Изворни код странице Алгебарска топологија

[[Image:Torus.png|right|thumb|250px|[[Торус]], један од најчешће проучаваних објеката у алгебарској топологији]]

'''Алгебарска топологија''' је грана [[математика|математике]] која се користи алатима [[апстрактна алгебра|апстрактне алгебре]] у проучавању [[тополошки простор|тополошких простора]]. Основни циљ је проналажење алгебарских [[инваријанта (математика)|инваријанти]] које класификују тополошке просторе [[до на]] [[хомеоморфизам]]. У многим ситуацијама је ово исувише амбициозно, па је разумније поставити скромнији циљ, класификација до на [[хомотопија|хомотопску еквиваленцију]].

Мада алгебарска топологија обично користи алгебру за проучавање тополошких проблема, обратан случај, коришћење топологије за решавање алгебарских проблема, је такође понекад могућ. Алгебарска топологија на пример, омогућава згодан доказ да је свака [[подгрупа (математика)|подгрупа]] [[слободна група|слободне групе]] такође слободна група.

== Главне гране алгебарске топологије ==

Испод су неке од главних области које се проучавају у алгебарској топологији:

=== Хомотопске групе ===
{{Main| Хомотопске групе}}

У математици се хомотопијске групе користе у алгебарској топологији за класификацију [[topological space|тополошких простора]]. Прва и најједноставнија хомотопска група је [[fundamental group|основна група]], која бележи информације о петљама у простору. Интуитивно, хомотопске групе бележе информације о основном облику, или рупама, тополошког простора.<ref>{{cite journal|first1=Graham J.|last1=Ellis|first2=Roman|last2=Mikhailov|title=A colimit of classifying spaces|journal=[[Advances in Mathematics]]|volume=223|year=2010|issue=6|pages=2097–2113|arxiv=0804.3581|doi=10.1016/j.aim.2009.11.003|doi-access=free|mr=2601009}}</ref>

=== Хомологија ===
{{Main|Хомологија (математика)|l1=Хомологија}}

У алгебарској топологији и [[abstract algebra|апстрактној алгебри]], ''хомологија'' (делимично од [[Greek language|грчког]] ὁμός ''homos'' „идентичан“)<ref>{{Harvnb|Stillwell|1993|p=170}}</ref> је одређена општа процедура за повезивање [[sequence|низа]] [[abelian group|абелових група]] или [[module (mathematics)|модула]] са датим математичким објектом као што је [[topological space|тополошки простор]] или [[group (mathematics)|група]].<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=163}}</ref>

=== Кохомологија ===
{{Main|Кохомологија}}

У [[homology theory|теорији хомологије]] и алгебарској топологији, '''кохомологија''' је општи термин за [[sequence|низ]] [[abelian group|абелових група]] дефинисаних из [[chain complex|коланчаног комплекса]]. То јест, кохомологија је дефинисана као апстрактно проучавање ''коланаца'', [[chain complex|коциклуса]] и [[coboundary|кограница]].{{sfn|Hatcher|2001|p=108}} Кохомологија се може посматрати као метод додељивања [[algebraic invariant|алгебарских инваријанти]] тополошком простору који има префињенију [[algebraic structure|алгебарску структуру]] од [[homology (mathematics)|хомологије]]. Кохомологија произилази из алгебарске дуализације конструкције хомологије. У мање апстрактном језику, коланци у фундаменталном смислу треба да приписују 'количине' ''[[chain (algebraic topology)|ланцима]]'' теорије хомологије.

=== Многострукост ===
{{Main|Многострукост}}

'''Многострукост''' је [[topological space|тополошки простор]] који у близини сваке тачке подсећа на [[Euclidean space|Еуклидов простор]]. Примери укључују [[Plane (geometry)|раван]], [[sphere|сферу]] и [[torus|торус]], који се сви могу реализовати у три димензије, али и [[Klein bottle|Клајнова боца]] и [[real projective plane|реална пројективна раван]] која се не може уградити у три димензије, али се може уградити у четири димензије. Типично, резултати у алгебарској топологији се фокусирају на глобалне, недиференцирајуће аспекте многострукости; на пример [[Poincaré duality|Поенкареов дуалитет]].

=== Теорија чворова ===
{{Main|Теорија чворова}}

'''Теорија чворова''' је проучавање [[knot (mathematics)|математичких чворова]]. Док је инспирисан чворовима који се појављују у свакодневном животу у пертлама и конопцу, математички чвор се разликује по томе што су крајеви спојени тако да се не може расплести. Прецизним математичким језиком, чвор је [[embedding|уграђивање]] [[Кружница|круга]] у 3-димензионални [[Euclidean space|еуклидски простор]], <math>\mathbb{R}^3</math>. Два математичка чвора су еквивалентна ако се један може трансформисати у други путем деформације <math>\mathbb{R}^3</math> на себи (познато као [[ambient isotopy|амбијентална изотопија]]); ове трансформације одговарају манипулацијама везаним низом које не укључују пресецање нити или провлачење низа кроз себе.

=== Комплекси ===
{{Main|Симплицијални комплекс|CW комплекс}}
[[File:Simplicial complex example.svg|thumb|200px|Симплицијални 3-комплекс.]]

'''Симплицијални комплекс''' је [[topological space|тополошки простор]] одређене врсте, конструисан „лепљењем“ [[Point (geometry)|тачака]], [[line segment|сегмената правих]], [[triangle|троуглова]] и њихових [[Simplex|''n''-димензионалних парњака]] (види илустрацију). Симплициалне комплексе не треба мешати са апстрактнијим појмом [[simplicial set|симплицијалног скупа]] који се појављује у савременој теорији симплицијске хомотопије. Чисто комбинаторни пандан симплицијалном комплексу је [[abstract simplicial complex|апстрактни симплицијски комплекс]].

'''CW комплекс''' је тип тополошког простора који је увео [[J. H. C. Whitehead|Џ. Х. К. Вајтхед]] да би задовољио потребе [[homotopy theory|теорије хомотопије]]. Ова класа простора је шира и има нека боља [[category theory|категоричка]] својства од [[Симплицијални комплекс|симплицијских комплекса]], али и даље задржава комбинаторну природу која омогућава рачунање (често са много мањим комплексом).

== Метода алгебарских инваријанти ==

Старији назив за предмет био је [[combinatorial topology|комбинаторна топологија]], што је подразумевало нагласак на томе како је простор X конструисан од једноставнијих<ref>{{citation|title=Invitation to Combinatorial Topology| first1=Maurice|last1=Fréchet|author-link1=Maurice René Fréchet| first2=Ky|last2=Fan|author-link2=Ky Fan|publisher=Courier Dover Publications|year=2012|isbn=9780486147888|page=101|url=https://books.google.com/books?id=dfLSzs0vHNQC&pg=PA101}}.</ref> (савремени стандардни алат за такву конструкцију је [[CW complex|CW комплекс]]). Током 1920-их и 1930-их, све је већи нагласак на истраживању тополошких простора проналажењем кореспонденције између њих са алгебарским [[group (mathematics)|групама]], што је довело до промене имена у алгебарску топологију.<ref>{{citation|title=A Combinatorial Introduction to Topology|first=Michael|last=Henle|publisher=Courier Dover Publications|year=1994|isbn=9780486679662|page=221|url=https://books.google.com/books?id=S0RJYkBxowEC&pg=PA221}}.</ref> Назив комбинаторне топологије се још увек понекад користи да би се нагласио алгоритамски приступ заснован на декомпозицији простора.<ref>{{citation|title=Blowups, slicings and permutation groups in combinatorial topology|first=Jonathan|last=Spreer|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH|year=2011|isbn=9783832529833|page=23|url=https://books.google.com/books?id=vdt5c07k0M4C&pg=PA23}}.</ref>

У алгебарском приступу проналази се кореспонденција између простора и [[group (mathematics)|група]] која поштује однос [[homeomorphism|хомеоморфизма]] (или општије [[homotopy|хомотопије]]) простора. Ово омогућава да се изјаве о тополошким просторима преобликују у исказе о групама, које имају велику структуру којом се може управљати, што често чини ове изјаве лакшима за доказивање. Два главна начина на која се то може урадити су кроз [[fundamental group|фундаменталне групе]], или уопштеније [[homotopy theory|хомотопијске теорије]], и кроз [[homology (mathematics)|хомолошке]] и [[cohomology|кохомолошке]] групе. Фундаменталне групе дају основне информације о структури тополошког простора, али су често [[abelian group|неабеловске]] и може бити тешко радити са њима. Основна група (коначног) [[simplicial complex|симплицијског комплекса]] има коначну [[presentation of a group|презентацију]].

Хомолошке и кохомолошке групе, с друге стране, су абелове и у многим важним случајевима коначно генерисане. [[Finitely generated abelian group|Коначно генерисане абелове групе]] су потпуно класификоване и са њима је посебно лако радити.

== Референце ==
{{Reflist}}

== Литература ==
{{Литература|30em}}
* {{Cite book| ref = harv | author=Ayres, Frank|title=Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra|location=|publisher=McGraw-Hill|edition=1st|year=1965|isbn=978-0-07-002655-1|pages=}}.
* {{citation |first=Dylan G. L. |last=Allegretti |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGREREU2008.html |title=Simplicial Sets and van Kampen's Theorem |year=2008}} ''(Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).''
* {{citation |last=Bredon |first=Glen E. |author-link=Glen Bredon|title=Topology and Geometry |year=1993 |publisher=Springer |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=139 |url=https://books.google.com/books?id=G74V6UzL_PUC |isbn=0-387-97926-3}}.
* {{citation |first=R. |last=Brown |author-link=Ronald Brown (mathematician) |url=http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.html |title=Higher dimensional group theory |year=2007 |accessdate=17. 07. 2022 |archive-date=14. 05. 2016 |archive-url=http://arquivo.pt/wayback/20160514115207/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.html |url-status=unfit }} ''(Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids)''.
* {{citation |first1=R. |last1=Brown |first2=A. |last2=Razak |title=A van Kampen theorem for unions of non-connected spaces |journal=Arch. Math. |volume=42 |pages=85–88 |year=1984 |doi=10.1007/BF01198133 |s2cid=122228464 }}. "Gives a general theorem on the [[fundamental groupoid]] with a set of base points of a space which is the union of open sets."
* {{citation |first1=R. |last1=Brown |first2=K. |last2=Hardie |first3=H. |last3=Kamps |first4=T. |last4=Porter |title=The homotopy double groupoid of a Hausdorff space |journal=Theory Appl. Categories |volume=10 |issue=2 |pages=71–93 |year=2002 |url=http://www.emis.de/journals/TAC/volumes/10/2/10-02abs.html}}.
* {{citation |first1=R. |last1=Brown |first2=P.J. |last2=Higgins |title=On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces |journal=Proc. London Math. Soc. |volume=S3-36 |issue= 2|pages=193–212 |year=1978 |doi=10.1112/plms/s3-36.2.193 }}. "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem." 
* {{citation |first1=Ronald |last1=Brown |first2=Philip J. |last2=Higgins |first3=Rafael |last3=Sivera |title=Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids |url=http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html |year=2011 |publisher=European Mathematical Society |isbn=978-3-03719-083-8 |series=European Mathematical Society Tracts in Mathematics |volume=15|archive-url=https://web.archive.org/web/20090604050453/http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html |archive-date=2009-06-04 |arxiv=math/0407275 }} This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in [[singular homology]], or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on [[crossed module]]s.
* {{ citation | first1 = John B. | last1 = Fraleigh | year = 1976 | isbn = 0-201-01984-1 | title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* {{citation |author-link1=Marvin Greenberg |last1=Greenberg |first1=Marvin J. |first2=John R. |last2=Harper |title=Algebraic Topology: A First Course, Revised edition |year=1981 |publisher=Westview/Perseus |series=Mathematics Lecture Note Series |isbn=9780805335576 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/algebraictopolog00gree_0 }}. A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper. 
* {{citation| last=Hatcher |first= Allen |author-link=Allen Hatcher| title=Algebraic Topology |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |year= 2002 |publisher=Cambridge University Press |place=Cambridge |isbn=0-521-79540-0}}. A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
* {{citation |first=Philip J. |last=Higgins |title=Notes on categories and groupoids |url=https://books.google.com/books?id=IqdIAAAAMAAJ |year=1971 |publisher=Van Nostrand Reinhold |isbn=9780442034061}}
* {{citation| last=Maunder |first=C. R. F. |title=Algebraic Topology |year=1970 |publisher= Van Nostrand Reinhold |place=London |isbn=0-486-69131-4}}.
* {{citation |author-link=Tammo tom Dieck |first=Tammo |last=tom Dieck |title=Algebraic Topology |url=https://books.google.com/books?id=ruSqmB7LWOcC |year=2008 |publisher=European Mathematical Society |isbn=978-3-03719-048-7 |series=EMS Textbooks in Mathematics}}
* {{citation|first=Egbert|last= van Kampen|author-link=Egbert van Kampen| title=On the connection between the fundamental groups of some related spaces| journal=[[American Journal of Mathematics]]|volume= 55 |year=1933 |issue= 1|pages=261–7 |jstor=51000091}}
* {{Springer |title=Algebraic topology |id=p/a011700}}
* {{cite book |last=May |first=J. Peter |author-link=J. Peter May|title=A Concise Course in Algebraic Topology |year=1999 |publisher=[[University of Chicago Press]] |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf |access-date=2008-09-27 |name-list-style=vanc }} Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids.
* [[Ronald Brown (mathematician)|Ronald Brown]], `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', [[Homology, Homotopy and Applications]], 1 (1999) 1–78.
* {{citation|last=Čech|first=Eduard|author-link=Eduard Čech|title=Höherdimensionale Homotopiegruppen|journal=Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich|year=1932}}.
* {{Springer|title=Homotopy group|id=p/h047930}}
* {{citation|last=Hopf|first=Heinz|author-link=Heinz Hopf|title=Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=104|issue=1|pages=637–665|year=1931|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002274760|doi=10.1007/BF01457962}}.
* {{cite book|last1=Kamps|first1=Klaus H.|last2=Porter|first2=Timothy|title=Abstract homotopy and simple homotopy theory|publisher=World Scientific Publishing|location=River Edge, NJ|year=1997|isbn=981-02-1602-5|mr=1464944|doi=10.1142/9789812831989}}
* {{cite book|last=Toda|first=Hiroshi|author-link=Hiroshi Toda|title=Composition methods in homotopy groups of spheres|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, N.J.|series=Annals of Mathematics Studies|volume=49|year=1962|isbn=0-691-09586-8|mr=0143217}}
* {{cite book|first=George William|last=Whitehead|author-link=George W. Whitehead|title=Elements of homotopy theory|url=https://books.google.com/books?id=wlrvAAAAMAAJ|edition=3rd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=61|year=1978|publisher=Springer-Verlag|location=New York-Berlin|isbn=978-0-387-90336-1|pages=xxi+744|mr=0516508 }}
* {{cite journal |last1 = van den Berg |first1 = J.B. |last2 = Ghrist |first2 = R. |last3 = Vandervorst |first3 = R.C. |last4 = Wójcik |first4 = W. |s2cid = 16865053 |title=Braid Floer homology |journal=Journal of Differential Equations
|date=2015 |volume=259 |issue=5 |pages=1663–1721 |doi=10.1016/j.jde.2015.03.022 |bibcode = 2015JDE...259.1663V |url=http://www.math.vu.nl/~janbouwe/pub/braidfloerhomology.pdf |doi-access = free }}
* {{cite journal|last=Pellikka|first=M|author2=S. Suuriniemi |author3=L. Kettunen |author4=C. Geuzaine |title=Homology and Cohomology Computation in Finite Element Modeling|journal=SIAM J. Sci. Comput.|date=2013|volume=35|issue=5|pages=B1195–B1214|doi=10.1137/130906556|citeseerx=10.1.1.716.3210|url=http://geuz.org/gmsh/doc/preprints/gmsh_homology_preprint.pdf}}
* {{cite journal|last=Arnold|first=Douglas N. |author2=Richard S. Falk |author3=Ragnar Winther|title=Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications|journal=Acta Numerica|date=16 May 2006|volume=15|pages=1–155|doi=10.1017/S0962492906210018|bibcode=2006AcNum..15....1A |s2cid=122763537 |url=http://purl.umn.edu/4216 }}
* {{cite book |author-link=Henri Cartan |author2-link=Samuel Eilenberg |last1=Cartan |first1=Henri Paul |last2=Eilenberg |first2=Samuel |title=Homological Algebra |publisher=Princeton University Press |year=1956 |isbn=9780674079779 |series=Princeton mathematical series |volume=19 |oclc=529171}}
* {{cite book |last1=Eilenberg |first1=Samuel |last2=Moore |first2=J.C. |title=Foundations of relative homological algebra |publisher=American Mathematical Society |year=1965 |isbn=9780821812556 |series=Memoirs of the American Mathematical Society number |volume=55 |oclc=1361982}}
* {{citation|editor1-first=Timothy|editor1-last=Gowers|editor1-link=Timothy Gowers|editor2-first=June|editor2-last=Barrow-Green|editor2-link=June Barrow-Green|editor3-first=Imre|editor3-last=Leader|year=2010|title=The Princeton Companion to Mathematics|title-link=The Princeton Companion to Mathematics|publisher=Princeton University Press|isbn=9781400830398}}.
* {{citation|last=Hatcher|first=A.|year=2002|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATchapters.html|title=Algebraic Topology|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-79540-0}}. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
* {{citation|last=Hilton|first=Peter|year=1988|title=A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century |journal = Mathematics Magazine|volume=60|issue=5|pages=282–291| jstor = 2689545|publisher=Mathematical Association of America|doi=10.1080/0025570X.1988.11977391}}
* {{citation|author-link=David Richeson|last=Richeson|first=D.|title=Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology|publisher=Princeton University|year=2008}}.
* {{citation|last=Spanier|first=Edwin H.|author-link=Edwin Spanier|year=1966|title=Algebraic Topology|publisher=Springer|page=155|isbn=0-387-90646-0}}.
* {{citation|last=Stillwell|first=John|author-link=John Stillwell|year=1993|title=Classical Topology and Combinatorial Group Theory|publisher=Springer|doi=10.1007/978-1-4612-4372-4_6|isbn=978-0-387-97970-0}}.
* {{citation|title=The Heritage of Emmy Noether|editor-first= M.|editor-last =Teicher|editor-link= Mina Teicher |series=Israel Mathematical Conference Proceedings|publisher= [[Bar-Ilan University]]/[[American Mathematical Society]]/[[Oxford University Press]]|year= 1999|oclc= 223099225 |isbn= 978-0-19-851045-1}}
* {{citation|first=Charles A.|last=Weibel|year=1999|chapter-url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0245/survey.pdf |chapter=28. History of Homological Algebra |title=History of Topology|editor-first=I. M.|editor-last=James|publisher=Elsevier|isbn=9780080534077}}.
* {{Citation | author1-first=Jean | author1-last=Dieudonné | author1-link=Jean Dieudonné | title=History of Algebraic and Differential Topology | publisher=[[Birkhäuser]] | year=1989 | mr=0995842 | isbn=0-8176-3388-X | url-access=registration | url=https://archive.org/details/historyofalgebra0000dieu_g9a3 }}
* {{Citation | author1-first=Albrecht | author1-last=Dold | author1-link=Albrecht Dold | title=Lectures on Algebraic Topology | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1972 | mr=0415602 | isbn=978-3-540-58660-9}}
* {{Citation | author1-first=Samuel | author1-last=Eilenberg | author1-link=Samuel Eilenberg | author2-first=Norman | author2-last=Steenrod | author2-link=Norman Steenrod | title=Foundations of Algebraic Topology | publisher=[[Princeton University Press]] | year=1952 | mr=0050886 | isbn=9780691627236}}
* {{Citation | author1-last=Hartshorne | author1-first=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=Algebraic Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York, Heidelberg | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=0-387-90244-9 | mr=0463157 | year=1977 | volume=52}}
* {{Citation | author1-first=Allen | author1-last=Hatcher | author1-link=Allen Hatcher | title=Algebraic Topology | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2001 | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | isbn=0-521-79540-0 | mr =1867354}}
* {{Springer |title=Cohomology |id=p/c023060 }}.
* {{Citation | author1-first=J. Peter | author1-last=May | author1-link=J. Peter May | title=A Concise Course in Algebraic Topology | publisher=[[University of Chicago Press]] | year=1999 | url=http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf | mr=1702278 | isbn=0-226-51182-0}}
* {{Citation | author1-first=Robert | author1-last=Switzer | title=Algebraic Topology — Homology and Homotopy | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1975 | mr=0385836 | isbn=3-540-42750-3}}
* {{Citation |author1-first=René |author1-last=Thom |author1-link=René Thom |mr=0061823 |title=Quelques propriétés globales des variétés différentiables |journal=[[Commentarii Mathematici Helvetici]] |volume=28 |year=1954 |pages=17–86 |url=http://retro.seals.ch/digbib/view2?pid=com-001:1954:28::48 |doi=10.1007/BF02566923 }}{{Мртва веза}}

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Algebraic topology}}
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PL6763F57A61FE6FE8] N.J. Windberger intro to algebraic topology, last six lectures with an easy intro to homology
* [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf] Algebraic topology Allen Hatcher - Chapter 2 on homology
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Homology_group ''Homology group'' at Encyclopaedia of Mathematics]

{{Топологија}}
{{нормативна контрола}}

[[Категорија:Алгебарска топологија| ]]
[[Категорија:Топологија]]
[[Категорија:Апстрактна алгебра]]