbb{Q}^k)</math> је пребројив.
; Пример 4: Сваки бесконачан скуп садржи један пребројив подскуп.
; Објашњење: Нека је А бесконачан скуп и нека је његов елеменат <math>a_1 \in A.</math> Тада, јер је А бесконачан, постоји пребројив низ елемената <math>a_2 \ne a_1; a_3 \ne a_1, a_2; ...</math>

Међутим, међу бесконачним бројевима, кардиналима, поредак није нешто што се подразумева по себи.

; Пример 5: ([[Кантор-Бернштајнова теорема]]) Ако је скуп А еквивалентан једном делу скупа B, и ако је обратно, скуп B еквивалентан једном делу скупа А, тада су скупови А и B еквивалентни.

== Види још ==
* [[Скуп]]
* [[Вечност]]
* [[Коначност]]

== Референце ==
{{reflist|30em}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book| ref=harv|title=Dreams, Illusion, and Other Realities|first=Wendy Doniger|last=O'Flaherty|publisher=University of Chicago Press|year=1986|isbn=9780226618555|url=https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160629143323/https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|archivedate = 29. 6. 2016.|df=|pages=243}}
* {{Cite book| ref=harv|title=Nabokov: The Mystery of Literary Structures|last=Toker|first=Leona|publisher=Cornell University Press|year=1989|isbn=9780801422119|url=https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160509095701/https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|archivedate=09. 05. 2016.|df=|pages=159}}
* {{Cite book| ref=harv |last=Weyl|first=Hermann|title = Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy| url=https://archive.org/details/levelsofinfinity0000weyl | editor-last = Pesic | editor-first = Peter |year=2012|publisher=Dover|isbn=978-0-486-48903-2|pages=[https://archive.org/details/levelsofinfinity0000weyl/page/17 17]}}
* {{Cite book| ref=harv |title = The Princeton Companion to Mathematics|first=Timothy|last=Gowers|first2=June|last2=Barrow-Green|first3=Imre|last3=Leader|publisher=Princeton University Press|year=2008|isbn=978-0-691-11880-2|url=https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160603163923/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC|archivedate=03. 06. 2016.|df=| pages = 616}} [https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 Extract of pp. 616] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160501221357/https://books.google.com/books?id=LmEZMyinoecC&pg=PA616 |date=01. 05. 2016. }}
* {{Cite book| ref=harv |last=Аљанчић|first=Слободан|authorlink=Слободан Аљанчић|title = Увод у реалну и функционалну анализу|year=1979|url= |publisher=Грађевинска књига, [[Београд]]|location= |id=|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv |last=Cajori|first=Florian|title = A History of Mathematical Notations (Two Volumes Bound as One)| url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0 |year=1993|origyear=1928 & 1929|publisher=Dover|isbn=978-0-486-67766-8|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv |first=Michael C.|last=Gemignani|title = Elementary Topology| url=https://archive.org/details/elementarytopolo0002gemi |edition=2nd|publisher=Dover|year=1990|isbn=978-0-486-66522-1|pages=}}
* {{citation|first=H. Jerome|last=Keisler|title = Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals|edition=2nd|year=1986|url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html}}
* {{Cite book| ref=harv |first=Randall B.|last=Maddox|title = Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics| url=https://archive.org/details/mathematicalthin0000madd |publisher=Academic Press|year=2002|isbn=978-0-12-464976-7|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv |title = The Principles of Mathematics | url=https://archive.org/details/principlesofmath0000russ |last=Russell|first=Bertrand |authorlink=Bertrand Russell |year=1996|origyear=1903 |publisher=Norton |location=New York, NY |isbn=978-0-393-31404-5 |oclc=247299160}}
* {{Cite book| ref=harv |first=Earl W.|last=Swokowski|title = Calculus with Analytic Geometry| url=https://archive.org/details/calculuswithanal00swok |edition=Alternate|year=1983|publisher=Prindle, Weber & Schmidt|isbn=978-0-87150-341-1|pages=}}
* {{citation|first=Angus E.|last=Taylor|title = Advanced Calculus|year=1955|publisher=Blaisdell Publishing Company}}
* {{Cite book| ref=harv |last=Wallace|first=David Foster|authorlink=David Foster Wallace| title = Everything and More: A Compact History of Infinity | publisher=Norton, W. W. & Company, Inc. |year=2004|isbn=978-0-393-32629-1|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv |first=Amir D. |last=Aczel| title = The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity | url=https://archive.org/details/mysteryofalephma0000acze_h9v0 | publisher=Pocket Books|place=New York |year=2001|isbn=978-0-7434-2299-4|pages=}}
* [[D. P. Agrawal]] (2000). ''[http://www.infinityfoundation.com/mandala/t_es/t_es_agraw_jaina.htm Ancient Jaina Mathematics: an Introduction]'', [http://infinityfoundation.com Infinity Foundation].
* Bell, J. L.: Continuity and infinitesimals. Stanford Encyclopedia of philosophy. Revised 2009.
* {{Cite book| ref=harv |first=L. C. |last=Jain| title = Exact Sciences from Jaina Sources |year=1982}}
* Jain, L. C. (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", ''Indian Journal of History of Science''.
* {{Cite book| ref=harv |first=George G. |last=Joseph| title = The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics | edition=2nd | publisher=[[Penguin Books]] |year=2000|isbn=978-0-14-027778-4|pages=}}
* H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
* {{Cite book| ref=harv |last=Maor|first=Eli|authorlink=Eli Maor | title = To Infinity and Beyond | url=https://archive.org/details/toinfinitybeyond0000maor_n5z0 | publisher=Princeton University Press |year=1991|isbn=978-0-691-02511-7|pages=}}
* O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (1998). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor'] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html |date=20060916095918 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''.
* O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html 'Jaina mathematics'] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html |date=20081220145242 }}, ''MacTutor History of Mathematics archive''.
* Pearce, Ian. (2002). [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch5.html 'Jainism'], ''MacTutor History of Mathematics archive''.
* {{Cite book| ref=harv |last=Rucker|first=Rudy|authorlink=Rudy Rucker | title = Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite | publisher=Princeton University Press |year=1995|isbn=978-0-691-00172-2|pages=}}
* {{Cite book| ref=harv |last=Singh|first=Navjyoti| title = Jaina Theory of Actual Infinity and Transfinite Numbers | journal=Journal of Asiatic Society | volume=30 |year=1988}}
{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Infinity}}
* [http://www.b92.net/zivot/vesti.php?yyyy=2016&mm=11&dd=20&nav_id=1201511 Бесконачно: Како је настао најинтелигентнији симбол (Б92, 20. новембар 2016)]
* {{cite IEP |url-id=infinite|title=The Infinite}}
* {{In Our Time|Infinity|p0054927|Infinity}}
* -{''[http://www.earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets] {{Wayback|url=http://www.earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm |date=20100227033849 }}''}-
* -{''[http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm Infinite Reflections] {{Wayback|url=http://www.earlham.edu/~peters/writing/infinity.htm |date=20091105182928 }}''}-
* {{cite web|last=Grime|first=James|title=Infinity is bigger than you think|url=http://www.numberphile.com/videos/countable_infinity.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|access-date=27. 10. 2017|archive-url=https://web.archive.org/web/20171022173525/http://www.numberphile.com/videos/countable_infinity.html#|archive-date=22. 10. 2017|url-status=dead|df=}}
* -{[http://pespmc1.vub.ac.be/INFINITY.html ''Infinity'', Principia Cybernetica]}-
* -{[https://web.archive.org/web/20040910082530/http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/infinity/infinity.html Hotel Infinity]}-
* -{John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (1998). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor'] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html |date=20060916095918 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''.}-
* -{John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html 'Jaina mathematics'] {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Jaina_mathematics.html |date=20081220145242 }}, ''MacTutor History of Mathematics archive''.}-
* Ian Pearce (2002). [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Projects/Pearce/Chapters/Ch5.html 'Jainism'], ''MacTutor History of Mathematics archive''.
* -{[https://web.archive.org/web/20091027002453/http://uk.geocities.com/frege@btinternet.com/cantor/Phil-Infinity.htm = 25. 10. 2009.+04:16:26 Source page on medieval and modern writing on Infinity]}-
* -{[https://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity]}-
* -{[http://dictionary.of-the-infinite.com Dictionary of the Infinite]}-

{{Математичка анализа}}
{{Бесконачност}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Бесконачност| ]]
[[Категорија:Математика]]
[[Категорија:Филозофска терминологија]]
[[Категорија:Теологија]]
[[Категорија:Математичка анализа]]