Изворни код странице Бесквадратни број

У [[Математика|математици]], '''бесквадратни''', или '''quadratfrei'''  (из [[Немачки језик|немачког језика]]) цео број, је цео број који је [[Дељивост|недељив]] ни са једним другим савршеном степеном сем 1. На пример, 10 је бесквадрат број, али 18 није, јер 18 је дељиво са 9 = 3<sup>2</sup>. Мањи позитивни бесквадратни бројеви су
: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... (секвенца [[А005117]] у [[ОЕИС|ОЕИС)]]

== Еквивалентне карактеризације ==
Позитивни број ''n'' је бесквадрат ако и само ако је [[основна теорема аритметике]] ''n'', не [[прост број]] јавља више од једном. Други начин навођења је исто што и за сваки прост [[дељивост]] ''p'' од ''n'', прост број ''p'' неравномерно дели&nbsp;''n''&nbsp;/&nbsp;''p''. Још једна формулација: ''n'' је бесквадратни број ако и само ако сваки чинилац ''n''&nbsp;=&nbsp;''ab'', чиниоци ''a'' и ''b'' су [[узајамно прости]]. Непосредна последица ове дефиниције је да сви прости бројеви су бесквадратни бројеви.

Цео позитивни број ''n'' је бесквадрат [[ако и само ако]] μ(''n'')&nbsp;≠&nbsp;0, где је μ означава [[Мебијусова функција|Мебијусову функцију]].

Цео позитивни број ''n'' је бесквадрат ако и само ако све [[Абелова група|Абелове групе]] ''n'' are [[изоморфне]], што је случај ако и само ако су сви [[Циклична група|циклични]]. То следи из класификације [[Коначно остварене Абелове групе|коначно остварених абелових група]].

Цео број ''n'' је бесквадратни број ако и само ако [[чинилац прстена]] '''Z'''&nbsp;/&nbsp;''n'''''Z''' (види [[Модуларна аритметика]]) је [[производ]] [[Поље (математика)|поља]]. <span>То следи из [[Кинеска теорема о остацима|кинеске теореме о остацима]] и чињенице да је прстен у облику'''Z'''</span>&nbsp;/&nbsp;''k'''''Z''' прстен ако и само ако је ''k'' прост број.

За сваки цео природни број ''n'', скуп свих позитивних делилаца n постаје [[делимично наредба скупа]] ако користимо [[дељивост]]и реда односа. Ово је делимично наредба скуп да буде увек [[Дистрибутивно решење|дистрибутивног решења]]. То је [[Булова алгебра]] ако и само ако је н бесквадратни број.

[[Радикални цео број]] је увек бесквадрат: цео број је бесквадрат ако је једнак његовом радикалном.

== Дириклеова општа функција ==
[[Дириклеова општа функција7|Дириклеова општа функција]] за бесквадратни број је
: <math> \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) } = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{ |\mu(n)|}{n^{s}} </math> где је ζ(''s'') [[Риманова зета-функција]]
Лако је видети из [[Ојлеров производ|Ојлеровог производ]]
: <math>  \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) } =\prod_p \frac{(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}=\prod_p (1+p^{-s}). </math>

== Дистрибуција ==
Нека је ''Q''(''x'') означава број бесквадратних природних бројева између 1и ''x''. За велика ''n'', 3/4 позитивних целих бројева мањи од ''n'' али недељивих са 4, 8/9 недељивих са9, итд. Пошто су ови догађаји независни, добијамо апроксимацију:
: <math>Q(x) \approx x\prod_{p\ \text{prime}} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{(1-\frac{1}{p^2})^{-1}} </math>

: <math>Q(x) \approx x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}+\cdots} = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}} = \frac{x}{\zeta(2)} </math>
Овај аргумент може бити опасан али и врло добар
: <math>Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(\sqrt{x}\right) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(\sqrt{x}\right)</math>
(види [[Пи]] и [[велико О]]). Коришћење највеће познате нула-слободе округа Риманове зета функције, због [[Иван Матвејевич Виноградов]], [[М. Н. Коробов]] и [[Ханс Егон Ричерт]], максимална величина термина грешке је смањио [[Арнолд Волфис]]<ref>A. Walfisz.</ref> и имамо
: <math>Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(x^{1/2}\exp\left(-c\frac{(\log x)^{3/5}}{(\log\log x)^{1/5}}\right)\right).</math>
За неку позитивну константу ''c''. Према Римановој хипотези, термин грешке се може даље смањити<ref>Jia, Chao Hua.</ref> да се добије
: <math>Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(x^{17/54+\varepsilon}\right) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(x^{17/54+\varepsilon}\right).</math>
Види разлику између бесквадратних бројева до ''n'' и приближно (''n''/ζ(2)) у [[ОЕИС]]:

[[A158819]] – (Број бесквадратних бројева≤&nbsp;''n'')минус приближно (''n''/ζ(2)). ]

Асимптотска / [[природна густина]] бесквадратних бројева је, дакле,
: <math>\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}</math>
где јеζ [[Риманова зета-функција]] и 1/ζ(2) је скоро 0.6079 (увек 3/5 целих бројева су бесквадратни).

Исто тако, ако ''Q''(''x'',''n'')означава број ''n''-слободан цео броје.g. 3-слободни цели бројеви без куба целих бројева)између1 и ''x'', може се показати као
: <math>Q(x,n) = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}} + O\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{x}{\zeta(n)} + O\left(\sqrt[n]{x}\right).</math>

== Кодирање као бинарни бројеви ==
Ако представљамо бесквадратни број као бесконачни производ:
: <math>\prod_{n=0}^\infty {p_{n+1}}^{a_n}, a_n \in \lbrace 0, 1 \rbrace,\text{ and }p_n\text{ is the }n\text{th prime}. </math>
онда можемо узети оне <math>a_n</math> и користити их као битове у бинарном броју, односно са кодирањем:
: <math>\sum_{n=0}^\infty {a_n}\cdot 2^n</math>
на пример. На бесквадратном броју 42 има чинилаца2&nbsp;×&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;7, или као бесконачан производ: 2<sup>1</sup>&nbsp;·&nbsp;3<sup>1</sup> &nbsp;·&nbsp;5<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;7<sup>1</sup>&nbsp;·&nbsp;11<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;13<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;...; <tt>Тако број 42 може бити кодиран као бинарни број...001011</tt> или 11 децимала. (Пазити да су бинарне цифре обрнуте у бесконачним производима).

Пошто је проста факторизација сваког броја јединствена, тако је и сваки бинарни код бесквадратни природни број.

Супротно је такође тачно. Пошто сваки позитивни цео број има јединствену бинарну заступљеност могуће је преокренути овај код тако да се могу "декодирати" у јединствен цео бесквадратни број.

Опет, на пример, ако се почне са бројем 42, овај пут је дефинисан као позитиван цео број, има своју бинарну репрезентацију<tt>101010</tt>. Овај "декод" постаје 2<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;3<sup>1</sup>&nbsp;·&nbsp;5<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;7<sup>1</sup>&nbsp;·&nbsp;11<sup>0</sup>&nbsp;·&nbsp;13<sup>1</sup> =&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;7&nbsp;×&nbsp;13 =&nbsp;273.

Тако је у реду кодирање бесквадратних природних бројева као пермутације скупова свих целих бројева.

Види секвенце [[А019565]], [[А048672]] и [[А064273]] у [[ОЕИС]]

== Ердосов хипотеза бесквадратног броја ==
[[Централни биномни коефицијент]]
: <math>{2n \choose n}</math>
није никада бесквадратни број за ''n'' > 4. Ово је доказао године 1985. за све довољно велике целе бројеве [[Андраш Саркози]],<ref>András Sárközy.</ref> и за све целе бројеве > 4 1996. године [[Оливер Рамаре|Оливер Рамаре и]] [[Андреј Гронвиј]].<ref>Olivier Ramaré and Andrew Granville.</ref>

== Језгро бесквадратних бројева ==
[[Мултипликативна функција]] <math>\mathrm{core}_t(n)</math> је дефинисана да мапира позитивне целе бројеве ''n'' до ''t''-слободне бројеве смањивањем носилаца у простим степенима репрезентације модула ''t'':
: <math>\mathrm{core}_t(p^e) = p^{e\mod t}.</math>
вредност комплета <math>\mathrm{core}_2</math>, посебно су бесквадратни цели бројеви. Њихове Дирклет опште функције су
: <math>\sum_{n\ge 1}\frac{\mathrm{core}_t(n)}{n^s}
= \frac{\zeta(ts)\zeta(s-1)}{\zeta(ts-t)}</math>.
[[ОЕИС]] репрезентације су [[А007913]] (Т=2) и [[А053165]] (Т=4).

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
* {{cite journal | first=Andrew |last=Granville| first2=Olivier |last2=Ramaré| title=Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients | mr=1401709 | zbl=0868.11009 |  year=1996 | journal=Mathematika | volume=43 | doi=10.1112/S0025579300011608 |pages=73–107}}
* {{Cite book| ref= harv|last=Guy| first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory | url= https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr| publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd |year=2004|isbn=978-0-387-20860-2| zbl=1058.11001 }}

{{нормативна контрола}}

{{СОРТИРАЊЕ:Square-Free Integer}}
[[Категорија:Теорија бројева]]
[[Категорија:Целобројни низови]]