Изворни код странице Јакоб Бернули

{{Научник
| име           = Јакоб Бернули
| слика         = Jakob Bernoulli.jpg|десно
| опис_слике    = Јакоб Бернули
| пуно_име      = 
| датум_рођења  = {{Датум рођења|1654|12|27}}
| место_рођења  = [[Базел]]
| држава_рођења = [[Стара швајцарска конфедерација|Швајцарска]]
| датум_смрти   = {{Датум смрти|1705|8|16|1654|12|27}}
| место_смрти   = [[Базел]]
| држава_смрти  = [[Стара швајцарска конфедерација|Швајцарска]]
| школа         = [[Универзитет у Базелу]]
| отац          = 
| мајка         = 
| супружник     = 
| деца          = 
| поље          = [[математика]]
| ментор        = 
| институција   = 
| академија     = 
| студенти      = 
| познат_по     = 
| награде       = 
| напомене      = 
}}

'''Јакоб Бернули''' ({{јез-нем|Jakob Bernoulli}}; [[Базел]], [[27. децембар]] [[1654]] — [[Базел]], [[16. август]] [[1705]]), познат и као '''Жак Бернули''', је [[Швајцарска|швајцарски]] [[математичар]] и [[наука|научник]] и старији брат [[Јохан Бернули|Јохана Бернулија]].<ref>{{cite book|author=Mangold, Max|title=Duden — Das Aussprachewörterbuch |location= |publisher= |year=1990}}. 3. Auflage. Mannheim/Wien/Zürich, Dudenverlag.</ref>

Јакоб Бернули је срео [[Роберт Бојл|Роберта Бојла]] и [[Роберт Хук|Роберта Хука]] на путу у Енглеску [[1676]]. године, након ког је посветио живот науци и математици. Био је професор математике на Универзитету у Базелу од [[1687]]. године.<ref>{{cite web |title=Jacob Bernolli |url=http://alas.matf.bg.ac.rs/~mm03026/jakob%20bernuliYU.html |website=Alas.mat |accessdate=19. 1. 2019 |archive-date=09. 03. 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180309013251/http://alas.matf.bg.ac.rs/~mm03026/jakob%20bernuliYU.html |url-status= }}</ref> Његов докторат ''-{Ars Conjectandi}-'' је био преломна тачка у развоју [[теорија вероватноће|теорије вероватноће]]. Објављен је осам година након његове смрти [[1713]]. године.

Он је био рани заговорник Лајбницовог рачуна и стао на страну са [[Готфрид Вилхелм Лајбниц|Готфридом Лајбницом]] током [[Leibniz–Newton calculus controversy|контроверзе о Лајбниц-Њутновом рачуну]]. Познат је по својим бројним доприносима [[калкулус]]у, а заједно са братом [[Johann Bernoulli|Јоханом]], био је један од оснивача [[calculus of variations|варијационог рачуна]]. Такође је открио основну математичку константу {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}}. Међутим, његов најважнији допринос био је у области [[probability|вероватноће]], где је извео прву верзију [[law of large numbers|закона великих бројева]] у свом делу -{''[[Ars Conjectandi]]''}-.<ref name="MacTutor">[http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Bernoulli_Jacob.html Jacob (Jacques) Bernoulli], [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ The MacTutor History of Mathematics archive], School of Mathematics and Statistics, [[University of St Andrews]], UK.</ref>

== Биографија ==
Јакоб Бернули је рођен у [[Базел]]у, [[Швајцарска]]. По очевој жељи студирао је [[theology|теологију]] и ступио на службу. Али супротно жељама својих родитеља,<ref name =HLS>{{cite web |url=http://www.hls-dhs-dss.ch/textes/d/D23988.php |title=Bernoulli, Jacob |last=Nagel |first=Fritz |date=11 June 2004 |publisher=Historisches Lexikon der Schweiz |access-date=20 May 2016}}</ref>  он је такође студирао [[mathematics|математику]] и [[astronomy|астрономију]]. Путовао је широм [[Europe|Европе]] од 1676. до 1682. године, учећи о најновијим открићима у математици и науци под водећим личностима тог времена. Ово је укључивало радове [[Johannes Hudde|Јоханеса Худеа]], [[Robert Boyle|Роберта Бојла]] и [[Robert Hooke|Роберта Хука]]. Током тог времена је такође произвео нетачну теорију [[комета]].

[[File:Acta Eruditorum - X astronomia, 1682 – BEIC 13349171.jpg|thumb|Слика из ''[[Acta Eruditorum]]'' (1682) на којој је објављена критика Бернулијевог ''Покушаја новог система комета'' ]]
Бернули се вратио у Швајцарску и почео да предаје механику на [[University of Basel|Универзитету у Базелу]] од 1683. Његова докторска дисертација ''Решење проблема триплекса'' поднета је 1684.<ref>{{cite book |last1=Kruit |first1=Pieter C. van der |title=Jan Hendrik Oort: Master of the Galactic System |date=2019 |publisher=Springer |isbn=978-3-030-17801-7 |page=639 |url=https://books.google.com/books?id=XwSjDwAAQBAJ&pg=PA639 |language=en}}</ref> Појавила се у штампи 1687. године.<ref>{{cite book |last1=Bernoulli |first1=Jakob |title=Die Werke von Jakob Bernoulli: Bd. 2: Elementarmathematik |date=2006 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-3-7643-1891-8 |page=92 |url=https://books.google.com/books?id=CYvAH41605QC&pg=PA92 |language=it}}</ref>

Године 1684. Бернули се оженио Јудитом Ступанус. Они су имали двоје деце. Током ове деценије, започео је и плодну истраживачку каријеру. Његова путовања су му омогућила да успостави преписку са многим водећим математичарима и научницима своје ере, коју је одржавао током свог живота. За то време проучавао је нова открића у математици, укључујући ''De ratiociniis in aleae ludo'' [[Christiaan Huygens|Кристијана Хајгенса]], [[Descartes|Декартову]] ''[[La Géométrie|Геометрију]]'' и радове [[Frans van Schooten|Франса ван Шотена]]. Такође је проучавао [[Isaac Barrow|Ајзака Бароуа]] и [[John Wallis|Џона Волиса]], што је довело до његовог интересовања за инфинитезималну геометрију. Осим ових, између 1684. и 1689. откривени су многи резултати који су требали да сачине -{''[[Ars Conjectandi]]''}-.

Постављен је за професора математике на [[University of Basel|Универзитету у Базелу]] 1687. године, остајући на овој функцији до краја живота. У то време је почео да подучава свог брата [[Johann Bernoulli|Јохана Бернулија]] о математичким темама. Два брата су почела да проучавају рачун како га је представио Лајбниц у свом раду из 1684. о диференцијалном рачуну у „[[Nova Methodus pro Maximis et Minimis|Новим методима за максимум и минимум]]“, објављеном у -{''[[Acta Eruditorum]]''}-. Такође су проучавали публикације [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus|фон Чирнхауса]]. Треба имати у виду да су Лајбницове публикације о калкулусу биле веома нејасне математичарима тог времена и да су Бернулијеви били међу првима који су покушали да разумеју и примене Лајбницове теорије.

Јаков је сарађивао са својим братом на разним применама рачуна. Међутим, атмосфера сарадње између два брата претворила се у ривалство како је Јоханов сопствени математички гениј почео да сазрева, при чему су обојица нападали један другог у штампи и постављали тешке математичке изазове да тестирају своје вештине.<ref>{{cite web |url=http://www.jehps.net/Novembre2006/Peifferanglais3.pdf |title=Jacob Bernoulli |last= Pfeiffer |first=Jeanne |date=November 2006 |publisher=Journal Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique |access-date=20 May 2016}}</ref> До 1697. однос је потпуно прекинут.

Месечев кратер [[Bernoulli (crater)|Бернули]] је такође назван по њему заједно са његовим братом Јоханом.

== Важна дела ==

Први важни доприноси Јакоба Бернулија били су памфлет о паралелама логике и алгебре објављен 1685. године, рад о вероватноћи 1685. и геометрији 1687. Његов геометријски резултат дао је конструкцију која дели било који троугао на четири једнака дела са две управне праве.

До 1689. он је објавио важан рад о [[infinite series|бесконачним редовима]] и објавио је свој закон великих бројева у теорији вероватноће. Јакоб Бернули је објавио пет расправа о бесконачним серијама између 1682. и 1704. Прве две од њих су садржале много резултата, као што је фундаментални резултат да<math>\sum{\frac{1}{n}}</math> дивергира, за које је Бернули веровао да су нови, али их је заправо доказао [[Pietro Mengoli|Пиетро Менголи]] 40 година раније. Бернули није могао да пронађе затворену форму за <math>\sum{\frac{1}{n^2}}</math>, али је показао да конвергира ка коначној граници мањој од 2. [[Euler|Ојлер]] је био први који је пронашао [[Basel problem|границу овог реда]] 1737. Бернули је такође проучавао [[#Откриће математичке константе е|експоненцијални ред]] који је произашао из испитивања сложеног интереса.

У мају 1690. у раду објављеном у ''Acta Eruditorum'', Јакоб Бернули је показао да је проблем одређивања [[Tautochrone curve|изохроне]] криве еквивалентан решавању нелинеарне диференцијалне једначине првог реда. Изохрона, или крива константног спуштања, је крива дуж које ће се честица под гравитацијом спустити од било које тачке до дна за потпуно исто време, без обзира на почетну тачку. Проучавали су је Хајгенс 1687. и Лајбниц 1689. Након што је пронашао диференцијалну једначину, Бернули ју је решио оним што се сада назива [[separation of variables|раздвајањем променљивих]]. Рад Јакоба Бернулија из 1690. године важан је за историју калкулуса, пошто се појам [[интеграл]] први пут појављује са својим интеграционим значењем. Године 1696. Бернули је решио једначину, која се сада зове [[Bernoulli differential equation|Бернулијева диференцијална једначина]],

:<math> y' = p(x)y + q(x)y^n. </math>

Јакоб Бернули је такође открио општи метод за одређивање [[evolutes|еволуције]] криве као омотача њених кругова закривљености. Такође је истраживао каустичне криве, а посебно је проучавао ове повезане криве [[parabola|параболе]], [[logarithmic spiral|логаритамске спирале]] и [[epicycloids|епициклоиде]] око 1692. [[lemniscate of Bernoulli|Бернулијеву лемнискату]] је први осмислио Јакоб Бернулли 1694. Године 1695, истраживао је проблем покретног моста који тражи криву тако да тег који клизи дуж сајле увек одржава покретни мост у равнотежи.

== Откриће математичке константе -{e}- ==

Године 1683, Бернули је открио константу [[E (mathematical constant)|-{e}-]] проучавајући питање о [[compound interest|сложеној камати]] које је од њега захтевало да пронађе вредност следећег израза (који је заправо {{math|''e''}}):<ref>Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the ''Journal des Savants'' (''Ephemerides Eruditorum Gallicanæ''), in the year (anno) 1685.**), ''Acta eruditorum'', pp. 219–23.  [https://books.google.com/books?id=s4pw4GyHTRcC&pg=PA222#v=onepage&q&f=false On p. 222], Bernoulli poses the question:  ''"Alterius naturæ hoc Problema est:  Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?"''  (This is a problem of another kind:  The question is, if some lender were to invest [a] sum of money [at] interest, let it accumulate, so that [at] every moment [it] were to receive [a] proportional part of [its] annual interest; how much would he be owed [at the] end of [the] year?)  Bernoulli constructs a power series to calculate the answer, and then writes: ''" … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est.  … si ''a''=''b'', debebitur plu quam 2½''a''  & minus quam 3''a''."'' ( … which our series [a geometric series] is larger [than]. … if ''a''=''b'', [the lender] will be owed more than 2½''a'' and less than 3''a''.)  If ''a''=''b'', the geometric series reduces to the series for ''a'' × ''e'', so 2.5 < ''e'' < 3.  (** The reference is to a problem which Jacob Bernoulli posed and which appears in the ''Journal des Sçavans'' of 1685 at the bottom of [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56536t/f307.image.langEN page 314.])</ref><ref>{{Cite web|url = http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title = The number e |authors=J J O'Connor and E F Robertson |publisher = St Andrews University|access-date = 2 November 2016}}</ref>

:<math>\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n</math>

Један пример је рачун који почиње са $1,00 и плаћа 100 посто камате годишње. Ако се камата кредитира једном, на крају године, вредност је $2,00; али ако се камата израчунава и додаје два пута у години, $1 долар се множи са 1,5 двапут, дајући 1,00×1,5²&nbsp;=&nbsp;2,25 долара. Обједињавање кварталних приноса $1,00×1,25<sup>4</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,4414..., а комбиновање месечних приноса даје $1,00×(1.0833...)<sup>12</sup>&nbsp;=&nbsp;$2,613035....

Бернули је приметио да се ова секвенца приближава граници ([[Compound interest#Force of interest|сила интереса]]) за више и мање интервале слагања. Обједињавање недељних приноса даје $2,692597 ..., док се обједињавањем дневно дабија $2,714567 ..., само два цента више. Користећи {{math|''n''}} као број интервала слагања, са каматом од 100% / {{math|''n''}} у сваком интервалу, граница за велико {{math|''n''}} је број који је [[Leonhard Euler|Ојлер]] касније назвао {{math|''e''}}; уз ''континуирано'' комбиновање, вредност рачуна ће достићи $2,7182818 ... Уопштено говорећи, рачун који почиње од $1 и доноси (1+{{math|R}}) долара по [[Камата#Сложена камата|сложеној камати]], донеће {{math|''e''}}<sup>{{math|R}}</sup> доларе уз континуирано комбиновање.

== Споменик ==
[[Image:Basel - Grabstein Bernoulli.jpg|thumb|Надгробни споменик Јакоба Бернулија у [[Basel Münster|Базелској цркви]] ]]

Бернули је желео [[logarithmic spiral|логаритамску спиралу]] и мото -{''[[Eadem mutata resurgo]]''}- ("Иако промењен, поново устајем исти") да буде угравирано на његовом надгробном споменику. Он је написао да се себи слична спирала „може користити као симбол, било снаге и постојаности у невољи, или људског тела, које ће после свих промена, чак и после смрти, бити враћено у своје тачно и савршено ја." Бернули је умро 1705. године, али је угравирана [[Archimedean spiral|Архимедова спирала]], а не логаритамска.<ref>{{cite book|last=Livio|first=Mario|author-link=Mario Livio|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number|url=https://books.google.com/books?id=bUARfgWRH14C|orig-year=2002|edition=First trade paperback|year=2003|publisher=[[Random House|Broadway Books]]|location=New York City|isbn=0-7679-0816-3|pages=116–17}}</ref>

== Радови ==
* {{cite book|language=la|publisher=apud Henr. Wetstenium|title=Conamen novi systematis cometarum|location=Amstelaedami|year=1682|url=https://gutenberg.beic.it/webclient/DeliveryManager?pid=17384&custom_att_2=simple_viewer&search_terms=DTL4&pds_handle=}} (title roughly translates as "A new hypothesis for the system of comets".)
* {{cite book|language=la|publisher=apud Henricum Wetstenium|title=De gravitate aetheris|location=Amstelaedami|year=1683|url=https://gutenberg.beic.it/webclient/DeliveryManager?pid=1216514&custom_att_2=simple_viewer&search_terms=DTL5&pds_handle=}}
*''Ars conjectandi, opus posthumum'', Basileae, impensis Thurnisiorum Fratrum, 1713.
* {{Cite book|title=Opera|volume=1|publisher=heritiers Cramer & frères Philibert|location=Genève|year=1744|language=la|url=https://gutenberg.beic.it/webclient/DeliveryManager?pid=12199963}}
** {{Cite book|title=Opera|volume=2|publisher=heritiers Cramer & frères Philibert|location=Genève|year=1744|language=la|url=https://gutenberg.beic.it/webclient/DeliveryManager?pid=12202240}}

<gallery>
Bernoulli - De gravitate aetheris, 1683 - 1216514.jpg|''De gravitate aetheris'', 1683
Bernoulli, Jakob – Opera, vol 1, 1744 – BEIC 12199963.jpg|''Opera'', vol 1, 1744
</gallery>

== Види још ==
* [[Бернулијева лемниската]]

== Референце ==
{{reflist}}

== Литература ==
{{Литература}}
*{{DSB
|first=J.E.
|last=Hoffman
|title=Bernoulli, Jakob (Jacques) I
|volume=2
|pages=46–51
}}
*{{cite book |first=I. |last=Schneider |chapter=Jakob Bernoulli ''Ars conjectandi'' (1713) |chapter-url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC&pg=PA88 |editor1-first=Ivor |editor1-last=Grattan-Guinness |editor1-link=Ivor Grattan-Guinness |title=Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 |url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC |year=2005 |publisher=Elsevier |isbn=978-0-08-045744-4 |pages=88–104 }}

{{Литература крај}}

== Спољашње везе ==
{{Commonscat|Jakob Bernoulli}}
* {{MathGenealogy|id=54440}}
* {{MathGenealogy|id=54440|title=Jacob Bernoulli}}
* {{MacTutor Biography|id=Bernoulli_Jacob|title=Jacob Bernoulli}}
* {{cite web |first=Jacobi |last=Bernoulli |title=Tractatus de Seriebus Infinitis |url=http://www.kubkou.se/pdf/mh/jacobB.pdf }}
* {{ScienceWorldBiography | urlname=BernoulliJakob | title=Bernoulli, Jakob (1654–1705)}}
* Gottfried Leibniz and Jakob Bernoulli [http://cerebro.xu.edu/math/Sources/JakobBernoulli/jakob%20and%20leibniz.pdf Correspondence Regarding the Art of Conjecturing"] {{Wayback|url=http://cerebro.xu.edu/math/Sources/JakobBernoulli/jakob%20and%20leibniz.pdf |date=20160406004155 }}

{{портал бар|Биографија}}
{{нормативна контрола}}

{{СОРТИРАЊЕ:Бернули, Јакоб}}
[[Категорија:Рођени 1654.]]
[[Категорија:Умрли 1705.]]
[[Категорија:Швајцарски математичари]]
[[Категорија:Швајцарски научници]]